1625914689-e957c8b7a8e4003fe3539e4e0e465a65 (532400), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Кинематические связи записываем в виде тензора деформаций, определяемого в виде симметричной составляющей тензораградиента перемещений (приведены в (3.41)). Слабая форма уравнений движения (равновесия) (или уравнение баланса виртуальных работ) приведена в (3.37).
Для полученияполной (замкнутой) системы уравнений упругости или упругопластичности к уравнениямдвижения и кинематическим связям надо добавить определяющие соотношения материала: для упругого материала они имеют вид (3.42) или (3.43), а для упругопластическогоматериала (в варианте теории пластического течения) – (5.47) или (5.80).5.6.2.Система уравнений в сильной и вариационной формах, описывающая квазистатическое движение упругопластического телаУравнения равновесия (3.34) нельзя прямо использовать для описания квазистатического деформирования упругопластической среды, так как эти уравнения не отображают изменения внешних сил.
Поэтому полная система уравнений квазистатического деформирования упругопластических тел формулируется в скоростях. Дифференцируя попараметру деформирования уравнения равновесия (3.34), граничные условия (3.35), кинематические связи (3.41) и добавляя к ним определяющие соотношения, записанные в104Глава 5. Упругопластическое деформирование твердого телавиде (5.47) или (5.80), получим замкнутую систему уравнений:∇ · σ̇ + ρḃ = 0u̇ = u̇∗ṗ ≡ n · σ̇ = ṗ∗1ε̇ = (∇u̇ + ∇u̇T )2σ̇ = Cep : ε̇ или σ̇ =в V,на Su ,на Sp ,(5.196)в 0 V,∂W (ε̇)∂ ε̇в 0 V.Здесь введена неотрицательная скалярная функция W (ε̇) ≡ 21 ε̇ : Cep : ε̇ (см.
п. 5.5.3).Решить уравнения (5.196) – означает, что для известных полей векторов перемещений,тензоров деформаций и напряжений (которые требуются для определения тензора Cep )надо найти поля скоростей вектора перемещений u̇, тензоров деформаций ε̇ и напряженийσ̇, удовлетворяющих уравнениям (5.196).Наряду с формулировкой дифференциальных уравнений (уравнений в сильной форме) (5.196) можно также использовать вариационные формулировки уравнений. Напомним, что при изложении основ теории упругости мы сформулировали принцип минимумапотенциальной энергии (или вариационный принцип Лагранжа). Для задач упругопластичности аналогом вариационного принципа Лагранжа является вариационный принципХилла, который мы здесь рассмотрим.
Введем функционал:∫∫J(u̇) ≡ (W (ε̇) − ρḃ · u̇)dV −(5.197)ṗ∗ · u̇dS.VSpЗдесь u̇ – кинематически возможное поле скоростей перемещений, т. е. скоростей перемещений, удовлетворяющих условию u̇ = u̇∗ на Su . В вариационном принципе Хилла(по аналогу с вариационным принципом Лагранжа) предполагается, что скорость тензоранапряжений выражается через скорость тензора деформаций с помощью определяющихсоотношений упругопластичности (см. пятое выражение в (5.196)). Поэтому перепишемуравнение равновесия и граничное условие для вектора напряжений в скоростях в (5.196)после использования определяющих соотношений в следующем виде:∂W (ε̇)+ ρḃ = 0 в V,∂ ε̇∂W (ε̇)n·= ṗ∗ на Sp .∂ ε̇∇·(5.198)В свою очередь, предполагается, что скорость тензора деформаций в (5.198) выражаетсячерез скорость вектора перемещений по четвертым формулам в (5.196).Вариационный принцип Хилла, справедливый для полей скоростей вектора перемещений u̇ ∈ H 1 , состоит в утверждении о том, что система (5.198) является системойуравнений Эйлера и естественных граничных условий вариационного уравнения(5.199)δJ(u̇, δ u̇) = 0.Наоборот, среди всех кинематически возможных полей скоростей вектора перемещений(т.
е. для u̇ ∈ H 1 и u̇ = u̇∗ на Su ) действительное поле скоростей вектора перемещенийдоставляет функционалу (5.197) для упрочняющегося тела абсолютный минимум, а дляидеального упругопластического тела – минимум, равный∫∫∫1∗∗ ˙˙ ).˙˙(5.200)J(ũ) = ( p̃ · u̇ dS − ṗ · ũdS − ρḃ · ũdV2SuSpV5.6.. Уравнения, описывающие движение упругопластического тела105Доказательство утверждений вариационного принципа Хилла аналогично доказательству утверждений вариационного принципа Лагранжа для уравнений линейной теории упругости (см. п. 3.3.2) с заменами u на u̇ и Ce на Cep , кроме последнего∫ равенства, когда для идеального упругопластического материала равенство δ 2 J(δ u̇) = W (δ ε̇)dV = 0V(δ 2 J(δ u̇) ≥ 0) может достигаться при δ ε̇ ̸= 0, так как для такого материала возможноравенство W (δ ε̇) = 0 при δ ε̇ ̸= 0.Примечание.
Если для идеального упругопластического материала при решенииконкретной задачи обеспечивается условие σ̇ : ε̇e > 0 при ε̇e ̸= 0 для всех кинематическивозможных полей скоростей во всех точках тела, то и для такого материала достигаетсяабсолютный минимум, так как при ε̇e ̸= 0 справедливо следующее неравенство:111W (ε̇) = σ̇ : ε̇ = σ̇ : ε̇e = ε̇e : Ce : ε̇e > 0.222(5.201)Выполнение этого неравенства обеспечивается в том случае, если для данного распределения напряжений и деформаций σ и ε невозможно деформирование без появленияскоростей упругих деформаций для всех кинематически возможных полей скоростей вовсех точках тела V .Примечание. По поводу варьирования потенциальной функции W (ε̇) требуютсяпояснения. С одной стороны, из первого равенства в (5.190) следует равенствоδW =∂W (ε̇): δ ε̇ = σ̇ : δ ε̇ = δ ε̇ : Cep : ε̇.∂ ε̇(5.202)С другой стороны, из второго равенства в (5.190) получим1δW = δ ε̇ : Cep : ε̇ + ε̇ : δCep : ε̇.2(5.203)В общем случае тензор δCep не равен нулевому тензору четвертого порядка, так как тензорCep зависит от тензора dotε через коэфффициент c (см.
(5.71)). Видим, что выражение дляδW в (5.202) отличается от выражения для δW в (5.203) наличием последнего слагаемогов правой части этого равенства. Покажем, что это слагаемое равно нулю. Из (5.81) имеемδCep = −δc(Ce : n) ⊗ (n : Ce ).h + n : Ce : n(5.204)Скаляр δc может принимать ненулевое значение только тогда, когда выполняются равенства f = 0 и n : Ce : ε̇ = 0.
Эти равенства выполняются в пограничном состоянии материальной частицы между упругой разгрузкой и пластическим деформированием (дляматериала с деформационным упрочнением выполнение этих равенств соответствует нейтральному нагружению). Небольшая вариация δ ε̇ может переводить состояние пластического деформирования в упругое деформирование и наоборот.Используя равенство (5.204), рассмотрим сверткуepε̇ : δC(n : Ce : ε̇)2: ε̇ = −δc= 0.h + n : Ce : n(5.205)Равенство нулю этой свертки следует из равенства n : Ce : ε̇ = 0.
Таким образом, в обоихпредставлениях функции W для вариации δW получаем выражение (5.202).1065.6.3.Глава 5. Упругопластическое деформирование твердого телаТеорема единственности решений задач квазистатическогодеформирования упругопластического телаОпределим выпуклую функцию. Функция Ψ(ε̇), имеющая непрерывные первые производные и по крайней мере кусочно-непрерывные вторые производные, называется выпуклой, если для любого ∆ε̇ в каждой точке V выполнены следующие эквивалентныенеравенства:∆(∂Ψ/∂ ε̇) : ∆ε̇ > 0 ∆Ψ − ∂Ψ/∂ ε̇ : ∆ε̇ > 0(5.206)∆ε̇ ≡ ε̇′ − ε̇.∆ε̇ : ∂ 2 Ψ/∂ ε̇∂ ε̇ : ∆ε̇ > 0Функция Ψ называется строго выпуклой, если равенства выполняются тогда и толькотогда, когда ∆ε̇ = 0.Можно показать, что если однородная функция второй степени Ψ выпукла, то Ψ(ε̇) >0, причем для строго выпуклой функции Ψ(ε̇) = 0 при ε̇ = 0.Рассмотрим определяющие соотношения упругопластического тела:{ en:Ce :ε̇eC : ε̇ − Ce : n h+n:Ce :n при f = 0 и n : C : ε̇ > 0,σ̇ =(5.207)Ce : ε̇ при f < 0 или f = 0 и n : Ce : ε̇ 6 0.Тогда{2W = ε̇ : σ̇ =e2(n:C :ε̇)eε̇ : Ce : ε̇ − h+n:Ce :n при f = 0 и n : C : ε̇ > 0,ε̇ : Ce : ε̇ при f < 0 или f = 0 и n : Ce : ε̇ 6 0.(5.208)Введем тензор второго порядкаn : Cem= √, h > 0, n : Ce : n > 0.eh+n:C :nИспользуя обозначение (5.209), перепишем (5.208) в следующем виде:{ε̇ : Ce : ε̇ − (m : ε̇)2 при f = 0 и m : ε̇ > 0,2W =ε̇ : Ce : ε̇ при f < 0 или f = 0 и m : ε̇ 6 0.(5.209)(5.210)Введем «линейное тело сравнения» с потенциалом WL , который конструируется изпотенциала (5.210) исходного «нелинейного тела» путем отбрасывания условия разгрузкив состоянии пластического деформирования:{ε̇ : Ce : ε̇ − (m : ε̇)2 при f = 0,2WL =(5.211)ε̇ : Ce : ε̇при f < 0.Предполагаем, что для линейного тела выполнен постулат Друкера, т.
е. справедливо следующее неравенство:˙ : ε̇ = ε̇ : Cep : ε̇ > 0,2WL = σ̃L˙ ≡ Cep : ε̇.σ̃L(5.212)Таким образом, WL – положительно определенная квадратичная форма для материалас упрочнением и неотрицательная – для идеального упругопластического материала. То,что WL – квадратичная форма, следует из того, что тензорCepL =∂ 2 WL∂ ε̇∂ ε̇(5.213)не зависит от ε̇. Отметим, что тензор Cep зависит от ε̇ вследствие зависимости этого тензора от условий нагрузки/разгрузки материала в состоянии пластического деформирования.5.6.. Уравнения, описывающие движение упругопластического тела107Так какWL (ε̇) > 0⇒WL (∆ε̇) > 0⇒∆ε̇ :∂ 2 WL: ∆ε̇ > 0,∂ ε̇∂ ε̇(5.214)то из (5.206) следует, что WL – выпуклая функция, а для упругопластических материаловс деформационным упрочнением – строго выпуклая функция.Введем функцию Φ(ε̇) ≡ W (ε̇) − WL (ε̇).
Из (5.210), (5.211) получимпри f < 0, 0(m : ε̇)2 /2 при f = 0 и m : ε̇ < 0,Φ=(5.215)0при f = 0 и m : ε̇ > 0.Таким образом, Φ – неотрицательно определенная квадратичная форма, следовательноона является выпуклой функцией.Теорема сравнения Хилла. Если WL – выпуклая (строго выпуклая) функция иΦ – выпуклая, то W – выпуклая (строго выпуклая) функция.Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как Φ – выпуклая функция, то, по определению (5.206),( )()∂Φ∂W∂WL∂W∂WL∆: ∆ε̇ > 0 ⇒ ∆−: ∆ε̇ > 0 ⇒ ∆: ∆ε̇ > ∆: ∆ε̇ > 0.∂ ε̇∂ ε̇∂ ε̇∂ ε̇∂ ε̇(5.216)Последнее неравенство является следствием предположения выпуклости (строгой выпуклости) функции WL . Отсюда следует, что W – выпуклая (строго выпуклая) функция.Из теоремы сравнения следует, что W – выпуклая функция для идеальных упругопластических материалов (строго выпуклая для упругопластических материалов с деформационным упрочнением).Теорема единственности решений задач квазистатического деформирования упругопластического тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
