1625914689-e957c8b7a8e4003fe3539e4e0e465a65 (532400), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Для доказательства этих следствий рассмотрим случай, когда радиус-вектор σ̄ ∗ находится на поверхности нагружения (текучести) (если следствиявыполнены в этом случае, то выполнены и в тех случаях, когда этот радиус-вектор находится во внутренней области по отношению к этой поверхности). Из неравенства (5.37)следует, что любой вектор σ̄ − σ̄ ∗ должен составлять нетупой угол с вектором ε̄˙ p . В случае,если поверхность невогнутая, это возможно, только если ε̄˙ p направлен по нормали кповерхности (рис.
5.12, а), что доказывает второе следствие. Если же поверхность вогнута, то всегда найдется такой вектор σ̄ − σ̄ ∗ , который составляет тупой угол с векторомε̄˙ p (рис. 5.12, б ), что доказывает первое следствие.80Глава 5. Упругопластическое деформирование твердого телаабs-s*.pe< 90°s-s**sss.pe> 90°*sРис. 5.12. Выпуклость поверхности текучести: а) необходимость нормальности вектора ε̄˙ p к поверхности текучести при выпуклости этой поверхности; б ) невыполнение принципа максимумаМизеса при вогнутой поверхности текучестиВторое следствие можно также доказать, не используя геометрическую иллюстрацию.
Пусть функция текучести f (σij ) непрерывна и кусочно-дифференцируема. Составимлокальное условие максимума мощности пластических деформаций как функции от σijпри условии соблюдения условия пластичности f (σij ) = 0. Для этого нужно искать условия экстремума функции:Φ(σij ) ≡ σij ε̇pij − λf (σij ),(5.38)где λ – неопределенный множитель Лагранжа. Приравнивая нулю производные функцииΦ по σij , получаем ассоциированный закон пластического течения:ε̇pij = λ∂f.∂σij(5.39)Эти равенства соответствуют тому, что вектор скорости пластической деформации направлен по нормали к поверхности текучести.5.3.2.Постулат ДрукераНазовем дополнительной нагрузкой вектор в девятимерном евклидовом точечномпространстве вида σ̄ − σ̄ ∗ .Альтернативой принципу Мизеса является постулат Друкера, который заключается в следующем: если к телу прикладывается, а затем снимается некоторая нагрузка,тогда 1) работа, производимая дополнительной нагрузкой при нагружении, всегда положительна, 2) работа, производимая дополнительной нагрузкой за полный цикл нагружения и разгрузки, как минимум, не отрицательна.
Постулат Друкера имеет следующуюматематическую запись:I(5.40)(σ̄ − σ̄ ∗ ) · dε̄ > 0.Получим следствия постулата Друкера. Заметим, что для упругопластического телаdε̄ = dε̄e + dε̄p . Соответственно, интеграл (5.40) разобьется на две части, причемIII∗ee(σ̄ − σ̄ ) · dε̄ = σ̄ · dε̄ − σ̄ ∗ · dε̄e = 0,(5.41)так как первое слагаемое представляет собой работу упругой деформации по замкнутомупути, а второе равно нулю потому, что упругая деформация однозначно определяетсядействующим напряжением.
Таким образом, из (5.40), (5.41) следует неравенство:I(5.42)(σ̄ − σ̄ ∗ ) · dε̄p > 0.5.3.. Некоторые постулаты построения определяющих соотношений . . .81pdeBA*sBAdsCsdsC*ssидеальная пластичностьупрочнениеРис. 5.13. Иллюстрация положений постулата Друкераe’(t)e(t)s’(t)s(t)Рис. 5.14. Иллюстрация положений принципа макродетерминизма КлюшниковаОбходим контур от точки (от напряжения σ̄ ∗ ), возвращаясь в итоге в эту же точку(рис. 5.13). На отрезке АВ пластической деформации нет, поэтому этот отрезок дает нулевой вклад.
На отрезке ВС, лежащем на кривой текучести, напряжение получает приращение dσ̄, пластическая деформация получает приращение dε̄p , и работа дополнительногонапряжения равна (σ̄ − σ̄ ∗ ) · dε̄p . На участке СА происходит разгрузка, не сопровождающаяся пластической деформацией, так что этот участок тоже дает нулевой вклад. Такимобразом, из (5.40) следует неравенство:(σ̄ − σ̄ ∗ ) · dε̄p > 0,(5.43)которое тождественно неравенству (5.37) принципа максимума Мизеса с той только разницей, что данное выражение записано не в скоростях, а в приращениях пластическойдеформации. Таким образом, при принятии постулата Друкера получаем те же самыеследствия, что и при принятии принципа максимума Мизеса.Основное отличие формулировок принципа максимума Мизеса и постулата Друкера состоит в том, что принцип Мизеса можно сформулировать для любого напряженнодеформированного состояния (НДС), а неравенства постулата Друкера выполнены толькодля однородного НДС.5.3.3.Принцип макродетерминизма КлюшниковаПредположим, что проводятся некоторые экспериментальные исследования по установлению закономерностей деформирования упругопластических материалов.
При этом,в некоторой фиксированной материальной точке известны компоненты тензоров деформаций и напряжений, т. е. известны радиус-векторы ε̄(t) и σ̄(t) в евклидовом точечном пространстве размерности 9. Так как в реальности невозможно точно воспроизвести условияпроведения первого эксперимента, то в аналогичной материальной точке второго образца получим компоненты тензоров деформаций и напряжений, которые будут отличаться82Глава 5.
Упругопластическое деформирование твердого телаe’s’BB’bAaseРис. 5.15. К доказательству следствия из принципа макродетерминизма Клюшниковаот соответствующих компонент тензоров, полученных в первом эксперименте. Обозначим радиус-векторы, соответствующие этим компонентам, следующим образом: ε̄′ (t) иσ̄ ′ (t) (рис. 5.14).
Для установления закономерностей деформирования упругопластическихматериалов мы должны проводить контролируемые эксперименты: если в экспериментемы контролируем деформации, то малым изменениям вектора ε̄(t) должны соответствовать малые изменения вектора σ̄(t) (если радиус-вектор ε̄′ (t) мало отличается от радиусвектора ε̄(t), то и радиус-вектор σ̄ ′ (t) должен мало отличаться от радиус-вектора σ̄(t)).Математическая модель деформирования упругопластических материалов также должнаотражать эту закономерность.
Для обеспечения выдвинутого требования к формулировке определяющих соотношений упругопластичности В. Д. Клюшниковым сформулированследующий принцип.Принцип макродетерминизма Клюшникова заключается в следующем: пустьдля двух близких путей деформирования установлено взаимно-однозначное соответствиерадиус-векторов ε̄(t) и σ̄(t), а также ε̄′ (t) и σ̄ ′ (t), тогда, если ρ(∆ε̄) < δ (δ > 0 – произвольная заданная величина), то существуют такие ε = ε(δ) > 0, ε1 = ε1 (δ) > 0, чтоρ(∆σ̄) < ε и |∆A| < ε1 при условии ε(δ) → 0 и ε1 (δ) → 0.δ→0δ→0Здесь введены следующие величины:ρ(∆ε̄) ≡ ∥ε̄′ − ε̄∥2 ,где введен скаляр∫ρ(∆σ̄) ≡ ∥σ̄ ′ − σ̄∥2 ,∫tA≡∫εij (t)W̃ dt =(5.44)σ̄ · d ε̄,(5.45)ε̄(t)σij dεij =ε0ijt0∆A ≡ A′ − A,ε̄0называемый работой внутренних сил, при этом′∫ε̄′ (t)A =ε̄′0σ̄ ′ · d ε̄′ .(5.46)Следствие принципа макродетерминизма Клюшникова (необходимое условие выполнения принципа макродетерминизма).
Если определяющие соотношениятеории пластичности заданы в виде непрерывной однородной функции первой степени скорости тензора напряжений σ̇ от скорости тензора деформаций ε̇, то должна существоватьоднородная потенциальная скалярная функция второй степени скорости тензора деформаций W (ε̇), имеющая непрерывные первые производные и кусочно-непрерывные вторыепроизводные, такая, что справедливы равенства:σ̇ =∂W (ε̇)∂ ε̇⇔σ̇ij =∂W.ε̇ij(5.47)5.3.. Некоторые постулаты построения определяющих соотношений . . .83Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть в евклидовом точечном пространстве размерности 9задана траектория движения радиус-вектора деформаций ε̄(t), так что в начальный момент времени t0 радиус-вектору ε̄(t0 ) отвечает точка a, а в конечный момент времени Tрадиус-вектору ε̄(T ) соответствует точка b (рис.
5.15). Пусть наряду с траекторией движения радиус-вектора деформаций известна траектория движения радиус-вектора напряжений σ̄(t) из точки A, соответствующей радиусу-вектору σ̄(t0 ), в точку B, отвечающуюрадиус-вектору σ̄(T ). Предположим, что наряду с этими двумя траекториями движенияимеются еще две альтернативные траектории движения радиус-векторов деформаций ε̄′ (t)и напряжений σ̄ ′ (t) (см. рис.
5.15), причем альтернативный путь радиус-вектора деформаций ε̄′ (t) начинается и заканчивается в те же самые моменты времени в тех же самыхточках a и b, что и основной путь, а траектория движения радиус-вектора напряженийσ̄ ′ (t) начинается в той же самой точке A, что и основной путь, а заканчивается в точке B ′ ,вообще говоря, не совпадающей с точкой B, так как при пластическом деформированиикомпоненты тензора напряжений зависят не только от конечной деформации, но и от путидеформирования.Изменение работы внутренних сил при переходе от одного к другому пути деформирования равно∫ b∫ b∫ b∫ b′′∆A =σ̄ · dε̄ −σ̄ · dε̄ =(σ̄ + ∆σ̄) · d(ε̄ + ∆ε̄) −σ̄ · dε̄ =aaaa∫ b∫ b∫ b=∆σ̄ · dε̄ +σ̄ · d(∆ε̄) +∆σ̄ · d(∆ε̄).
(5.48)aaaПреобразуем второй член в правой части (5.48), используя правило интегрирования почастям:∫ b∫ B∫ Bb(5.49)σ̄ · d(∆ε̄) = (σ̄ · ∆ε̄)|a −∆ε̄ · dσ̄ =∆ε̄ · dσ̄.aAAПри выводе этого равенства воспользовались тем, что ∆ε̄ = 0 в точках a и b. Учитывая равенство (5.49), получим следующие оценки первых двух слагаемых в правой части(5.48), используя неравенство Коши – Буняковского:∫ b ∫ b∫ b ∫ B66∆σ̄·dε̄(5.50)∥∆σ̄∥∥dε̄∥,σ̄·d(∆ε̄)∥∆ε̄∥2 ∥dσ̄∥2 .22aaaAПусть ρ(∆ε̄) ≡ ∥ε̄′ − ε̄∥2 < δ, t ∈ (t0 , T ).
Тогда из принципа макродетерминизма следуетнеравенство ρ(∆σ̄) ≡ ∥σ̄ ′ − σ̄∥2 < ε, t ∈ (t0 , T ). Используя эти неравенства и неравенствав (5.50), получаем следующие оценки первых двух членов в правой части (5.48):∫ b∫ bσ̄ · d(∆ε̄) < δSAB .∆σ̄ · dε̄ < εSab , (5.51)aaЗдесь Sab и SAB обозначают длины дуг траекторий движений радиус-векторов ε̄ и σ̄ соответственно в евклидовом точечном пространстве размерности 9.
Из принципа макродетерминизма следует, что при стремлении δ к нулю величина |∆A| также стремится кнулю, а из (5.51) следует, что первые два члена в правой части (5.48) также стремятся кнулю. Тогда из равенства (5.48) следует, что и третий член в правой части также долженстремиться к нулю. Таким образом, при δ → 0 получаем∫ bI(5.52)∆σ̄ · d(∆ε̄) = ∆σ̄ · d(∆ε̄) → 0.a∫bЗдесь заменили интеграл a на интегрирование по замкнутому контуру вследствие того,что ∆ε̄ = 0 в точках a и b. Мы рассматривали изменение напряженно-деформированного84Глава 5. Упругопластическое деформирование твердого теласостояния в материальной точке в физическом времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
