1625914689-e957c8b7a8e4003fe3539e4e0e465a65 (532400), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Нормальное напряжение возле контура в общем (а) и частном (б ) случаяхПодставляя в (4.24) выражения для компонент тензора напряжений (4.13), справедливыедля пластической среды, получим:σn = σ − τy sin 2(θ − φ),τn = τy cos 2(θ − φ).(4.25)Если xi = xi (s) – уравнения контура C, а σn (s), τn (s) – заданные на контуре напряжения, то на контуре C известны величины σ = σ(s) и θ = θ(s), а значит, и параметрыξ, η. В частности, если участок границы – отрезок прямой и σn , τn на нем постоянны,то постоянны и σ, θ, ξ, η. Однако следует отметить, что уравнения (4.25) неоднозначноопределяют величины σ, θ:θ =φ±1τnarccos + mπ,2τyσ = σn + τy sin 2 (θ − φ) .(4.26)Наличие двух решений, удовлетворяющих условию текучести, определяется квадратичным характером последнего.
Для выбора знака необходимы дополнительные условия, которые не имеют универсального характера и определяются в каждом частном случае измеханической постановки задачи. Помощь в выборе может оказать нормальное напряжение возле контура (рис. 4.3, а), определяемое формулой:σt = 2σ − σn .(4.27)Знак этого напряжения часто легко поддается определению.
В частности, если на контуредействуют только нормальные напряжения, уравнения (4.26) упрощаются до следующеговида:πθ = φ ± + mπ, σ = σn ± τy ⇒ σt = σn ± τy .(4.28)4В простейшем, однако часто встречающемся, случае свободной прямолинейной границы (выберем систему координат так, что эта граница задается как x1 = 0) имеем награнице φ = 0, σn = 0, τn = 0, откуда получаем 2θ = ±π/2 + 2mπ, σ = ±τy , σ11 = 0,σ22 = σt = ±2τy , т. е. вблизи свободной прямолинейной границы может быть только либорастяжение, либо сжатие материальных волокон, направленных вдоль нее (рис.
4.3, б ).4.5.4.5.1.Основные краевые задачиЗадача КошиОсновные краевые задачи, связанные с решением задачи жесткопластического деформирования при плоском деформированном состоянии, можно разделить по способузадания условий на границах исследуемых областей.4.5.. Основные краевые задачи63аAбCAвCACDEBBBРис. 4.4. Свойства решений задачи Коши: а) область существования решения для граничныхусловий, заданных на гладкой дуге; б ) область, в которой изменяется решение при измененииграничных условий в одной точке гладкой дуги; в) области существования решения с непрерывными производными при наличии разрывных производных начальных данных в одной точкедуги, на которой заданы граничные условияПервая, наиболее важная – задача Коши – состоит в следующем.
В плоскости Ox1 x2задается гладкая дуга AB, определяемая параметрическими уравнениями xi = xi (s), нигдене совпадающая с линиями скольжения и пересекаемая с каждой из них только один раз(например, внешняя граница тела). На AB задаются функции σ(s), θ(s), непрерывныевместе с первыми и вторыми производными. Требуется построить решение уравнений(4.14), принимающее на дуге AB заданные значения.Решения задачи Коши имеют следующие свойства:• Решение задачи Коши существует и единственно в области, ограниченной дугой ABи отрезками α- и β-линий, исходящих из ее концов, включая и сами эти отрезки(рис. 4.4, а).• Решение непрерывно вместе с производными до второго порядка включительно.
Решение в точке C зависит только от данных на дуге AB, которая таким образомявляется для точки C областью зависимости.• Если на кривой, содержащей дугу AB, изменить данные вне этой дуги, то и изменения решения произойдут только за пределами криволинейного треугольника ABC.Отсюда следует, что вдоль линии скольжения, ограничивающей область, к решениюв этой области можно присоединять снаружи любые отличные от него решения, т. е.в соседних областях решения могут иметь разные аналитические выражения. Еслиизменить данные в некоторой точке D ∈ AB, это окажет влияние лишь на решениев области, отсеченной от ABC α- и β-линиями, исходящими из D (рис. 4.4, б ).• Если производные начальных данных будут разрывными в некоторой точке E ∈ AB,упомянутые выше результаты будут справедливы не во всем треугольнике ABC, атолько в треугольных подобластях, опирающихся на отрезки дуги AE и EB соответственно (рис.
4.4, в). Решение можно построить и в оставшейся за их пределамичасти треугольника ABC, но вдоль линий скольжения, исходящих из E, решениебудет иметь разрывы производных. Эти разрывы распространяются только вдольлиний скольжения и не могут исчезнуть на них.Эти свойства имеют несколько простых следствий, важных с точки зрения практическогоиспользования.Во-первых, поле напряжений у границы, свободной от нагрузки, определяется только формой границы.
Это справедливо в силу того, что τn = 0 на границе, откуда следует,64Глава 4. Жесткопластическое деформирование твердого тела . . .аб2tsAAaBjOCвbbCabaBABCaDРис. 4.5. Задача Коши с прямолинейной свободной границей (а) и со свободной границей в видедуги окружности (б ); линии скольжения в задаче Римана (в)что направление нормали к контуру является одним из главных направлений и линиискольжения подходят к контуру под углом π/4, что исключает совпадение где-либо контура с характеристическим направлением и обеспечивает единственность решения задачиКоши.В частности, у прямолинейной свободной границы всегда существует поле равномерного одноосного растяжения или сжатия величиной 2τy , параллельного границе.
Эта область равномерного напряженного состояния представляет собой треугольник, основаниекоторого – граница, а боковые стороны – прямолинейные линии скольжения, выходящиеиз ее концов (рис. 4.5, а).Во-вторых, у границы, представляющей собой дугу окружности, поле скольженияобразовано логарифмическими спиралями:rrφ − ln = β, φ + ln = α,(4.29)aaгде r, φ – полярные координаты с центром в центре окружности, которой принадлежитдуговая свободная граница, a – радиус этой окружности. Логарифмические спирали – этолинии, в каждой своей точке пересекающие луч, выходящий из центра окружности, подуглом ±π/4 (рис. 4.5, б ).
Начало отсчета угла φ определяется таким образом, что φ = 0в точке пересечения линий скольжения, ограничивающих область, опирающуюся на дугу.Напряженное состояние в этой области имеет следующий вид:rσr = 2τy ln , σφ = σr + 2τy .(4.30)aЭто состояние можно получить, решая систему из уравнений равновесия с нулевыми граничными условиями на напряжения и условия текучести в полярных координатах:dσr σr − σφ+= 0,drr4.5.2.σφ − σr = 2τy .(4.31)Задача РиманаВторая задача – начальная характеристическая, или задача Римана – отличаетсяот задачи Коши тем, что здесь значения σ и θ задаются на двух отрезках α- и β-линий,выходящих из одной точки. Эти значения не могут быть произвольными, так как в силуприроды линий скольжения связаны следующими соотношениями:σσ− θ = const = ξ вдоль α-линии,+ θ = const = η вдоль β-линии.(4.32)2τy2τyОднако, эти граничные значения обычно получаются из решения задач в соседних областях и потому автоматически удовлетворяют данному условию.
Решение краевой задачиопределено в четырехугольнике ABCD (рис. 4.5, в).4.6.. Линии разрыва напряжений65Если же задать значения σ и θ на отрезке кривой, удовлетворяющей условиям задачиКоши (например, на дуге AB на рис. 4.4, а), и на отрезке некоторой линии скольжения,имеющем с первым отрезком общий конец (на дуге AC на рис. 4.4, а), получим смешаннуюзадачу, решение которой определено в криволинейном треугольнике ABC (рис. 4.4, а).4.6.Линии разрыва напряженийМы упоминали ранее, что при определенных условиях поля компонент тензора напряжений могут быть разрывными вдоль линий скольжения. Если разрывны только производные, такой разрыв решения называется слабым. Если же решение, удовлетворяющееграничным условиям, само имеет разрыв, такой разрыв называется сильным.
Рассмотримусловия, при которых реализуются разрывные решения.Вдоль линии разрыва напряжения должны удовлетворять простым условиям, вытекающим из уравнений равновесия и условия текучести. Рассмотрим бесконечно малыйэлемент, лежащий на линии разрыва и имеющий исчезающе малую толщину. На граняхэлемента действуют нормальные напряжения σt , σn и касательное напряжение τn . Обозначим компоненты напряжения с разных сторон линии разрыва индексами «+» и «-».Поскольку толщина элемента стремится к нулю, из условия равновесия следует необходимость соотношений:σn+ = σn− = σn , τn+ = τn− = τn ,(4.33)а значит, разрыв может испытывать только нормальное напряжение σt = 2σ − σn .Условие текучести справедливо по обе стороны линии разрыва, значит, по обе стороны справедливы соотношения (4.25), из которых получаем:cτy2 − τn2 = τy2 (1 − cos2 2(θ − φ)) = τy2 sin2 2(θ − φ) = (σ − σn )2 ⇒⇒ 4(τy2 − τn2 ) = (2σ − 2σn )2 = (2σ − σn − σn )2 = (σt − σn )2 ,откуда находим√σt = σn ± 2 τy2 − τn2 .(4.34)Так как элемент лежит на линии разрыва, возьмем√√σt+ = σn + 2 τy2 − τn2 , σt− = σn − 2 τy2 − τn2 .(4.35)√В итоге, на линии разрыва имеем скачок [σt ] = σt+ − σt− = 4 τy2 − τn2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
