1625914689-e957c8b7a8e4003fe3539e4e0e465a65 (532400), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Теперь мы трактуем изменениерадиус-вектора деформаций от ε̄ к ε̄′ как изменение, контролируемое некоторым монотонно возрастающим параметром деформирования τ , при этом предполагаем, что изменение∆ε̄ является следствием изменения параметра τ , которое обозначим через ∆τ . Далее параметр δ отождествляем с ∆τ . Устремляя ∆τ к нулю, получаем из (5.52)IDσ̄ · d(Dε̄) = 0,(5.53)где D обозначает дифференциал по параметру τ . Тогда из (5.53) следует, что должнасуществовать некоторая скалярная функция W̌ такая, что справедливы соотношения:Dσij =∂ W̌ (Dεij ).Dεij(5.54)Заменяя дифференциалы величин на их производные по параметру деформирования τ ,получаем требуемое равенство в (5.47).
Отметим, что в качестве параметра деформирования τ может, в частности, использоваться и физическое (естественное) время. Мы использовали параметр деформирования, отличный от естественного времени, только дляудобства доказательства следствия.5.4.Определяющие соотношения теории пластическоготечения5.4.1.Стандартный вид записи определяющих соотношений дляупругопластического материалаВ соответствии с основной гипотезой теории пластичности, тензор деформаций εможно представить как сумму упругой εe и пластической εp составляющих (см.
(5.34)).Дифференцируя по времени левую и правую части равенства (5.34), получаемε̇ = ε̇e + ε̇p(5.55)Предполагаем, что тензор упругих деформаций связан с тензором напряжений закономГука:σ = Ce : εe ⇒ σ̇ = Ce : ε̇e ,(5.56)а скорость тензора пластической деформации определяется из ассоциированного законапластического течения (5.39), который мы перепишем в следующем виде:ε̇p = cλ∂f,∂σλ > 0.(5.57)Здесь мы ввели параметр c, который принимает при упругом деформировании материалаи при разгрузке от пластического деформирования значение 0, а при нагрузке от пластического деформирования – значение 1. В частности, для материала с деформационнымупрочнением параметр c определяется из следующих выражений:{0, если f < 0 или f = 0 и ∂f /∂σ : σ̇ 6 0(5.58),c=1, если f = 0 и ∂f /∂σ : σ̇ > 0а для идеального упругопластического материала – из формул:{0, если f < 0 или f = 0 и ∂f /∂σ : σ̇ < 0c=.1, если f = 0 и ∂f /∂σ : σ̇ = 0(5.59)5.4.. Определяющие соотношения теории пластического теченияh>0f=0.pe.s85дfдs..s-hepРис.
5.16. Определение параметра упрочненияНайдем скаляр λ для упрочняющегося материала. Введем параметр упрочнения h > 0 (рис. 5.16):h≡111˙ · ε̄˙ p =σ̄σ̇ij ε̇pij = √ p p σ̇ : ε̇p .pp˙˙∥ε̄ ∥∥ε̄ ∥ε̇ : ε̇(5.60)Тогда∂f∂f˙ − hε̄˙ p ) = 0.: (σ̇ − hε̇p ) = 0 ⇔· (σ̄(5.61)∂σ∂ σ̄Рассмотрим случай пластического деформирования (т. е. полагаем c = 1). Из (5.57) и(5.61) получим√()∂f /∂σ : σ̇∂f ∂fλ=(5.62); k≡:.hk 2∂σ ∂σОпределим тензор n таким образом, что в девятимерном евклидовом точечном пространстве этот тензор представляется вектором внешней нормали к поверхности текучести единичной длины:∂fn≡/k.(5.63)∂σИз (5.62) и (5.63) получаем выражение для определения параметра λ:λ = n : σ̇/(hk).(5.64)Из (5.57) и (5.64) получимc(n : σ̇)n.hПерепишем выражения в (5.58) в следующем виде:{0, если f < 0 или f = 0 и n : σ̇ 6 0c=.1, если f = 0 и n : σ̇ > 0ε̇p =(5.65)(5.66)Из (5.55) и (5.56) следует, чтоσ̇ = Ce : (ε̇ − ε̇p ).(5.67)Подставляя выражение для ε̇p из (5.65) в (5.67) с учетом равенства c = 1, получим()1n : Ce : ε̇eσ̇ = C : ε̇ − (n : σ̇) n⇒ n : σ̇ =(5.68).h1 + h1 n : Ce : nИз (5.64) и (5.68) имеемλ=1 n : Ce : ε̇k h + n : Ce : n(5.69)86Глава 5.
Упругопластическое деформирование твердого тела(σ̇ = C : ε̇ − cиe)n : Ce : ε̇n .h + n : Ce : n(5.70)Так как h > 0 и n : Ce : n > 0 (по свойству положительной определенности тензора определяющих соотношений Ce ), формулы (5.66) можно с учетом (5.68) переписать в следующемвиде:{0, если f < 0 или f = 0 и n : Ce : ε̇ 6 0c=.(5.71)1, если f = 0 и n : Ce : ε̇ > 0Найдем скаляр λ для идеального упругопластического материала. Переписывая выражения в (5.57), (5.59) с учетом обозначения (5.63), получимε̇p = cλ′ n,{иc=λ′ ≡ λk0, если f < 0 или f = 0 и n : σ̇ < 0.1, если f = 0 и n : σ̇ = 0(5.72)(5.73)Из (5.67) и (5.72) при c = 1 следует, чтоσ̇ = Ce : ε̇ − λ′ Ce : n.(5.74)Производя свертку левой и правой частей равенства в (5.74) с тензором n, имеемn : σ̇ = n : Ce : ε̇ − λ′ n : Ce : n.(5.75)Так как c = 1 при n : σ̇ = 0, то из (5.75) получимλ′ =n : Ce : ε̇n : Ce : n⇒λ=1 n : Ce : ε̇.k n : Ce : n(5.76)Подставляя выражение для λ′ из (5.76) в (5.74), имеем при c = 1σ̇ = Ce : (ε̇ −n : Ce : ε̇n).n : Ce : n(5.77)Так как для пластического течения λ > 0, то условие (5.73) можно переписать в виде(5.71).
Действительно, при n : Ce : ε̇ 6 0 может быть только упругое деформирование,так как из (5.76) следует невозможность выполнения неравенства λ 6 0 при пластическойдеформации (в силу того, что n : Ce : ε̇ > 0). Покажем от противного, что неравенствоn : Ce : ε̇ > 0 обязательно соответствует пластической деформации. Пусть при f = 0и n : Ce : ε̇ > 0 происходит упругое деформирование.
Тогда σ̇ = Ce : ε̇e , а значит,n : σ̇ = n : Ce : ε̇e > 0, что противоречит тому, что для идеального упругопластическоготела при упругом деформировании в состоянии разгрузки должны выполняться равенствоf = 0 и неравенство n : σ̇ < 0.Формулы (5.70) и (5.77) можно объединить, так что справедливо выражение:σ̇ = Ce : ε̇ − cn : Ce : ε̇Ce : n,eh+n:C :n(5.78)а параметр c определяется соотношениями (5.71). Для идеального упругопластическогоматериала в этих определяющих соотношениях надо положить h = 0. Перепишем (5.78) сиспользованием операции внешнего произведения тензоров, введенной в п. 3.1:σ̇ = Ce : ε̇ − c1((Ce : n) ⊗ (n : Ce )) : ε̇,h + n : Ce : n(5.79)5.4.. Определяющие соотношения теории пластического течения87откуда получаемσ̇ = Cep : ε̇,Cep = Cep (σ, ε̇, h).(5.80)Здесь введен тензор четвертого порядка, связывающий скорости тензоров напряжений идеформаций для упругопластического материала:Cep = Ce − c(Ce : n) ⊗ (n : Ce ).h + n : Ce : n(5.81)Таким образом, мы получили стандартный вид записи определяющих соотношений дляупругопластического материала.
Определяя функцию текучести f (σ, J2 , J3 ), получаем различные теории пластического течения с ассоциированным законом пластичности.Примечание. Если поверхность текучести имеет угловые точки (т. е. эта поверхность не является регулярной; точки сингулярности имеют, например, поверхности текучести Треска и Кулона – Мора), то при формулировке ассоциированного закона текучести(5.39), (5.57) эту поверхность можно аппроксимировать близкой к ней регулярной поверхностью либо представить ассоциированный закон пластического течения в виде линейнойкомбинации градиентов регулярных N участков, примыкающих к точке сингулярности:εpij=N∑k=15.4.2.λk∂fk.∂σijУтверждение о пластически несжимаемом материалеУтверждение (о пластически несжимаемом материале). Если функциятекучести не зависит от среднего напряжения (т.
е. f = f (J2 , J3 )), то материал пластически несжимаем, т. е. ε̇pii = 0 или εpii = 0 (εpii – относительное изменение объемавследствие пластической деформации).Д о к а з а т е л ь с т в о. Из (5.39) (или (5.57)) имеем∑ ∂f∂f=λ=λ.∂σii∂σiii=13ε̇pii(5.82)Найдем выражения компонент градиента функции f :∂f∂f ∂J2∂f ∂J3=+.∂σij∂J2 ∂σij ∂J3 ∂σij(5.83)Найдем следующие величины:∂J2∂J2 ∂s11∂J2 ∂s22∂J2 ∂s332 ∂J21 ∂J21 ∂J2=++=−−,∂σ11 ∂s11 ∂σ11 ∂s22 ∂σ11 ∂s33 ∂σ113 ∂s11 3 ∂s22 3 ∂s331 ∂J22 ∂J21 ∂J2∂J2=−+−,∂σ223 ∂s11 3 ∂s22 3 ∂s33∂J21 ∂J21 ∂J22 ∂J2=−−+,∂σ333 ∂s11 3 ∂s22 3 ∂s33(5.84)откуда следует∂J2∂J2∂J2++= 0.∂σ11 ∂σ22 ∂σ33(5.85)∂J3∂J3∂J3++= 0.∂σ11 ∂σ22 ∂σ33(5.86)Аналогично получаем88Глава 5. Упругопластическое деформирование твердого телаТогда из (5.83), (5.85), (5.86) получим()()∂f∂f∂f∂f∂J2∂J2∂J2∂f∂J3∂J3∂J3++=+++++= 0.
(5.87)∂σ11 ∂σ22 ∂σ33∂J2 ∂σ11 ∂σ22 ∂σ33∂J3 ∂σ11 ∂σ22 ∂σ33Из (5.82), (5.87) получаем требуемое равенство.5.4.3.Определяющие соотношения теории пластического теченияс изотропным упрочнениемОпределим тензор четвертого порядка в (5.81) для теории пластического течения сизотропным упрочнением с условием текучести Хубера – Мизеса.Рассмотрим следующую функцию текучести (см. (5.20)):√f (σij , η) ≡ 3T − σy (η),(5.88)где√√111s : s, s ≡ σ − σI, σ ≡ trσ = I : σ.(5.89)233Найдем компоненты градиента к поверхности текучести в девятимерном евклидовом точечном пространстве:√∂f3 ∂J2= √.(5.90)∂σij2 J2 ∂σijT ≡J2 ,J2 ≡Используя выражение для J2 в (5.89), получим выражение для ∂J2 /∂σ11 :∂J2∂J2 ∂s11∂J2 ∂s22∂J2 ∂s33211=++= s11 − s22 − s33 = s11 .∂σ11∂s11 ∂σ11 ∂s22 ∂σ11 ∂s33 ∂σ11333(5.91)Здесь использовали равенство s11 + s22 = −s33 , которое следует из условия I1s = 0(см.
(3.12)). Подобным образом получим выражения для ∂J2 /∂σ22 и ∂J2 /∂σ33 :∂J2= s22 ,∂σ22∂J2= s33 .∂σ33(5.92)Используя также выражение для J2 в (5.89), получим выражения для ∂J2 /∂σij (i ̸= j):∂J2= σij = sij∂σij(i ̸= j).(5.93)Из (5.91)–(5.93) получаем, что для всех значений i, j = 1, 2, 3 справедливы равенства:∂J2= sij .∂σij(5.94)Используя (5.94), получаем из (5.90) окончательные выражения компонент градиента кповерхности текучести:√3∂f=sij .(5.95)∂σij2TОпределим длину k вектора-градиента (см. (5.62)):(k=∂f ∂f∂σij ∂σij)1/2√√331/2= √ (sij sij ) =.22 J2(5.96)5.4.. Определяющие соотношения теории пластического течения89Определим компоненты вектора внешней нормали единичной длины n к поверхности текучести в девятимерном евклидовом точечном пространстве из (5.63), (5.95), (5.96) и (5.88)с учетом равенства f = 0 при пластическом деформировании:√1 ∂fsij3 sijnij =⇒ nij =.(5.97)=√k ∂σij2 σy (η)2TДля линейного изотропного упругого материала закон Гука (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
