1625914689-e957c8b7a8e4003fe3539e4e0e465a65 (532400), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Будем искать σ(x1 , x2 ), θ(x1 , x2 ), принимающие вдоль L эти заданные значения.Если L – характеристическая линия, то решение краевой задачи невозможно, так каквдоль этой линии нельзя однозначно определить из дифференциальных уравнений первыепроизводные от решения.Перейдем от системы координат x1 , x2 к системе координат s1 , s2 , где s1 отсчитывается вдоль касательной к L в некоторой точке P , а s2 – вдоль нормали. Если σ и θ дифференцируемы, то вдоль L кроме них известны их производные ∂σ/∂s1 и ∂θ/∂s1 .
Уравненияравновесия (4.11) и пластичности (4.10), как и (4.14), при переходе от координат x1 , x2 ккоординатам s1 , s2 не меняют своего вида. При этом угол θ, определяющий направлениеплощадки скольжения в точке P , здесь отсчитывается от оси s1 .Если θ ̸= 0, π/2 (т. е. линия L не является линией скольжения), то, зная ∂σ/∂s1 и∂θ/∂s1 на L, можно из уравнений (4.14), записанных для s1 , s2 , найти производные ∂σ/∂s2 ,∂θ/∂s2 и решить краевую задачу.4.2.. Линии скольжения и их свойства59Если же L – линия скольжения (θ = 0, π/2), упомянутые производные нельзя определить из (4.14). В этом случае линия L будет характеристической линией. Таким образом,характеристические линии совпадают с линиями скольжения, а значит, существует двасемейства характеристических линий, т.
е. система (4.14) относится к гиперболическомутипу.Если координатные оси s1 , s2 являются касательными к линиям скольжения, уравнения (4.14) приводятся к следующему виду:∂(σ − 2τy θ) = 0,∂sα∂(σ + 2τy θ) = 0,∂sβ(4.17)где частные производные берутся вдоль α- и β-линий соответственно. Уравнения (4.17)представляют собой уравнения равновесия бесконечно малого элемента пластической среды, образованного сеткой линий скольжения. Такой элемент называют элементом скольжения.Вдоль линий скольжения семейств α и β выполняются, соответственно, следующиеусловия:}}dx2 /dx1 = tg θdx2 /dx1 = − ctg θ;.(4.18)σ/2τy − θ = ξ(β)σ/2τy + θ = η(α)Параметр ξ меняется при переходе от одной α-линии к другой, но вдоль одной линииостается постоянным. То же справедливо относительно параметра η и β-линий. Такимобразом, если нам известно поле линий скольжения и параметры ξ и β на границах, исходящие из которых линии скольжения покрывают всю интересующую нас область, то вкаждой точке этой области известны величины σ и θ, а значит, и компоненты σ11 , σ22 , τ12тензора напряжений.4.2.3.Свойства линий скольженияЛинии скольжения обладают рядом свойств, полезных для построения искомого поляи последующего поиска напряжений:1.
Вдоль линии скольжения давление σ меняется пропорционально углу θ между линией скольжения и осью Ox1 .2. При переходе от одной β-линии к другой вдоль некоторой α-линии изменение угла θи давления σ не зависит от выбора α-линии. Аналогичное правило выполняется дляперехода между α-линиями вдоль β-линии.3. Если давление σ известно в какой-то точке сетки скольжения, его можно вычислитьвсюду в области, покрытой сеткой.4. Вдоль прямых отрезков линий скольжения величины σ, θ, ξ, η, σ11 , σ22 , τ12 постоянны. Если в некоторой области оба семейства линий скольжения представляютсяпрямыми, в этой области компоненты тензора напряжений постоянны.5.
Если некоторый отрезок линии скольжения прямой, то все соответствующие отрезкилиний его семейства, отсекаемые линиями другого семейства, тоже прямые.6. Прямые отрезки, отсекаемые линиями скольжения другого семейства, имеют одинаковую длину.7. Радиусы кривизны двух линий скольжения одного семейства в точках пересеченияих линией другого семейства отличаются на длину отсекаемого ими отрезка на этойлинии.60Глава 4.
Жесткопластическое деформирование твердого тела . . .8. Если двигаться вдоль α-линии в сторону вогнутости β-линий, то каждая последующая β-линия будет иметь радиус кривизны меньший, чем предыдущая β-линия.9. Если производные компонент тензора напряжений испытывают разрывы при переходе через линию скольжения одного семейства, то кривизна линий второго семействавдоль этой линии также разрывна.4.3.Линеаризация, простые напряженные состояния4.3.1.Линеаризация уравнений в напряженияхУравнения (4.14) можно привести к простому виду, используя в качестве неизвестныхфункций параметры ξ и η.
Для этой цели подставим в (4.14) величины σ и θ, определенныеиз следующих равенств:σ = τy (ξ + η), θ = (η − ξ)/2,(4.19)которые следуют из (4.18). После ряда преобразований система (4.14) приводится к следующему виду:ξ,1 + ξ,2 tg θ = 0, η,1 − η,2 ctg θ = 0.(4.20)Эту систему можно привести к линейной системе путем перемены ролей зависимыхи независимых переменных.
Если xi = xi (ξ, η) и в рассматриваемой области якобиан преобразования не равен нулю, т. е. ∆(ξ, η) = ξ,1 η,2 − ξ,2 η,1 ̸= 0, то, подставляя в (4.20) частныепроизводные ξ,1 = ∆∂x2 /∂η, ξ,2 = −∆∂x1 /∂η, η,1 = −∆∂x2 /∂ξ, η,2 = ∆∂x1 /∂ξ и сокращаяна ∆ ̸= 0, получаем каноническую линейную систему:∂x2 ∂x1+ctg θ = 0,∂ξ∂ξ4.3.2.∂x2 ∂x1−tg θ = 0.∂η∂η(4.21)Простые напряженные состоянияПолученная система (4.21) не эквивалентна исходной системе (4.14), так как теряетрешения, соответствующие ∆ = 0, однако эти потерянные решения, называемые интегралами плоской задачи, можно легко определить непосредственно.
Действительно, припомощи (4.20) условие ∆ = 0 записывается в следующем виде:∆(ξ, η) =22ξ,1 η,1 = −ξ,2 η,2 = 0,sin 2θsin 2θ(4.22)откуда вытекают три случая, для которых ∆ = 0 в некоторой области:1. Равномерное напряженное состояние ξ = const ≡ ξ0 , η = const ≡ η0 , для котороголинии скольжения обоих семейств – прямые (рис. 4.2, а).2. Простое напряженное состояние η = const ≡ η0 , для которого второе уравнение(4.20) удовлетворяется, а первое, в силу равенства ξ = −2θ + η0 , переписывается вследующем виде:θ,1 cos θ + θ,2 sin θ = 0.(4.23)Решения этой системы очевидны:θ = const ≡ C1 ,x2 − x1 tg θ = const ≡ C2 .Таким образом, одно семейство линий скольжения – прямые линии, зависящие отпараметров C1 , C2 . Напряжение σ = 2τy (η0 − θ) постоянно вдоль прямых. Второесемейство строится как семейство линий, ортогональных первым.4.4..
Граничные условия для компонент тензора напряженийабвг61дbaBAРис. 4.2. Иллюстрации простых напряженных состояний: а) равномерное напряженное состояние; б ) простое напряженное состояние с предельной кривой; в) центрированное поле; г), д )соединение областей простого и равномерного напряженных состояний3. Простое напряженное состояние ξ = const ≡ ξ0 , аналогичное состоянию случая 2.Равномерное напряженное состояние также является частным случаем простого напряженного состояния. В более общем случае прямолинейное семейство состоит из касательных к некоторой линии, называемой предельной кривой (рис. 4.2, б ).
Важным случаем является центрированное поле, когда предельная кривая вырождается в точку(рис. 4.2, в). В этом случае одно семейство линий представляет собой пучок прямых, исходящих из одной точки, а второе семейство состоит из концентрических окружностей.4.3.3.Теорема о простых напряженных состоянияхИсходя из свойств линий скольжения, можно сформулировать следующую теорему,полезную для построения полей скольжения.Теорема. В области, примыкающей к области равномерного напряженного состояния, всегда осуществляется простое напряженное состояние.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть в области A имеется равномерное напряженноесостояние (рис.
4.2, г), т. е. ξ = ξ0 , η = η0 . Участок линии скольжения, являющийсяграницей этой области, – отрезок прямой, как и все остальные участки в A, на нем такжеξ = ξ0 , η = η0 . Допустим, он является β-линией. По свойству 5 линий скольжения всоседней области B семейство β-линий будет состоять из прямых отрезков равной длины,причем ξ = ξ0 , так как каждая α-линия, пересекающая границу A и B, несет на себеодно и то же постоянное значение ξ0 . Таким образом, мы имеем в B простое напряженноесостояние.Области равномерного напряженного состояния можно соединять при помощи областей простого напряженного состояния (рис.
4.2, д ).4.4.Граничные условия для компонент тензора напряженийКогда поле линий скольжения построено, необходимо задать граничные условия длякомпонент тензора напряжений, чтобы найти эти компоненты внутри области.Пусть имеется некоторый контур C (рис. 4.3, а), на котором заданы нормальная икасательная составляющие тензора напряжений σn , τn , причем |τn | 6 τy .
Если φ – уголмежду нормалью к контуру C и осью Ox1 , то справедливы следующие соотношения:σn = σ11 cos2 φ + σ22 sin2 φ + τ12 sin 2φ,1τn = (σ22 − σ11 ) sin 2φ + τ12 cos 2φ.2(4.24)62Глава 4. Жесткопластическое деформирование твердого тела . . .абx2nx1tnstsnx2stCx1Рис. 4.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
