1625914689-e957c8b7a8e4003fe3539e4e0e465a65 (532400), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Упругопластическое деформирование твердого тела• Найдем скорость тензора пластических деформаций ε̇p для деформационной теориипластичности, используя (5.171), (5.174), (5.183):()()13EE13 E00˙ε̇ =−2f (t)f (t)J2 f (t)s +− 1 f˙(t)s0 =E 4f (t)2 J20 Et EsE 2 Es()()()13 EE13 E3 f˙(t) E00˙˙=−f (t)s +− 1 f (t)s =− 1 s0 .
(5.185)E 2 Et EsE 2 Es2 EEtpТаким образом, выражения для скорости тензора пластических деформаций ε̇p по теории пластического течения в (5.184) и по деформационной теории пластичности в (5.185)совпали, откуда следует, что и выражения для тензора пластических деформаций εp дляобеих теорий пластичности также совпадают, а значит, определяющие соотношения этихтеорий при простом нагружении эквивалентны.Обратная теорема. Если соотношения деформационной теории пластичности итеории пластического течения эквивалентны, значит нагружение простое.Д о к а з а т е л ь с т в о.
Эквивалентность определяющих соотношений для обеих теорий означает, что выражения для скорости тензора пластических деформаций ε̇pдля этих теорий идентичны. Приравнивая выражения для компонент скорости тензорапластических деформаций ε̇p в (5.100) и полученные дифференцированием по временивыражения в (5.165), приходим к следующим равенствам:λ̄sij = φ̇sij + φṡij ⇒λ̄ − φ̇λ̄dt − dφṡijdsij=⇒=.φsijφsijИнтегрируя левую и правую части (5.186), получим( ) ∫ ()sijλ̄dφln 0 =dt −≡ ψ0 .
⇒sijφφ0sij = s0ij eψ .(5.186)(5.187)Обозначая eψ0 = f (t), записываем равенство (5.187) в виде sij = s0ij f (t), откуда имеемJ˙2 = 2f (t)f˙(t)J20 .Так как предполагаем, что происходит пластическое деформирование, то J˙2 > 0, крометого имеем J20 > 0, откуда получим f (t)f˙(t) > 0. Из определения простого нагруженияследует, что рассматриваемый процесс деформирования является простым нагружением.5.5.3.Сравнительный анализ определяющих соотношений деформационной теории пластичности и теории пластического теченияНапишем выражения для компонент скорости тензора деформаций для теории пластического течения и для деформационной теории пластичности для случая материалас деформационным упрочнением. Обращая формулы связи скоростей компонент тензоранапряжений с компонентами скоростей тензора упругих деформаций (5.104) и используявыражения для компонент скорости тензора пластических деформаций в (5.170), получимдля теории пластического течения)1 ((1 + ν) σ̇ij − ν σ̇kk δij + g̃ J˙2 sij .(5.188)ε̇ij = ε̇eij + ε̇pij =E5.5..
Деформационная теория пластичности и пределы ее применимости101Действуя подобным образом и используя выражения для компонент скорости тензорапластических деформаций в (5.174), получим для деформационной теории пластичности)1 (′ ˙ε̇ij =(1 + ν) σ̇ij − ν σ̇kk δij + g J2 sij + g ṡij .(5.189)EОпределение. Назовем нейтральным деформированием упругопластического материала такое деформирование, при котором справедливо равенство J˙2 = 0.Нейтральное деформирование является предельным случаем как для пластическогодеформирования материала, так и для упругой разгрузки (см.
(5.114)).Сравнивая сферы приложения определяющих соотношений рассматриваемых теорийпластичности, мы отмечаем следующие дефекты определяющих соотношений деформационной теории пластичности:1. Определяющие соотношения деформационной теории пластичности формулируются в виде связи конечных значений компонент тензоров напряжений и деформаций.Это означает, что напряженно-деформированное состояние в материальных точкахтела не зависит от пути деформирования. Это следствие использования записи определяющих соотношений в конечном виде находится в противоречии с известнымиэкспериментальными данными.2. Из (5.189) видно, что при J˙2 = 0 (нейтральное нагружение) компоненты скороститензора деформаций ε̇ij в общем случае при переходе от режима пластического деформирования к упругой разгрузке терпят разрыв вследствие наличия последнегочлена в правой части, который может быть отличным от нуля.
Это обстоятельствозатрудняет как математическую формулировку уравнений пластичности, так и обработку экспериментальных данных (уравнения деформационной теории пластичностине удовлетворяют необходимым условиям принципа макродетерминизма Клюшникова, см. п. 5.3.3).Определяющие соотношения теории пластического течения не имеют указанных дефектов, присущих соотношениям деформационной теории пластичности.
Уравнения теории пластического течения определяют компоненты скорости тензора напряжений σ̇ij какнепрерывные функции от компонент скорости тензора деформаций ε̇ij . Из (5.71), (5.80)следует, что эти функции являются однородными функциями первой степени от своих аргументов. Тогда по теореме Эйлера об однородных функциях можно ввести однороднуюпотенциальную функцию второй степени W , имеющую непрерывные первые производныеи кусочно-непрерывные вторые производные, такую, что справедливы равенства:σ̇ =∂W (ε̇)∂ ε̇⇔σ̇ij =∂W (ε̇kl );ε̇ij1W = ε̇ : Cep : ε̇.2(5.190)Уравнения теории пластического течения удовлетворяют необходимым условиям принципа макродетерминизма Клюшникова (см. п.
5.3.3). Найдем явное выражение потенциальной функции W (ε̇kl ) для теории пластического течения с изотропным упрочнением впредположении о том, что компоненты тензора напряжений удовлетворяют условию текучести (т. е. f (σij ) = 0). Тогда из (5.107)–(5.112), (5.190) получаем в безындексном виде:{(n:ε̇)21λ̃I1 (ε̇)2 + 2µε̇ : ε̇ − 2µ h/(2µ)+1при n : ε̇ > 0.W = σ̇ : ε̇ =(5.191)22λ̃I1 (ε̇) + 2µε̇ : ε̇при n : ε̇ 6 0Здесь I1 (ε̇) = I : ε̇ – первый инвариант скорости тензора деформаций, n – вектор внешнейнормали единичной длины к поверхности текучести в девятимерном евклидовом точечном102Глава 5. Упругопластическое деформирование твердого телапространстве компонент тензора напряжений, который определяется в (5.97).
В компонентном виде выражение для потенциальной функции из (5.191) перепишется следующимобразом:{(nij ε̇ij )21λ̃(ε̇kk )2 + 2µε̇ij ε̇ij − 2µ h/(2µ)+1при nij ε̇ij > 0W = σ̇ij ε̇ij =.(5.192)22λ̃(ε̇kk ) + 2µε̇ij ε̇ijпри nij ε̇ij < 0Для материалов, подчиняющихся постулату Друкера, потенциальная функция W (ε̇)неотрицательна, т. е.
справедливо следующее неравенство:σ̇ij ε̇ij = 2W = ε̇ : Cep : ε̇ > 0.(5.193)Утверждение. Для упругопластических материалов, подчиняющихся постулатуДрукера, потенциальная функция W (ε̇)1) при наличии деформационного упрочнения равна нулю только при ε̇ = 0;2) для идеального упругопластического материала может быть равной нулю приε̇ ̸= 0, если деформирование происходит так, что выполнено равенство ε̇e = 0.Д о к а з а т е л ь с т в о. Из постулата Друкера следует, чтоσ̇ij ε̇ij = σ̇ij ε̇eij + σ̇ij ε̇pij > 0.(5.194)Введем два неотрицательных скаляра:2W e ≡ σ̇ij ε̇eij > 0,2W p ≡ σ̇ij ε̇pij > 0.(5.195)Скаляр W e неотрицателен вследствие предположения о том, что тензор упругости Ceобладает свойством положительной определенности, тогда W e = ε̇e : Ce : ε̇e > 0.
Неотрицательность скаляра W p следует из формул, представленных в п. 5.4.1. Имеем W p = 0для идеального упругопластического материала и W p > 0 для упругопластического материала с деформационным упрочнением. Из приведенных неравенств и равенств следуетдоказательство первой части утверждения.Справедливость второй части утверждения легко устанавливается на примереодноосного деформирования образца из идеального упругопластического материала(см.
рис. 5.1, в). При этом имеем в стадии пластического деформирования ε̇e11 = 0, σ̇11 = 0,откуда получаем 2W = σ̇11 ε̇11 = 0, но ε̇p11 ̸= 0.Отметим также ограниченность теории пластического течения с гладкой поверхностью текучести, заключающейся в слабой чувствительности определяющих соотношенийк резкой смене траектории нагружения.
Рассмотрим, например, одноосное деформирование стержня в пластическом режиме и пусть мы используем определяющие соотношениятеории пластического течения с изотропным упрочнением (см. п. 5.4.3). Из материала,представленного в п. 5.4.3, следует, что знаки свертки n : ε̇ и величины J˙2 совпадают.В нашем случае из (5.111) имеем n : ε̇ > 0 (s11 ε̇11 + s22 ε̇22 + s33 ε̇33 > 0) ⇒ J˙2 > 0.Тогда из (5.188) следует, что скорости пластических деформаций отличны от нуля. Далее мы прекращаем осуществлять одноосное деформирование и производим кручение образца.
Тогда получаем следующее значение свертки в начальный момент закручивания:n : ε̇ = s13 ε̇13 = 0 ⇒ J˙2 = 0, так как в этот момент ε̇13 ̸= 0, остальные ε̇ij = 0 и приэтом, в начальный момент кручения, компонент тензора s13 = 0. Тогда из (5.188) следует,что в начальный момент кручения пластические деформации равны нулю, т. е. происходитнейтральное деформирование стержня. Однако из соотношений (5.189) для деформационной теории пластичности следует, что последний член в правой части отличен от нуля,т. е. ε̇p13 ̸= 0, и в начальный момент закручивания стержня осуществляется пластическое5.6..
Уравнения, описывающие движение упругопластического тела103деформирование. С такого рода явлением столкнулись исследователи в задаче о крутильной потере устойчивости крестообразной стойки, когда возникает парадокс пластическоговыпучивания, заключающийся в том, что деформационная теория пластичности, противоречивая в математическом плане и в сопоставлении с экспериментальными данными посложному нагружению, позволяет в некоторых случаях получить решения задач о потереустойчивости тел, лучше согласующиеся с экспериментальными данными, чем аналогичные решения, полученные по более строгой теории пластического течения.
Этот парадоксможно разрешить, используя так называемую сингулярную пластичность, или, другимисловами, теорию пластического течения с угловой точкой на поверхности текучести, возникающей при выполнении критерия текучести (см. п. 5.1.4).5.6.Уравнения, описывающие движение упругопластического тела5.6.1.Система уравнений в сильной и слабой формах, описывающая движение/равновесие упругопластического телаТак как равновесие тела не зависит от того, обратимы или необратимы деформации,уравнения движения (равновесия), как и кинематические связи, для упругого и упругопластического материала имеют один и тот же вид независимо от того, является материалтела упругим или упругопластическим. Уравнения движения (равновесия при пренебрежении инерционными силами) приведены в (3.33), (3.34), а граничные условия – в (3.35).Уравнения движения дополняем начальными условиями (для уравнений равновесия начальные условия не требуются), приведенными в (3.36).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
