1625914689-e957c8b7a8e4003fe3539e4e0e465a65 (532400), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Тогда функционал(3.46) приобретает следующий вид:∫∫(3.55)I(u) = (W (ε̃ + δε) − ρb · (ũ + δu)) dV − p∗ · (ũ + δu) dS.VSp3.3.. Уравнения линейной теории упругости53Имеем111W (ε̃ + δε) = (ε̃ + δε) : Ce : (ε̃ + δε) = ε̃ : Ce : ε̃ + ε̃ : Ce : δε + δε : Ce : δε =222= W (ε̃) + σ̃ : δε + W (δε). (3.56)Из (3.55) и (3.56) получим∫∫∫∫∗I(u) = ( (W (ε̃) − ρb · ũ) dV − p · ũ dS) + ( (σ̃ : δε̃ − ρb · δu) dV − p∗ · δu dS) +VSp∫VSpW (δε) dV ) = I(ũ) + δI(ũ, δu) + δ 2 I(δu). (3.57)+(VИз (3.51), уравнений равновесия (3.34) и граничных условий для вектора напряжений в(3.35) получим∫∫δI(ũ, δu) = − (∇ · σ̃ + ρb) · δu dV + (n · σ̃ − p∗ ) · δu dS = 0,(3.58)VSpоткуда следует, что истинное решение доставляет стационарное значение функционалуJ(u).
Покажем, что это стационарное значение – абсолютный минимум. Из (3.57) и (3.58)имеемI(u) = I(ũ) + δ 2 I(δu).(3.59)Используя стандартное предположение линейной теории упругости о том, что удельнаяпотенциальная энергия деформаций W (ε) – положительно определенная квадратичнаяформа, имеемδ 2 I(δu) ≥ 0, δ 2 I(δu) = 0 ⇔ δu = 0.(3.60)Из (3.59) и (3.60) получим неравенство:I(ũ) ≤ I(u),3.3.3.I(ũ) = I(u) ⇔ ũ = u.(3.61)Теорема единственности решений статических задач линейной теории упругостиТеорема.
Решение статических уравнений линейной теории упругости (3.34), (3.41),(3.42) и граничных условий (3.35) единственно относительно компонент тензоров деформаций и напряжений.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть имеются два решения ε′ , ε′′ и σ ′ , σ ′′ . Если мыобозначим ∆ε = ε′ − ε′′ , ∆σ = σ ′ − σ ′′ , то из уравнений и граничных условий (3.34),(3.35), (3.41), (3.42) получим уравнения для разностей ∆ε и ∆σ:∇ · (∆σ) = 0 в V, ∆u = 0 на Su , n · ∆σ = 0 на Sp ,1∆ε = (∇(∆u) + ∇(∆u)T ), ∆σ = Ce : ∆ε.2(3.62)Сделаем скалярные произведения левых и правых частей первого уравнения с вектором∆u и проинтегрируем полученные выражения по V , получим∫∇ · (∆σ) · ∆u dV = 0.(3.63)V54Глава 3.
Основные понятия механики деформируемого твердого тела . . .Преобразуя подынтегральное выражение в левой части равенства (3.63), имеем∫(∇ · (∆σ · ∆u) − ∆σ : ∆ε) dV = 0.(3.64)VИспользуя формулу Гаусса – Остроградского, получим из (3.64)∫∫∆σ : ∆ε dV = n · ∆σ · ∆u dS.V(3.65)SИз (3.43) имеем равенство ∆σ : ∆ε = 2W (∆ε), тогда, используя (3.62), (3.65), получим∫2W (∆ε) dV = 0.(3.66)VТак как W – положительно определенная квадратичная форма, то из (3.66) следует, что∆ε = 0 всюду в V , а значит, и ∆σ = Ce : ∆ε = 0.3.4.Заключительные замечанияОсновные понятия теории напряжений, деформаций и постановка начально-краевойзадачи упругого деформирования даны в этой главе в краткой форме, достаточной дляпонимания дальнейшего материала. В следующей главе рассмотрим постановки и методырешения задач пластического деформирования тел в наиболее простой форме – в случаеиспользования упрощенной модели жесткопластического материала, т.
е. такого материала, который начинает деформироваться только тогда, когда компоненты тензора напряжений удовлетворяют условию текучести.Глава 4Жесткопластическое деформированиетвердого тела при условии плоскойдеформации4.1.4.1.1.Основные уравнения деформирования тел из жесткопластического материалаПлоская деформацияПлоской деформацией называется такое деформированное состояние тела, при котором смещения всех частиц тела параллельны одной плоскости. Эту плоскость выбирают вкачестве плоскости Ox1 x2 . Таким образом, плоская деформация в трехмерном теле определяется следующим условием, наложенным на перемещения:u1 = u1 (x1 , x2 ),u2 = u2 (x1 , x2 ),u3 = 0.(4.1)Такое состояние характерно для призматических или цилиндрических тел из однородного изотропного материала, нагруженных по нормали к боковой поверхности силами, независящими от z.4.1.2.Модель жесткопластического материалаТочные решения задач плоского деформирования для тел из упругопластическогоматериала найти затруднительно, однако такие решения можно найти в предположении отом, что материал тела является жесткопластическим, т.
е. деформирование происходиттолько в тех областях, где выполнено условие текучести. Условие текучести – условиеперехода материала в пластическое состояние – может, например, иметь следующий вид:τmax = τy .(4.2)При этом материал начинает пластически деформироваться, если максимальное касательное напряжение τmax достигает предела текучести при сдвиге τy , значение которого можетбыть получено, например, из эксперимента.Допуская такое упрощение, мы вносим в решение задач погрешность, которую трудно оценить, но если пластические деформации локализованы в некоторой области и настолько велики, что в сравнении с ними упругими деформациями можно пренебречь, тожесткопластический материал достаточно хорошо моделирует реальный материал.
Такой5556Глава 4. Жесткопластическое деформирование твердого тела . . .тип деформирования реализуется в технологических задачах с установившейся текучестью, к которым относятся, например, прокатка, волочение проволоки или штамповка.Для этих процессов решения задач с использованием модели жесткопластического материала удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными, хотя не всегдабывают однозначны. Кроме того, модель жесткопластического материала дает возможность получать оценки предельных нагрузок.4.1.3.Главные напряжения при плоской деформацииСчитается, что пластические деформации не могут быть вызваны гидростатическимнагружением, которое задается шаровой частью тензора напряжений, поэтому пластическую составляющую тензора деформаций связывают с девиатором тензора напряженийсоотношениями вида dεpij = dλsij или εpij = φsij , о которых более подробно будет написанов следующей главе.
Поскольку ε33 = ∂u3 /∂x3 = 0, из этих соотношений следует, чтоσ33 − σ = 0 ⇒ σ = (σ11 + σ22 )/2,(4.3)где σ ≡ (σ11 + σ22 + σ33 )/3 – гидростатическое давление (см. (3.1)).При плоской деформации напряженно-деформированное состояние во всех сеченияхx3 = const одинаково и его компоненты не зависят от координаты x3 . При этом γ13 = γ23 =0, следовательно и τ13 = τ23 = 0. Из характеристического уравнения σ11 − λτ120=0 τ12σ−λ0(4.4)2200σ33 − λполучаем, что компонент σ33 является одним из главных напряжений. Обозначим его какσ3 , отказавшись от стандартного правила нумерации главных напряжений, приведенногов главе 3.Найдем два оставшихся главных напряжения из характеристического уравнения σ11 − λτ12 = 0.(4.5) τ12σ22 − λ Собирая полученные главные напряжения, имеем√√1122σ1 = σ +(σ11 − σ22 )2 + 4τ12, σ2 = σ −(σ11 − σ22 )2 + 4τ12, σ3 = σ33 = σ.22Так как максимальное касательное напряжение определяется выражением√112τmax = (σ1 − σ2 ) =(σ11 − σ22 )2 + 4τ12≡ τ,22то главные напряжения запишем в следующем виде:σ1 = σ + τ,σ2 = σ − τ,σ3 = σ.Здесь τ – напряжение чистого сдвига.Направляющие косинусы первого главного направления находим из системы{2τ12(σ11 − σ1 ) cos(1, x1 ) + τ12 cos(1, x2 ) = 0⇒ tg 2(1, x1 ) =.τ12 cos(1, x1 ) + (σ22 − σ1 ) cos(1, x2 ) = 0σ11 − σ22(4.6)(4.7)(4.8)(4.9)Здесь выражения (1, x1 ) и (1, x2 ) обозначают значения углов между первым главным направлением и осями x1 и x2 соответственно.
Зная первое главное направление, мы можемнайти направления площадок, на которых действуют максимальные касательные напряжения, так как эти направления составляют с главным направлением угол ±π/4. Напомним, что второе главное направление ортогонально первому главному направлению.4.2..
Линии скольжения и их свойства4.1.4.57Основные уравнения в напряжениях по деформированиютела из жесткопластического материала при плоской деформацииКогда среда находится в состоянии идеальной пластичности, выполнено условие(4.2), которое с использованием (4.7) можно переписать в следующем виде:2(σ11 − σ22 )2 + 4τ12= 4τy2 .(4.10)Пренебрегая инерционными силами и силами веса, выпишем уравнения равновесия тела(3.34) в условиях плоской деформации:σ11,1 + τ12,2 = 0,τ12,1 + σ22,2 = 0.(4.11)Добавляя к этим уравнениям граничные условия для напряжений, получим полную систему уравнений для определения напряженного состояния независимо от деформаций.Для решения полной задачи теории пластичности нам нужны еще соотношения,связывающие напряжения с деформациями, например, вида dεpij = dλsij .
Однако, еслииспользовать рассматриваемую упрощенную модель для нахождения предельных нагрузок, эти соотношения нам не понадобятся, поэтому здесь мы ограничимся уравнениями внапряжениях (4.10), (4.11).Далее рассматриваем компоненты тензора напряжений, относящиеся к плоскости деформирования. Выразим эти компоненты через главные напряжения следующим образом:σ1 + σ2 σ1 − σ2σ11 =+cos 2(1, x1 ),22σ1 + σ2 σ1 − σ2σ22 =−cos 2 (1, x1 ),(4.12)22σ1 − σ2τ12 =sin 2(1, x1 ).2Так как 2σ = σ1 + σ2 и 2τ = σ1 − σ2 , то равенства (4.12) можно переписать в более простомвиде:σ11 = σ − τy sin 2((1, x) − π/4),σ22 = σ + τy sin 2((1, x) − π/4),τ12 = τy cos 2((1, x) − π/4).(4.13)Справедливость этих уравнений автоматически означает удовлетворение условия текучести. Подставив выражения для компонент тензора напряжений из (4.13) в (4.11), получимследующую систему дифференциальных уравнений в частных производных от неизвестных функций σ(x1 , x2 ) и θ(x1 , x2 ) = ((1, x) − π/4):σ,1 − 2τy (θ,1 cos 2θ + θ,2 sin 2θ) = 0,σ,2 − 2τy (θ,1 sin 2θ − θ,2 cos 2θ) = 0,(4.14)определяющую напряженное состояние жесткопластического твердого тела при плоскойдеформации.4.2.4.2.1.Линии скольжения и их свойстваОпределение и уравнения линий скольженияЛинии, в каждой своей точке касающиеся площадок максимального касательногонапряжения, называются линиями скольжения.
Именно вдоль линий скольжения образуются полосы Чернова – Людерса, что позволяет на телах из многих материалов непосредственно наблюдать конфигурации полей скольжения. Линии скольжения образуют58Глава 4. Жесткопластическое деформирование твердого тела . . .аx2bбs1tts2qsabsa(1,x1)x1Рис.
4.1. Два семейства линий скольжения а) и напряжения на границах выделяемого ими элемента скольжения б )два ортогональных семейства, характеризующихся уравнениямиx1 = x1 (α, β),x2 = x2 (α, β),(4.15)где α, β – некоторые параметры. Линии, соответствующие фиксированным значениям параметра β, называются α-линиями, и наоборот.
Линии α отклоняются на угол π/4 вправоот первого главного направления, а линии β – влево. Направления α- и β-линий задаем так,чтобы они образовывали правую систему координат. При этом напряжение τ положительно. Отсчитываемый в положительном направлении от оси Ox1 угол наклона касательнойк α-линии назовем углом θ (рис.
4.1, а), т. е. θ = (1, x) − π/4. Семейства α- и β- линийзадаются, соответственно, дифференциальными уравнениями:dx2= tan θ,dx1dx1= − cot θ.dx2(4.16)Линии скольжения покрывают область ортогональной сеткой, и бесконечно малые элементы, на которые эта сетка делит область, испытывают одинаковое растяжение в направлении линий скольжения обоих семейств (рис. 4.1, б ).4.2.2.Линии скольжения как характеристики системы дифференциальных уравнений в напряженияхПусть имеется некоторая линия L, заданная уравнениями xi = xi (s), i = 1, 2(s – некоторый параметр), и вдоль нее известны значения искомых функций σ = σ(s),θ = θ(s).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
