1625914689-e957c8b7a8e4003fe3539e4e0e465a65 (532400), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Для первоначально изотропных материалов функция текучести зависит только оттрех главных напряжений или (что то же самое) от трех инвариантов тензора напряжений I1σ , I2σ , I3σ , т. е. критерий текучести можно записать в следующем виде:f (I1σ , I2σ , I3σ ) = 0.(5.2)2. Для металлов влияние среднего давления σ = σii /3 = I1σ /3 на процесс формоизменения пренебрежимо мало, поэтому уравнение (5.2) сводится к следующему виду:f (J2 , J3 ) = 0.5.1.4.(5.3)Кривая текучестиРассмотрим условие текучести (5.1) в абстрактном евклидовом пространстве, где вкачестве декартовой системы координат выбираются координатные линии с координатами, численно равными главным значениям тензора напряжений. Это евклидово пространство называется пространством напряжений. Плоскость σ1 + σ2 + σ3 = 0 проходит черезначало координат и наклонена одинаково ко всем осям.
Она называется девиаторной плоскостью. Компоненты вектора нормали √единичной длины n к этой плоскости будут иметьследующие значения: n1 = n2 = n3 = 1/ 3. В этом пространстве тензор напряжений отобTражается радиус-вектором p = [σ1 , σ2 , σ3 ]T , а девиатор√ – вектором s = [s1 , s2 , s3 ] , которыйлежит в девиаторной плоскости, причем p = s + 3σn.
Прямая линия σ1 = σ2 = σ3 , называемая гидростатической осью, проходит через начало координат и перпендикулярнадевиаторной плоскости (рис. 5.3).Уравнение (5.3) задает в пространстве напряжений цилиндрическую поверхность,образующей которой является гидростатическая ось. След этого цилиндра на девиаторной плоскости называют кривой текучести (рис. 5.4). Угол θ, определяющий положениевектора девиатора на девиаторной плоскости (см. рис. 5.4), называется углом вида напряженного состояния.
Он возникает при представлении решения характеристическогоуравнения для девиатора(5.4)s3 − J2 s − J3 = 05.1.. Идеальная пластичность, упрочнение и условия пластичностиs3девиаторная плоскостьs1+s2+s3=0гидростатическая осьs1=s2=s3nps2ss1Рис. 5.3. Девиаторная плоскость, гидростатическая ось и вектор напряженияs3s3≥s1≥s2s3≥s2≥s10s1≥s3≥s2s2≥s3≥s1s1s2qss1≥s2≥s3s2≥s1≥s3Рис. 5.4. Кривая текучести7172Глава 5. Упругопластическое деформирование твердого телав тригонометрическом виде:2πs1 = √ T cos(θ + ),632s2 = √ T sin θ,32πs3 = − √ T cos(θ − ),63где T – интенсивность касательных напряжений (см. п.
3.2.5),( √)3 3 J3ππ1θ = arcsin −, − 6θ6 .332 T66(5.5)(5.6)Замкнутая кривая текучести имеет следующие свойства:1) содержит внутри начало координат;2) симметрична относительно прямых, перпендикулярных осям si , т. е. при изменениизнака напряжений состояние пластичности достигается при тех же значениях напряжений;3) выпукла (невогнута), что следует из принципа Мизеса или из постулата Друкера(см. п. 5.3).В изотропном материале главные направления эквивалентны, предполагаем, что пределы текучести при растяжении и сжатии равны, поэтому кривая текучести должна пересекать оси si в шести точках, равноудаленных от начала координат, и вся она состоитиз двенадцати одинаковых дуг, на которые рассечена осями si и перпендикулярными кним прямыми.
Поэтому, для того, чтобы в экспериментальных исследованиях построитьповерхности текучести, достаточно построить точки экспериментальных данных вдольодной из этих дуг.Любое изменение напряженного состояния, заданное вектором, лежащим внутри области, ограниченной кривой текучести, вызывает упругое деформирование. Если перемещение в девиаторной плоскости происходит вдоль кривой текучести, имеем пластическоетечение. Если начальная точка пути нагружения лежит на кривой текучести, а векторприращения компонент девиатора тензора напряжений направлен внутрь этой кривой, тоосуществляется разгрузка материала по упругому закону деформирования.
Если же этотвектор направлен наружу, должно произойти упрочнение, т. е. такое изменение поверхности текучести, что при движении вовне области первоначального упругого деформирования мы всегда будем оставаться на поверхности текучести (напряженные состояния запределами этой поверхности не имеют физического смысла).Математически это выражается следующим образом.
Если поверхность текучестизадана уравнением f (σij ) = k (= const) (идеальный упругопластический материал,см. рис. 5.5, а), упругое деформирование происходит при условииf (σij ) < k,(5.7)разгрузка (сопровождаемая упругим деформированием) – при условии∂fσ̇ij < 0,f (σij ) = k, f˙ =∂σij(5.8)пластическое деформирование – при условии∂ff (σij ) = k, f˙ =σ˙ij = 0.∂σij(5.9)Если рассматривается материал с изотропным упрочнением, величина k становится переменной (рис. 5.5, б ). В этом случае условие (5.9) отвечает нейтральному нагружению, апластическое деформирование происходит при выполнении условия∂fσ̇ij > 0.f˙(σij ) = k̇, f˙ =∂σij(5.10)5.1..
Идеальная пластичность, упрочнение и условия пластичностиа73бf(sij ) = kупругость∂f∂sij∂f∂sijупругостьsijsijsijsijнагружениеразгрузка(упругая)нагружениеразгрузка(упругая)нейтральноенагружениеРис. 5.5. Поверхности текучести для идеального упругопластического материала а) и для материала с деформационным упрочнением б )1m ijsij2m ijРис. 5.6. Сингулярная пластичностьПоверхность текучести не обязательно должна быть гладкой. Она может иметь угловыеточки, т.
е. такие точки, в которых касательные образуют конусы с вершинами в этих точках. В этом случае имеет место сингулярная пластичность. При наличии угловой (сингулярной) точки вектор догрузки должен лежать внутри конуса, образованного нормалями.В сингулярной точке возможны три варианта нагружения (рис. 5.6):1) полная догрузкаσ˙ij m1ij > 0, σ˙ij m2ij > 0,(5.11)где m1ij и m2ij – нормали к поверхностям текучести;2) неполная догрузкаσ˙ij m1ij > 0, σ˙ij m2ij ≤ 0,(5.12)илиσ˙ij m1ij ≤ 0, σ˙ij m2ij > 0;(5.13)σ˙ij m1ij ≤ 0, σ˙ij m2ij ≤ 0.(5.14)3) полная разгрузка5.1.5.Критерии текучести Треска и МизесаРассмотрим два наиболее часто используемых критерия текучести.Первый критерий определяется условием текучести Треска (Треска – Сен-Венана,или условием максимальности касательного напряжения).
Этот критерий означает, чтопри пластическом течении главные компоненты тензора напряжений должны удовлетворять выполнению равенства:2τmax = max{|σ1 − σ2 |, |σ1 − σ3 |, |σ2 − σ3 |} = σy .(5.15)74Глава 5. Упругопластическое деформирование твердого телабаповерхность текучести Мизесаs3поверхность текучести Трескаs3s2s2s1s1Рис. 5.7. Поверхности текучести Треска и Мизеса в пространстве напряженийs3sy = 2tyкривая текучести Трескакривая текучести Мизеса0sy = 3 t ys1s2Рис.
5.8. Кривые текучести Треска и Мизеса на девиаторной плоскостиЗдесь мы отказываемся от правила σ1 > σ2 > σ3 , иначе всегда бы выполнялось равенство2τmax = σ1 − σ3 . Поверхность текучести в этом случае представляет собой шестиугольнуюпризму (рис. 5.7, а), а кривая текучести – правильный шестиугольник с вершинами наосях si в их положительной и отрицательной частях (рис. 5.8).В случае чистого сдвига (напряженного состояния, которое реализуется в эксперименте при кручении тонкостенных трубок) выполнены равенства σ1 = τ, σ2 = 0, σ3 = −τ ,т. е.
τmax = τ . Тогда при выполнении критерия текучести Треска пределы текучести присдвиге τy и при растяжении σy связаны соотношением:σy = 2τy .(5.16)Следующий критерий задается условием текучести Мизеса (Хубера – Мизеса, условие постоянства интенсивности касательных напряжений):√3T = σy ⇔ (σ1 − σ2 )2 + (σ1 − σ3 )2 + (σ2 − σ3 )2 = 2σy2 .(5.17)При чистом сдвиге выполняется равенство T = τ . Тогда при выполнении условия текучести Мизеса получаем соотношение, связывающее пределы текучести при сдвиге и прирастяжении:√σy = 3τy .(5.18)5.1..
Идеальная пластичность, упрочнение и условия пластичностиаб75вTNT*T*TjuNРис. 5.9. Иллюстрация закона трения Кулона: а) активные силы, приложенные к телу, скользящему по шероховатой поверхности; б ) диаграмма зависимости перемещения скользящего тела отсилы, направленной вдоль поверхности скольжения; в) определение угла внутреннего тренияПоверхность текучести в этом случае представляет собой цилиндр (рис. 5.7, б ), а криваятекучести – круг, описанный вокруг шестиугольника Треска (рис. 5.8).Для практических целей более удобным является представление функций текучестинепосредственно в компонентах тензора напряжений (а не в главных компонентах этого тензора).
Для этого перепишем условия текучести в инвариантах девиатора тензоранапряжений. В этом случае критерий текучести Треска записывается в следующем виде:( √)√13 3 J3(2T cos θ =)2 J2 cos θ = σy , θ ≡ arcsin −,(5.19)32 T3а критерий Мизеса имеет следующий вид:√3T = σy .(5.20)Поверхности текучести Треска и Мизеса для идеального упругопластического материала представляют в пространстве напряжений цилиндрические поверхности, образующими которых является гидростатическая ось, неограниченные по своей длине.5.1.6.Критерии текучести Кулона – Мора и Друкера – ПрагераПредставленные выше критерии текучести справедливы для поликристаллическихматериалов (металлов).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
