1625914689-e957c8b7a8e4003fe3539e4e0e465a65 (532400), страница 13
Текст из файла (страница 13)
е. деформация, одинаковая во всех точках тела. При такой деформации все точки одной плоскости будут принадлежать этой же плоскости и после деформирования, а любыедве параллельные материальные плоскости сохранят свою параллельность. К этому типуотносится одноосное растяжение, рассмотренное нами ранее. Для перехода к сложнымдеформированным состояниям необходимо ввести деформацию, которую можно отнестик точке тела, а не только к какому-то конечному отрезку или углу.
Для этого выразимоднородную деформацию через перемещение точек тела.Относительно неподвижной системы координат точки тела могут перемещаться какв результате деформирования, так и в результате движения тела как жесткого целого.Чтобы исключить такое движение тела, будем рассматривать перемещения точек в относительной системе координат, привязанной к телу, т.
е. точка, совпадающая с началомкоординат, при деформировании остается неподвижной. В этой системе зададим перемещение точки из положения P = (x1 , x2 , x3 ) в положение P ′ = (x′1 , x′2 , x′3 ) при помощивектора перемещений u с компонентамиu1 = x′1 − x1 ,u2 = x′2 − x2 ,u3 = x′3 − x3 .(3.14)46Глава 3. Основные понятия механики деформируемого твердого тела .
. .абx2вx2гx2x2j12с221с12x1x2j12+ j21j211x1j12+ j21дx1 с12с12x1x1Рис. 3.2. Частные случаи однородной деформации: а) чистое растяжение; б ) простой сдвиг; в),г), д ) – одинаковое деформирование тела посредством разных комбинаций простых сдвиговРассмотрим тело в виде параллелепипеда, одна вершина которого лежит в началекоординат, а три прилегающих ребра лежат на осях координат. При условии однородности деформирования мы можем растянуть его в каждом из трех направлений x1 , x2 , x3 иизменить каждый из трех углов между ребрами, первоначально параллельными координатным осям.Деформации, задаваемые векторами перемещений следующего вида:(3.15)u1 = c11 x1 , u2 = 0, u3 = 0,u1 = 0, u2 = c22 x2 , u3 = 0,u1 = 0, u2 = 0, u3 = c33 x3 ,называются чистыми растяжениями (рис.
3.2, а), а деформации, задаваемые векторамиперемещений:u1 = c12 x2 , u2 = 0, u3 = 0;u1 = 0, u2 = c21 x1 , u3 = 0;u1 = 0, u2 = 0, u3 = c31 x1 ;u1 = c13 x3 , u2 = 0, u3 = 0,u1 = 0, u2 = c23 x3 , u3 = 0,u1 = 0, u2 = 0, u3 = c32 x2 ,(3.16)называются простыми сдвигами (рис. 3.2, б ). При этом величины cij при i = j выполняютроль относительных удлинений, а при i ̸= j являются мерой сдвига параллельных плоскостей относительно друг друга и называются сдвигами, или относительными сдвигами.При этом, поскольку сдвиг cij отражает изменение угла между отрезками, первоначальнопараллельными осям Oxi и Oxj , существует симметрия cij = cji .Пусть прямоугольник в плоскости подвергнут двум простым сдвигам (рис. 3.2, в).Деформация его будет одна и та же для всех пар углов φ12 и φ21 таких, что φ21 + φ12 =const, т. е.
одинакова для деформированных состояний, приведенных на рис. 3.2, в, г, д.Поэтому для любых двух сдвигов можно использовать вариант, при котором φ12 и φ21равны, т. е. заменить любую пару сдвигов с φ21 + φ12 = const следующей эквивалентнойпарой сдвигов:1u1 = c12 x2 ,2u2 = 0;u1 = 0,1u2 = c21 x1 ;2c12 = c21 .(3.17)Аналогично можно поступить в случае произвольной однородной деформации. Таким образом, любое однородное деформированное состояние без учета поворотов можнополностью задать тремя уравнениями следующего вида u1 = c11 x1 + c12 x2 /2 + c13 x3 /2 u1c11 c12 /2 c13 /2x1u2 = c12 x1 /2 + c22 x2 + c23 x3 /2⇔ u2 = c12 /2 c22 c23 /2 x2 .
(3.18)u3 = c13 x1 /2 + c23 x2 /2 + c33 x3u3c13 /2 c23 /2 c33x33.2.. Тензоры напряжений и деформаций, уравнения движения (равновесия)3.2.5..247Тензор деформаций Коши (тензор бесконечно малых деформаций)Определим деформацию в точке как деформацию содержащего ее бесконечно малого объема dx1 dx2 dx3 . Поскольку объем бесконечно мал, деформацию в нем считаем однородной. Тензор бесконечно малой деформации вводим с использованием мер однороднойдеформации:{cij ,если i = j;εij ≡cij /2, если i ̸= j.Диагональные компоненты εij (при i = j) тензора бесконечно малой деформацииε11 ε12 ε13ε = ε21 ε22 ε23 ε31 ε32 ε33(3.19)характеризуют меру растяжений/сжатий материальных волокон, а внедиагональные компоненты εij (при i ̸= j) – меру изменения угла между взаимно ортогональными до деформации материальными волокнами.
Кроме тензора бесконечно малой деформации такжеиспользуют инженерный тензор деформации, компоненты которого определяется следующим образом:{εij = cij , если i = j;γij ≡2εij = cij , если i ̸= j.В предположении справедливости этой кинематики деформирования вектор перемещений отождествляется с вектором бесконечно малых перемещений, который определяетсяформулами, аналогичными (3.18): du1 = ε11 dx1 + γ12 dx2 /2 + γ13 dx3 /2 du1ε11 ε12 ε13dx1du2 = γ12 dx1 /2 + ε22 dx2 + γ23 dx3 /2⇔ du2 = ε12 ε22 ε23 dx2 .du3 = γ13 dx1 /2 + γ23 dx2 /2 + ε33 dx3du3ε13 ε23 ε33dx3(3.20)Получим из (3.20) выражения для определения компонент тензора бесконечно малой деформаций через компоненты тензора градиента перемещений ∇u:()1 ∂ui ∂ujεij =(3.21)+.2 ∂xj∂xiСимметричный тензор бесконечно малой деформации ε, представленный в виде (3.21),называют тензором деформаций Коши.Введем также малые повороты вокруг осей декартовой системы координат x1 , x2 ,x3 .
Из рис. 3.2, в мы видим, что в том случае, если прямоугольник подвергнут сдвиговымдеформациям, поворот его относительно оси x3 будет равен половине разности междууглами отклонения первоначально ортогональных отрезков, параллельных осям x1 , x2 , отэтих осей. Таким образом, малые повороты окрестности материальной точки вокруг осейx1 , x2 и x3 можно определить в следующем виде:)))(((1 ∂u1 ∂u31 ∂u2 ∂u11 ∂u3 ∂u2−, ω2 =−, ω3 =−.(3.22)ω1 =2 ∂x2 ∂x32 ∂x3 ∂x12 ∂x1 ∂x23.2.6.Главные деформацииКак тензор напряжений (как любой симметричный тензор), так и тензор деформацийКоши приводится к главным осям:ε1 0 0ε = 0 ε2 0 ,(3.23)0 0 ε348Глава 3. Основные понятия механики деформируемого твердого тела .
. .где величины на главной диагонали, называемые главными удлинениями, определяютсяиз характеристического уравнения:det(ε − λI) = 0;λ3 − I1ε λ2 + I2ε λ − I3ε = 0,(3.24)Здесь величиныI1ε = trε;I2ε = ε11 ε22 + ε22 ε33 + ε33 ε11 − ε212 − ε213 − ε223 ;I3ε = det ε,(3.25)или, в главных деформацияхI1ε = ε1 + ε2 + ε3 ;I2ε = ε1 ε2 + ε2 ε3 + ε3 ε1 ;I3ε = ε1 ε2 ε3 ,(3.26)не зависят от выбора системы координат и называются главными инвариантами тензорадеформаций.Разностиγ1 = ε2 − ε3 , γ2 = ε1 − ε3 , γ3 = ε1 − ε2(3.27)называются главными сдвигами, наибольший из них обозначается как γmax . Величинаε ≡ ε11 + ε22 + ε33 называется относительным изменением объема (можно показать, чтоε = (dV − dV0 )/dV0 , где dV0 , dV – элементарные объемы тела до и после деформации).3.2.7.Девиатор тензора деформацийКак тензор напряжений, так и тензор деформаций можно представить в виде суммышарового тензора и тензора-девиатора: ε11 ε12 ε13ε 0 0ε11 − ε/3γ12 /2γ13 /211ε22 − ε/3γ23 /2 = εI + e.ε = ε12 ε22 ε23 = 0 ε 0 + γ12 /233ε13 ε23 ε330 0 εγ13 /2γ23 /2ε33 − ε/3(3.28)Для девиатора тензора деформаций (как и для тензора деформаций) определяются инварианты заменой εi на ei :I1e = e1 + e2 + e3 = 0,1I2e = − [(ε1 − ε2 )2 + (ε2 − ε3 )2 + (ε3 − ε1 )2 ],6I3e = e1 e2 e3 .(3.29)Важную роль в теории пластичности играет величина, называемая интенсивностью деформации сдвига:√ √√23 2e22Γ ≡ 2 −I2 =(ε11 − ε22 )2 + (ε22 − ε33 )2 + (ε11 − ε33 )2 + (γ12+ γ13+ γ23), (3.30)32которую можно рассматривать как суммарную характеристику искажения формы элемента твердого тела.3.2.8.Уравнения движения (равновесия) в сильной формеУравнения движения произвольного подобъема ω ⊆ V с границей ∂ω записываютсяв виде баланса всех сил, действующих на выбранный подобъем (аксиома локализации),при этом инерционные силы ρü рассматриваются как особый вид объемных сил:∫∫(n)(3.31)p dS + ρ(b − ü) dV = 0.∂ωω3.2..
Тензоры напряжений и деформаций, уравнения движения (равновесия)49Здесь и далее точка над величиной обозначает частную производную этой величины повремени t. Используя равенство (3.2) и формулу Гаусса – Остроградского, получим из(3.31) интегральное равенство:∫[∇ · σ + ρ(b − ü)] dV = 0,(3.32)ωкоторое, в силу произвольности ω, эквивалентно поточечному равенству∇ · σ + ρb = ρü в V⇔σij,j + ρbi = ρüi в V.(3.33)В случае пренебрежения действием инерционных сил (т. е. в предположении ü = 0) уравнения движения сводятся к уравнениям равновесия:∇ · σ + ρb = 0 в V⇔σij,j + ρbi = 0 в V.(3.34)Как уравнения движения, так и уравнения равновесия дополняются граничнымиусловиями:u = u∗ на Sun · σ = p∗ на Sp⇔⇔ui = u∗i на Su ,ni σij = p∗j на Sp ,(3.35)где Su и Sp – непересекающиеся участки поверхности S деформируемого тела, причемS = Su ∪ Sp ; верхний правый индекс «∗» обозначает заданную величину.
К уравнениямдвижения добавляются также начальные условия:u(t0 ) = u0 , u̇(t0 ) = v03.2.9.⇔ui (t0 ) = u0i ,u̇i (t0 ) = vi0 .(3.36)Уравнения движения в слабой форме (уравнение принципавиртуальных работ)Уравнения движения (равновесия) с граничными и начальными условиями справедливы для достаточно гладких полей тензора напряжений. Однако точные решения можнонайти только для сравнительно узкого круга задач механики деформируемого твердого тела, поэтому эти задачи решаются, в основном, приближенно, с использованием численныхметодов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
