1625914689-e957c8b7a8e4003fe3539e4e0e465a65 (532400), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Эти свойства устанавлива-40Глава 2. Основы экспериментальных методов механики . . .ются путем статистического анализа экспериментальных данных. Если тело неоднороднонастолько, что этим нельзя пренебречь, оно может рассматриваться как совокупностьобъемов с разными свойствами, склеенных по границам.Существующие в настоящее время теории пластического деформирования сплошнойсреды не являются обобщением физических процессов пластичности, имеющих место намасштабном уровне кристаллической решетки. Они построены на основе общей теориидеформирования сплошной среды и экспериментальных наблюдений над необратимымдеформированием макроскопических объектов.

Такие теории пластичности называют феноменологическими.Глава 3Основные понятия механикидеформируемого твердого тела иуравнения линейной теории упругости3.1.Операции с тензорамиУравнения механики сплошной среды основаны на использовании тензоров (векторыявляются частным случаем тензоров, а именно, тензоров первого порядка), т.

е. объектов,инвариантных по отношению к преобразованию системы координат. Далее будем иметьдело с тензорами первого (векторами), второго и четвертого порядков. Векторы и тензоры будем обозначать полужирным шрифтом, например, a, σ – вектор и тензор второгопорядка соответственно; их компоненты – курсивом с нижними индексами, например ai ,σij (здесь и далее нижние индексы тензоров принимают значения от 1 до 3). Тензоры четвертого порядка будем обозначать двойными линиями, например, C, а их компоненты –следующим образом: Cijkl . Пусть в качестве системы отсчета выбрана декартова системакоординат с базисными векторами ki .

В этой системе координат вектор a, тензор второгопорядка σ и тензор четвертого порядка C представляются следующим образом:a = a i ki ,σ = σij ki ⊗ kj ,C = Cijkl ki ⊗ kj ⊗ kk ⊗ kl .Здесь и далее знаком ⊗ обозначена операция диадного (полиадного) произведения базисных векторов (тензор A = a ⊗ b имеет компоненты Aij = ai bj ), по повторяющимсяиндексам проводится суммирование.Пусть a, b – произвольные векторы, p, h – произвольные тензоры второго порядка,C – произвольный тензор четвертого порядка.

Определим следующие операции с тензорами:• векторное произведение векторовa × b = (a2 b3 − a3 b2 )k1 + (a3 b1 − a1 b3 )k2 + (a1 b2 − a2 b1 )k3 ;• внутреннее произведение тензоров (скалярное произведение векторов)a · b ≡ ai bi ,a · p ≡ ak pki ki ,p · a ≡ pik ak ki ,p · h ≡ pik hkj ki ⊗ kj ;• двойное внутреннее произведение тензоров (скалярное произведение тензоров второго порядка)p : h ≡ pij hij ,p : C ≡ pij Cijkl kk ⊗ kl ,C : p ≡ Cijkl pkl ki ⊗ kj ,41p : C : h ≡ pij Cijkl hkl ;42Глава 3. Основные понятия механики деформируемого твердого тела .

. .• тензорное (внешнее) произведениеa ⊗ b ≡ a i b j ki ⊗ kj ,p ⊗ h ≡ pij hkl ki ⊗ kj ⊗ kk ⊗ kl ;• транспонирование (операция определена только для тензора второго порядка)hT ≡ hji ki ⊗ kj ;• градиент вектора (тензор второго порядка)∇a ≡ ai,j kj ⊗ ki ,здесь и далее запятая обозначает дифференцирование по соответствующей координате(ai,j ≡ ∂ai /∂xj , xj – j-ая координата пространственной точки с радус-вектором x);• дивергенция тензора второго порядка (вектор)∇ · σ ≡ σij,i kj .Компоненты тензора второго порядка удобно представлять матрицей размером3 × 3, а компоненты вектора из трехмерного евклидова векторного пространства – векторстолбцом размером 3 из арифметического векторного пространства, т.

е. справедливы соответствия:σ11 σ12 σ13a1σ = σij ki ⊗ kj ⇒ σ =  σ21 σ22 σ23  ; a = ai ki ⇒ a =  a2  .σ31 σ32 σ33a3Кроме того, мы устанавливаем соответствие между операциями с тензорами со стандартными операциями с матрицами и векторами из линейной алгебры:a · b ⇒ aT b,a · p ⇒ aT p,p · a ⇒ pa,p · h ⇒ ph.Здесь и далее aT – вектор-строкаaT = [a1 , a2 , a3 ],которая получается из вектор-столбца a операцией транспонирования.3.2.3.2.1.Тензоры напряжений и деформаций, уравнения движения (равновесия)Вектор напряженийДля построения математической модели деформируемого твердого тела необходимообобщить рассмотренное во Введении понятие напряжения как отношения действующейсилы к поперечному сечению тела, на случай произвольного нагружения, чтобы можнобыло характеризовать напряженное состояние в любой точке тела при любом виде напряженного состояния.Пусть тело представляет собой некоторую область V пространства, заполненнуюсплошной средой и ограниченную поверхностью S (рис.

3.1, а). На него действует двавида сил: приложенные к поверхности поверхностные силы f (силы контактного взаимодействия с другими телами или средами) и приложенные ко всем точкам объема объемные, или массовые силы b (силы инерции, гравитация). Объемные силы отнесены к3.2.. Тензоры напряжений и деформаций, уравнения движения (равновесия)абf2f143nPVDfD∂wwf4bf3S∂wРис. 3.1. Действие сил извне и внутри сплошного тела: а) действие внешних сил, б ) действиевнутренних силмассе объема, на который они действуют, т. е. на всякий элементарный подобъем телаdV = dx1 dx2 dx3 действует сила bdm = bρdx1 dx2 dx3 , где dm – элементарная масса,ρ ≡ dm/dV – массовая плотность материала. На тех участках поверхности, на которыхне задано действие поверхностных сил, должны быть заданы условия на перемещение(например, запрет перемещения, т. е.

закрепление участка поверхности).Поскольку действие сил передается от одной части среды к другой, произвольный подобъем внутри тела можно рассматривать как тело, на которое действуют поверхностныесилы со стороны окружающего материала. Обозначим такой подобъем ω, его поверхность – ∂ω и возьмем некоторую точку P ∈ ∂ω. Рассмотрим участок ∆∂ω поверхности∂ω, содержащий точку P , настолько малый, что его можно считать плоским, и имеющийвектор внешней нормали единичной длины n. Со стороны окружающего материала на подобъем ω через площадку ∆∂ω будет действовать равнодействующая поверхностных сил∆f , зависящая от выбора площадки ∆∂ω и вектора n (рис.

3.1, б ).Принцип напряжения Коши формулируется следующим образом: если ∆∂ω стянутьк точке P , отношение ∆f /∆∂ω устремится к пределу df /d∂ω. Этот результирующий вектор называется вектором напряжений в данной точке. Обозначим его p(n) ≡ df /d∂ω.Он зависит от выбора нормали, т. е. от выбора ориентации той элементарной площадки,содержащей точку P , на которой мы хотим определить вектор напряжений. Другими словами, компоненты этого вектора зависят от шести величин – трех координат точки и трехкомпонент вектора внешней нормали единичной длины n к поверхности ∆∂ω:p(n) = p(n) (x1 , x2 , x3 , n1 , n2 , n3 ).3.2.2.(3.1)Тензор напряженийТензоры второго порядка производят линейное отображение векторов евклидова точечного пространства на векторы того же пространства.

Сделаем предположение о том,что на любой элементарной площадке ∆∂ω, приписанной к фиксированной точке тела P скоординатами (x1 , x2 , x3 ) и ориентированной вектором внешней нормали единичной длины n к поверхности ∆∂ω, существует симметричный тензор σ, производящий линейноеотображение вектора n на вектор p(n) :p(n) = σ · n = n · σ(n)⇔ pi= nk σki = σik nk .(3.2)Тензор σ называется тензором напряжений.

Концепция тензора напряжений, авторомкоторой является известный математик и механик О. Л. Коши, оказалась весьма плодотворной в механике сплошной среды, так как равенство (3.2) позволяет характеризовать44Глава 3. Основные понятия механики деформируемого твердого тела . . .напряженное состояние в фиксированной точке P деформируемого тела только шестьюнезависимыми величинами: компонентами σij = σji тензора σ независимо от выбраннойплощадки ∆∂ω. В матричном представлении тензор напряжений имеет следующий вид:σ11 σ12 σ13σ =  σ21 σ22 σ23  .(3.3)σ31 σ32 σ33Компоненты тензора напряжений σ11 , σ22 , σ33 называются нормальными, а остальныекомпоненты – касательными, или напряжениями сдвига. Часто используется обозначениеτij ≡ σij при i ̸= j.3.2.3.Главные напряжения и направленияЕсли взять площадку с вектором внешней нормали единичной длины n, нормальнаяи касательная компоненты вектора напряжений p(n) на этой площадке будут определятьсяследующим образом:√σn = σij ni nj ,τn =p21 + p22 + p23 − σn2 .(3.4)Для каждой точки можно найти три таких взаимно перпендикулярных площадки,для которых касательные компоненты вектора напряжения равны нулю, т.

е. напряженноесостояние в точке можно выразить через тройку нормальных напряжений, действующихна взаимно перпендикулярных площадках. Направления векторов нормалей к таким площадкам называются главными направлениями тензора напряжений, а соответствующиенормальные напряжения – главными напряжениями. Тензор напряжений, представленный в системе координат, совпадающей с главными осями (в общем случае для каждойточки тела строится своя собственная система координат, оси которой совпадают с главными осями), имеет диагональный вид:σ1 0 0σ =  0 σ2 0  ,(3.5)0 0 σ3причем номера его компонент выбираются так, что σ1 > σ2 > σ3 .

При этом на площадках,которые делят углы между главными площадками пополам и проходят через главные оси,действуют главные касательные напряжения:σ2 − σ3σ1 − σ3σ1 − σ2τ1 =, τ2 =, τ3 =.(3.6)222Наибольшее напряжение τn , действующее в данной точке, называется максимальнымкасательным напряжением. Можно показать, чтоσ1 − σ3τmax = τ2 =.(3.7)2Главные напряжения являются корнями характеристического уравнения:det (σ − λI) = 0;λ3 − I1σ λ2 + I2σ λ − I3σ = 0,где I – единичный тензор, а величины1222,−τ23−τ13I1σ = trσ ≡ 3σ, I2σ ≡ [σii σjj −σij σij ] = σ11 σ22 +σ22 σ33 +σ33 σ11 −τ122(3.8)I3σ = det σ,(3.9)или, в главных напряжениях,I1σ = σ1 + σ2 + σ3 ≡ 3σ,I2σ = σ1 σ2 + σ2 σ3 + σ3 σ1 ,I3σ = σ1 σ2 σ3 ,(3.10)не зависят от выбора системы координат и поэтому называются главными инвариантамитензора напряжений.3.2..

Тензоры напряжений и деформаций, уравнения движения (равновесия)3.2.4.45Девиатор тензора напряженийМатериал по-разному реагирует на сдвиг и на всестороннее сжатие или растяжение.Как было показано в главе 1, пластическая деформация осуществляется в основном засчет сдвигов, происходящих в материале. В связи с этим рассмотрим разложение тензоранапряжений на шаровой тензор и тензор-девиатор:  σ11 τ12 τ13σ 0 0σ11 − στ12τ13σ22 − στ23  = σI + s, (3.11)σ =  τ12 σ22 τ23  =  0 σ 0  +  τ12τ13 τ23 σ330 0 στ13τ23σ33 − σгде σ = (σ11 + σ22 + σ33 )/3 – гидростатическое, или среднее давление.Шаровой тензор отвечает за равномерное всестороннее растяжение/сжатие, при котором меняется объем, а форма тела остается неизменной.

Девиатор тензора напряженийхарактеризует состояние сдвига, при котором меняется форма тела, но не меняется объем.Для девиатора тензора напряжений так же, как и для тензора напряжений, определяются инварианты путем замены главных компонент тензора напряжений σi на главныекомпоненты девиатора тензора напряжений si (для упрощения записи вводим новые обозначения J2 , J3 ):I1s = s1 + s2 + s3 = 0,11J2 ≡ −I2s = sij sij = [(σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1 )2 ],26(3.12)J3 ≡ I3s = s1 s2 s3 .Введем также неотрицательную величину, называемую интенсивностью касательных напряжений:√√1222T = J2 = √(σ11 − σ22 )2 + (σ22 − σ33 )2 + (σ11 − σ33 )2 + 6(τ12+ τ13+ τ23).63.2.5.Тензор деформаций3.2.5..1Меры однородной деформации(3.13)Самым простым и наглядным типом деформации является однородная деформация,т.

Характеристики

Список файлов книги