1625914689-e957c8b7a8e4003fe3539e4e0e465a65 (532400), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Решение квазистатических уравнений упругопластического деформирования для материалов с упрочнением единственно относительнокомпонент скоростей тензоров деформаций и напряжений.Д о к а з а т е л ь с т в о. Аналогично тому, как поступали при доказательстветеоремы единственности решений статических задач линейной теории упругости(см. п. 3.3.3), получаем∫∫n · ∆σ̇ · ∆u̇dS.∆σ̇ : ∆ε̇dV =V(5.217)SИз граничных условий, приведенных в (5.196), получимn · ∆σ̇ = 0 на Sp ,∆u̇ = 0 на Su .В силу того, что S = Su ∪ Sp , Su ∩ Sp = ∅, из (5.190), (5.218) имеем()∫∂W∆: ∆ε̇dV = 0.∂ ε̇(5.218)(5.219)VТак как W – строго выпуклая (а значит, и выпуклая) функция, то, по первому определению выпуклой функции в (5.206), выполняется неравенство∆∂W: ∆ε̇ > 0.∂ ε̇(5.220)108Глава 5. Упругопластическое деформирование твердого телаТогда из (5.219), (5.220) следует, что во всех точках тела в области V выполняется равенство∂W(5.221)∆: ∆ε̇ = 0.∂ ε̇Для строго выпуклой функции W такое равенство будет выполняться только при ∆ε̇ = 0.Это равенство выполняется во всех точках тела.Можно показать, что ε̇ и σ̇ – взаимно-однозначные функции.
Пусть ∆σ̇ = 0, тогда∆ (∂W/∂ ε̇) : ∆ε̇ = 0, а значит, ∆ε̇ = 0 (по определению для строго выпуклой функции).Рассмотрим потенциал φ такой, что ε̇ = ∂φ/∂ σ̇, где φ – строго выпуклая функция. Тогда,если ∆ε̇ = 0, имеем ∆ (∂φ/∂ σ̇) : ∆σ̇ = 0, откуда получаем ∆σ̇ = 0.Примечание. Для идеальных упругопластических материалов в общем случае теорема единственности не доказывается.
Для таких материалов теорема единственностидоказывается аналогично доказанной выше теореме при условии ε̇e ̸= 0 во всех точкахобласти V .Рассмотрим стандартную ситуацию нарушения теоремы единственности для телаиз идеального упругопластического материала: в некоторых точках тела происходит деформирование таким образом, что ε̇e = 0 при достижении предельной нагрузки (ḃ = 0,ṗ∗ = 0), на части поверхности тела Su заданы условия жесткой заделки, т. е.u̇∗ = 0.
В этом случае уравнения квазистатического движения (5.196) переписываютсяследующим образом:)1(∇ · σ̇ = 0 в V, u̇ = 0 на Su , n · σ̇ = 0 на Sp , ε̇ =∇u̇ + ∇u̇T , σ̇ = Cep : ε̇. (5.222)2Если существует нетривиальное решение задачи (5.222) ε̇, то оно определяется с точностью до постоянного множителя (т. е. решение не единственно). Предполагаем при этом,что есть только одно линейно независимое решение, т. е. отсутствует бифуркация решений задачи (5.196).
Таки образом, если некоторое поле скорости тензора деформаций ε̃,нормированное некоторым образом, например, так что выполняется равенство∫ε̃ : ε̃dV = 1,(5.223)Vявляется решением задачи (5.222), тогда любое поле ε̇ = αε̃ также является решениемзадачи (5.222). Таким образом, в предположении о том, что внешние силы являются заданными функциями параметра деформирования t, задача определения скоростей тензорадеформаций не имеет единственного решения в предельном состоянии.Переформулируем задачу (5.196) таким образом, чтобы уравнения квазистатического движения при некоторых условиях деформирования имели единственное решение придостижении предельной нагрузки.
Рассмотрим консервативные внешние силы следующеговида:(5.224)b = γb0 , p∗ = γp∗0 ⇒ ḃ = γ̇b0 , ṗ∗ = γ̇p∗0 ,где γ – неизвестный параметр, а b0 , p0 – заданные постоянные векторные поля. Тогдасистема уравнений квазистатического движения (5.196) в случае жесткой заделки (u̇∗ = 0)перепишется следующим образом:∇ · σ̇ + ργ̇b0 = 0 в V,u̇ = 0 на Su , n · σ̇ = γ̇p∗0 на Sp ,1ε̇ = (∇u̇ + ∇u̇T ),2Добавляем к этой системе еще одно (контрольное) уравнение:∫√2t = γ + ξ, ξ ≡ ε : εdV,Vσ̇ = Cep : ε̇.(5.225)(5.226)5.6..
Уравнения, описывающие движение упругопластического тела109где t – длина дуги в (γ, ε)-пространстве – заданный монотонно возрастающий параметр,играющий роль времени. Из (5.226) имеем∫2γ γ̇ + 2 ε : ε̇dVdt1√ V=1=.(5.227)dt2γ2 + ξИз (5.226), (5.227) получаем∫t = γ γ̇ +ε : ε̇dV.(5.228)VСистема (5.225), (5.228) решается совместно. Когда γ̇ ̸= 0, решение единственно для ε̇, γ̇.Пусть достигнута предельная нагрузка (γ̇ = 0). Найдем условия, при выполнении которыхрешение системы (5.225), (5.228) единственно. Решением системы (5.225) является полетензора скорости деформаций вида ε̇ = αε̃. Подставляя это значение в (5.228), получаемзначение α:tα= ∫.(5.229)ε : ε̃dV∫VЭта величина является конечной, если V ε : ε̃dV ̸= 0. Это неравенство является условиемполучения единственного решения системы (5.225), (5.228) в предельном состоянии.В заключение рассмотрим простую модельную задачу, при решении которой покажем те трудности, которые возникают в задачах о деформировании тел из идеальногоупругопластического материала в предельном состоянии.
Кроме того, на решении модельной задачи проиллюстрируем возможности переформулировки стандартных уравненийтеории пластичности в сингулярных точках.Рассмотрим одноосное однородное деформирование стержня с площадью поперечного сечения A, растягиваемого или сжимаемого продольной силой P . Материал стержняположим упругопластическим с билинейной диаграммой одноосного растяжения. Обозначим через σ и ε – продольные напряжения и деформации в стержне, σy0 > 0 – начальноезначение предела текучести, E – модуль Юнга, Et – касательный модуль, характеризующий упрочнение материала. При использовании теории пластического течения с изотропным упрочнением определяющее соотношение материала стержня имеет следующийвид:{E, если |σ| < σy или |σ| = σy и σ ε̇ 6 0,σ̇ = bε̇, b =(5.230)Et ,если |σ| = σy и σ ε̇ > 0.Здесь σy ≡ max (|σ(τ )|, σy0 ) – текущее значение предела текучести, t – монотонно возрас06τ 6tтающий параметр деформирования с начальным значением t = 0.
Уравнение равновесияв скоростях запишем в следующем виде:σ̇ = Ṗ /A.(5.231)Из (5.230), (5.231) получаем нелинейное дифференциальное уравнение, которое дополняемначальным условием:k ε̇ = Ṗ , εt=0 = 0,(5.232)где ввели коэффициент касательной жесткости k(σ, ε̇) ≡ bA.Равновесные конфигурации стержня определяются интегрированием уравнения(5.232). При монотонном пластическом деформировании стержня равновесные конфигурации в плоскости (ε, σ) соответствуют диаграмме одноосного деформирования. Разрешимость задачи (5.232) зависит от значения модуля касательной жесткости Et .
Для упругопластического материала с упрочнением Et > 0. Задача (5.232) имеет решение как при110Глава 5. Упругопластическое деформирование твердого телаупругом (k = EA), так и при упругопластическом (k = Et A) деформировании. Решениезадачи единственно, предельные состояния не достигаются. Для идеального упругопластического материала Et = 0. Задача (5.232) имеет единственное решение при упругом деформировании (k = EA), а при упругопластическом деформировании (k = 0) при Ṗ ̸= 0решения задачи не существует, а при Ṗ = 0 решение существует, но не единственное.Предельное состояние стержня достигается при P ∗ = σy0 A.Для стержня из упругопластического материала с упрочнением задачу (5.232) можнорешать, используя в качестве параметра деформирования t силу P (Ṗ = 1).
Для стержняиз идеального упругопластического материала при деформировании за пределом упругости силу P в качестве параметра деформирования использовать нельзя, так как приṖ = 1 решения задачи не существует. Таким образом, стандартная формулировка задачио деформировании упругопластического тела вида (5.232) с заданной внешней силой непозволяет получить равновесные конфигурации в предельном состоянии.В новой формулировке задачи в уравнении (5.232) предполагается, что внешняя силанеизвестна.
Введем неизвестный параметр λ такой, что P = λP0 , где P0 = const ̸= 0.Теперь имеем две неизвестные функции: ε и λ. Уравнение равновесия в скоростях (5.232)перепишем в следующем виде:k ε̇ − λ̇P0 = 0.(5.233)Вторым уравнением, решаемым совместно с уравнением (5.233), будет контрольное уравнение:ε̇2 + λ̇2 = 1,(5.234)где точка над величиной обозначает дифференцирование по монотонно возрастающемупараметру t, в качестве которого используется длина дуги интегральной кривой в пространстве (ε, λ). Уравнения (5.233), (5.234) дополняются начальными условиями:εt=0 = λt=0 = 0.(5.235)В предельном состоянии стержня система уравнений (5.233), (5.234) преобразуетсяк следующему виду:λ̇ = 0, ε̇ = ±1.(5.236)Положительный знак в правой части второго уравнения выбирается при растяжениистержня, отрицательный – при сжатии.
Выбор длины дуги в качестве параметра деформирования автоматически приводит к тому, что в предельном состоянии параметромдеформирования становится абсолютная величина деформации (см. второе равенство в(5.236)). В отличие от задачи (5.232), задача (5.235), (5.236) разрешима в предельном состоянии. Нелинейное уравнение (5.234) свелось ко второму уравнению в (5.236), котороеявляется линейным, так как λ̇ = 0.
Последнее равенство является условием разрешимостиуравнения (5.233) при k = 0. В общем случае (при решении задач большей размерности)уравнение вида (5.234) требует линеаризации, а замена системы уравнений вида k ε̇ = Ṗсистемой вида k ε̇ − λ̇P0 = 0 нарушает структуру матрицы касательной жесткости(см. главу 6) исходной системы уравнений.Представим алгоритм решения задачи (5.233)–(5.235), который является относительно простым в численной реализации решения задач большой размерности.
Систему (5.233),(5.234) решаем в два этапа. На первом этапе решается уравнение (5.233), которое при введении новой переменной x ≡ ε̇/λ̇ преобразуется к следующему виду:kx = P0 .(5.237)Это уравнение имеет вид, аналогичный виду уравнения (5.232), и также не имеет единственного решения. Для решения этой проблемы заменим модуль касательной жесткости5.7.. Заключительные замечания111Et = 0 на модуль Et′ > 0 (Et′ ≪ E), т.
е. идеальный упругопластический материал стержнязаменяем материалом с упрочнением с небольшим по сравнению с модулем Юнга E коэффициентом касательной жесткости Et . Для коэффициента касательной жесткости новогоматериала введем обозначение k ′ ≡ b′ A, где величина b′ получается из величины b заменой в (5.230) касательного модуля Et = 0 на касательный модуль Et′ > 0. Таким образом,вместо уравнения kx = P0 на первом этапе решения системы уравнений (5.233)–(5.235)рассматриваем следующее уравнение:k ′ x = P0 ,(5.238)имеющее единственное решение.На втором этапе находим λ̇ из контрольного уравнения (5.234):1λ̇ = ± √,1 + x2(5.239)после этого находим ε̇ = xλ̇. Знак в правой части (5.239) выбирается из условия большейгладкости кривой в (ε, λ)-пространстве.Поскольку исходное уравнение kx = P0 в ходе решения было заменено на k ′ x = P0 ,то для получения решения исходной задачи надо использовать процедуру итерационногоуточнения решения, например, процедуру метода Ньютона (см.
главу 6).5.7.Заключительные замечанияВ этой главе были рассмотрены основные уравнения упругопластического деформирования твердого тела. Точные решения таких уравнений можно построить лишь длянебольшого числа задач о деформировании тел достаточно простой конфигурации. В основном, такие точные решения используются для тестирования пакетов прикладных программ, реализующих алгоритмы приближенных решений задач упругопластического деформирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
