Hoffman - Numerical Methods for Engineers and Scientists (523154), страница 111
Текст из файла (страница 111)
ТЬе тпа1 Гипст1опз ате 1шеаг!у шйерепйепт Ктпст1опз йат за6вГу йе Ьоипбагу сопт!16опв. ТЬе итйпо~юп соеГ6с1ептя ш тЬе тпа1 Гипс6опв аге тЬеп т1етепшпет! ш зоше шаппег. То 61ивттате й1в арргоасЬ, сопв16ег йе опе-61гпепв1опа! Ьоипс1ату-ча1ие ргоЫет: ~у + Ду = т' ~чй арргорпате Ьоипт!агу сопйтюпз (12.1) 711 ?12 СЬар!ег 12 1 у(х) у(х) = 2,С;у;(х) (12.2) ТЬ(з арргоасЬ сап Ье арр11ед го гЬе а1оЬа! во!и!!оп йогпа!и 2)(х). ТЬе Кау1ефЬ-ВЖ гпейог1, йе со!1осапоп гпейог1, аги( йе Сга!егЫп ~че!аЬгег( геяЫиа1 гпейод Гог йегепп!и!пи йе соеГйс1епгя, С; (! = 1, 2,..., У) Гог йе ц1оЬа! во!ипоп йогпа!и аге ргезепгег! Ьв Кесг!оп 12.2. ТЬе Ьеаг папяГег ргоЫегп !11изггагег( й Г!ииге 12.1а !з во!чег! Ьу йеяе гпегЬог!з !и Беспоп 12.2. х1 ггв"!" «гв !" '! (х) и? (а) Опе-йпепз!опа! Ьоиийгу-ча(ие ргоЫегп.
аресйед оп оипбаг!еа 1„„+! „ = Р(х,у), !(х,у) = ? (Ь) ТЬе !ар!все (Ро!взоп) еииапои. Х(О, 1~ = аФхх, 7(х,О) = Е(х), !(х,!) =? (с) ТЬе Й1Тиз1ои ециаг!оп. Идиге 12.1. Ьаиие е!епвеиг ргоЫепж вгЬеге Д = Щх) апд г" = Р(х). !.егз арргохипаге йе ехасг во1ипоп у(х) Ьу ап арргохппаге во1ипоп у(х), и ЫсЬ !в а 11пеаг согпЬ)паг!оп оГ врес)йс гг)а! йшсг)опв у;(х)(ю' = 1, 2,..., У): 713 ТЬе Г!и!!е Е!етпетт! МеИюб Апойек арргоасЫя Ьавед оп арр1у|п8 Ет!. (12.2) то а яиЬдоша|п оГ йе 8|оЬа1 зойбоп допта|п 2у,(х), ччЬ|сЬ |я саПед ап е|етлелк оГ йе 81оЬа1 во|итюп доспал.
ТЬе во1и6опя Гог йе шд|ч|диа! е1етептя аге аяяетЫед то оЬта|п йе 81оЬа1 яо1ибоп. ТЫя арркоасЬ тз саПед йе Гтл|ке е!етлелк лтекЛод. ТЬе йт!ке е)ешепк кпе!Ьод Гог воЬдп8 Ек|. (12.1) |я ртевептед тп Вест|оп 12.3. ТЬе Ьеат тгапвГег ргоЫеш П1иятгакед тп Р|8иге 12.1а |я яо!чед Ьу йе йпПе е1етепт тейод тп Вест|оп 12.3. ТЬе Гш|те е!етпепк тейод а1во сап Ье арр1тед то во1че рат6а1 д|ГГетепт|а1 ек!иат|опя. Сопв|дег йе тччо-д!шепа!опа! Ро!взоп ес|иа6оп: (12.3) ТЬе йп|те е!етпепт шетЛод Гог яо!чу Ек!. (12.3) |в ргезепкед ш Яесбоп 12.4.
Р|циге 12.1Ь П|иякгакев йе Ьеак ткапяГег ркоЫеш ргеяептед ш СЬаркег 9 со П1ияиаке йике д|ГГегепсе тейодв Гог зо1кдп8 еПтрбс раг6а1 д|ГГегеп6а| ет|иа6опв. ТЬат ргоЫет тз зо1чед Ьу йе йште е1етепт гпейод тп 8ескюп 12.4. Сопзтдег йе опе-дипепв|опа! д|ГГив!оп ек|иа6оп: (12.4) Р|8ике 12.1с |пиятгатев йе ьеат тгапвГег ргоыеш ргеяепкед ш сЬартег 1О со тПиякгате Гш|те ЙГГегепсе тедюдя Гог яо|ч|п8 ракаЬоПс раг6а1 д|ГГегепк|а1 ес|иат|опв. ТЬат ргоЫеш !я зо1чед тп Бесбоп 12.5 то П!ияттаке йе арр1тсатюп оГ йе йпПе е|етепт тпейод Гог воЬдпд ипятеаду типе птаксЫпд раг6а| д|ГГетепт|а! ет!иат!опя.
ТЬе ткеаипепк оГ йе йтбте е1ешепт шегЬод ргезептед ш тЫя сЬартег |я гайег вирегйс!а1, А дета|1ед ткеатшепк оГ тЬе шейод тек|и!гез а согпр1есе Ьоо|к дечосед еп6ге1у то йе ПпКе е1ешепт шетЬод, ТЬе Ьоо|кв Ьу Као (1982), Кедду (1993), Бтгап8 апд Р|х (1973), апд У!еп!к|етч|сг апд Тау|от (1989 апд 1991) аге 8оод ехатпр1ез оГ яисЬ Ьоо|кя. ТЬе оЬ)еск|че оГ тЫя сЬартег |в гдкпр1у то штгодисе йгя ппрогтапт арргоасЬ Гог яоЬдп8 Ййегепк|а! ет!иак!опв.
ТЬе ог8ап|кат|оп оГ СЬаркег 12 |я тПивтгатед гп Р|8ике 12.2. Айег йе лепета| !пктодисбоп ргезептед |п й|я яесбоп, йе Кау1е|8Ь-К|тх, соПосабоп, апд Йа|ег|к|п шейодя аге ргеяептед Гок опе-д|тепя|опа! Ьоипдаку-ча1ие ргоЫетз. ТЬат ркевептабоп |я ГоПотчед Ьу а д|зсивя!оп оГ йе йт!те е|етепт тпекЬод аррПед то опе-Йшепвюпа| Ьоипдаку-ча|ие ргоЪ|ептя. ВпеГ шткодист|опя то тЬе аррПса6оп оГ йе йпЬе е1ешепк тейод то йе |.ар!асе (Ро|яяоп) ес|иат|оп апд гЬе ЙГГия!оп ек!иабоп ГоПотч.
ТЬе сЬартег с|ояез тч|й а Бипипагу, тчЫсЬ Йясивяея йе адчапта8ев апд д|задчапта8ез оГ йе ЙпПе е1егпепк шейод, апд Пятя йе й|п8в уои вЬои1д Ье аЫе то до айек яШду|п8 СЬаркек 12. т2.2. ТНЕ ВАУ~Е1ОН-й!ТЕ, СО~~ОСАТ10й, АИ0 ОА~ЕЙК!й МЕТНО08 Сопя|Пег йе опе-Йшепгдопа| Ьоипдагу-ча!ие ргоЫетп врес|6ед Ьу Ек!. (12,1): (12.5) тчЛеге Д = Ях) апд тч = Р(х). ТЬе Кау1е!8Ь-К|та, соПосатюп, атно Оа|ег|дп тпейодз Гог во|гдп8 Ес|, (12,5) аге ргевеп!ед ш Пия зесбоп.
715 ЧЪе Р!и!!е Е!ешеп1 Ме!Ьо«! Гппсг!опа1з аге ехггеппке«! (1,е., пшшшке«1 ог шарике«1) !и а шаппег апа1о8опя го ехггеш!кш8 ог«1!пату йпсг!опя, «иЫсЬ !з ассошр!!зЬе«! Ьу яепш8 йе йгяг «!е6«а«Ые оГ йе ог«Бпагу йпсг!оп е«!па! ш кето. ТЬе «!епчабче оГ а шпсг!опа! 1з са11е«1 а ~апабаи ап«1 !з «!епоге«1 Ъу йе яушЬо1 «! !о «1!яг!п8п!яЬ !! Ггош йе «1епчабче оГ ап ог«!шагу йлсбоп, тгЫсЬ !я «(епоге«$ Ьу йе яушЬо1 сК. ТЬе йгя! чапагюп оЮ«1, (12.6) (Тот йхе«! еп«1 ро(пгз а ап«1 Ь) !я 8!чеп Ьу Ы = — «! + — Ь = — «1! + — !( У) ь(х (12.7) иЬеге «!у' = д(ф /«!х) = а(ду)фх Йош соп6плгу ге«!и!гешепгя.
1пге8габп8 йе 1аяг гепп !и Е«!. (12.7) Ьу рагтз у!е1«!я ь (12.8) чйеге йе 1аз! гепп ш Е«!. (12.8) !я кето япсе «!у = 0 аг йе Ьопп«1апея йг Йхе«! еп«1 ро!пгз. БпЬяг!шбп8 Е«1. (12.8) шго Е«1, (12.7) ап«! яегйп8 «й = 0 8!чея «1« = — — — — «!у«(х = О Е«!паг!оп (12.9) шпаг Ье яабя6е«! Гог агЬ!«гагу «1!згпЬпбопз оГ ду, ««ЫсЬ ге«1п!гез йаг (12.10) Е«(па6оп (12.10) !з 1«полип аз йе Еи!ег е«?ииг«оп оГ йе са1сп1пя оГ чапабопз. Ноч~ «!оез йе са1сп1пя оГ чапа«!опя ге1аге го йе яо1п6оп оГ а Ьопп«!агу-ча!пе ог«1!пату «!!1Тегепг!а! е«1па6оп? То апз«иег 6пя «!пея6оп, сопяЫег йе Го11оячп8 зЬпр1е !Ыеаг Ьопп«!агу-ча(пе ргоЫеш ю!й 1ХпсЫег Ьопп«(агу соп«И«!опз; (12.11) ягЬеге Д = Д(х) ап«! Р = Р(х).
ТЬе ргоЫегп !з го «!егеашпе а йпст!опа! 1[у(х)) лЬозе ехтгепмп (!.е., ш!шпппп ог шах!шпт) !я ргес!зе1у Е«1. (12.11). 1Т япсЬ а йшсг!опа! сап Ье Гопп«!, ех«гепбк!п8 йаг йшс6опа! у!е1«(я «Ье зо1чг!оп го Е«1. (12.11). ТЬе ра«6сп1аг 6«пег!опа! ъЬозе ех«геппкаг!оп у!е1«(я Е«1. (12.11) !з 8п еп Ьу ,ь 7Мх)) = ~ ((! ') — 0У~ + 2~1 ~х а (12.12) жЬеге «Ье 6«п«Ьапепга! Йпсг!оп б(х, у, у') !я «!ейпе«! ая «г(х, у, у') = Д) — Ду' + 2Ру (12.13) д р к = !(У') — ДУк + 2РУ! = — ~ — !(У') — ДУ~ + 2ГУ) 8У «!х !Зу' (12.14) Арр!у!пд йе Еп1ег е«!пагюп, Е«1. (12.10), со йе гоп«!агпепга! йпс«1оп 81~еп Ьу Е«1.
(12.13) 8йез 716 СЬар1ег 12 РегГопп1па йе с!1йегеп6агюпз ап ез -2Ду+ 2Р = — (2у') = 2— Е 2у сЕх сЕх (12.15) ягЫсЬ у1е!с!я йе гези!г У" +И=г (12.16) Е!у(х)] = 1!у(х)] = 1!у(х, а, Ь,,)] (! 2.17) Та!с!пд гЬе шяг чапа!!оп оГ Ес!. (12.17) яий геяресг го йе рагагпегегз а„Ь, его., у!е1с!з Ы(у(х, а, Ь,...)] = — да+ — ЬЬ+ .. д1 д1 да дЬ (12.18) ъЫсЬ 1з заг1яйес! оп1у 11 дЕ дŠ— — =0 да дЬ (12.19) Ес(пас!оп (12.19) у1е1с(з ехасг1у йе пшпЬег оГ ес1иагюпя гес!и1гес1 ю яо1се Гог йе рагатпегегя а, Ь,..., жЫсЬ с)егепшпез йе Еипсгюп у(х) йаг ехггеппкея йе шпсгюпа! Е!у(х)]. ТЬе 6лсг1оп у(х) 1з а!яо йе зо1иг1оп оГ йе с11йегеп11а! ес!иаг1оп, Ес1. (12.11).
1п яшппагу, гЬе згеря ш йе Кау1ефЬ-К(гг шейос! аге ая Ы!ои з: 1. Оегепп(пе йе йпс11опа! Е!у(х)] йаг у(е1с!я йе Ьоипс)агу-~а!ие ОТ1Е язеп йе Еи1ег ес!иаиоп я аррИей. 2. Азяише гЬаг йе Гипсг1опа! Гопп оГгЬе арргохппасе яо1игюп у(х) гз фчеп Ьу 1 у(х) у(х) = ',ГСсу,(х) (12.20) с=! СЬоозе йе Еипсг1опа! Гоппз оТйе гпа1 шпсг1опя у;(х), апс1 епяиге йаг йеу аге 1шеаг1у шс(ерепс!епг апс! за!!злу йе Ьоипс!агу сопс!1!!опз.
3. БиЬяг1Шге йе арргохппаГе зо1иГ)оп, Ес!. (12.20), шго йе Еипспопа! 1(у(х)] го оЬГаш 11С,]. 4. Ропп йе рагс!а! с1епчайея о11]С;] ~игЬ геяресг го Со апс! зег йегп ес)иа! го дЕ дС; — =0 (с=1,2,...,1) (12.21) 5. Зобе Ес!. (12,21) Гог йе соейс(епгз С; (1 = 1, 2,..., 1). Е.ег'я 11!из!гаге йе Кау!е1аЬ-К1гх шейос1 Ьу арр1уши 11 го зов е йе Ьоипс)агу-~ а!ие ргоЫеш зрес16ес( Ьу Ес1. (12.11): у + Д~' = Р у(хс) =у! апс(у(х2) = уг (12.22) МпсЬ 1з 1с!еп11са11у Ес!.
(12.11). ТЬиз, йе шпсг!оп у(х) вЫсЬ ехггепилез гЬе Еипспопа! 1!у(х)] а!реп Ьу Ес!. (12.12) а!яо заг1яйез йе Ьоипс!агу-ча1ие ОЕ>Е, Ец. (12.11). ТЬе Кау1е1иЬ-К(гл шейос( рз Ьазес! оп арргохппа6па йе ехасг зо1игюп у(х) о1 йе чапа6опа1 рюЫеш Ьу ап арргохппаге зо1иг!оп у(х), ъ~ЫсЬ с!ерепс!я оп а шлпЬег оГ ипзрес16ес! раигпегегз а, Ь,.... ТЬаг 1з, Ях) у(х) = у(х, а, Ь,...). ТЬиз, Ес!. (12.12) Ьесошез 717 ТЬе Р!и!!е Е!егпеп! Ме1Ьос! Ав а врес!Ос ехапзр1е, 1ег гЬе Ьоипс!агу сопсЫопв Ье у(0.0) = 0.0 апс1 у(1.0) = у. Т1шв, Ес!. (12.22) Ьесотев у ' + Ду = Г у(0.0) = 0,0 апс1 у(1.0) = г (12.23) Я!ер 1.
ТЬе йпсг!опа1 1[у(х)) сопевропс!!па ю Ес!. (12.23) 1з рт еп Ьу Ес(. (12.12): 1[у(х)) = ~ [(у') — Щ + 2Ру1сКх (12,24) и Ьеге гЬе йпс!ашеп!а1 йпсйоп б(х, у, у' ') !3 с(ейзес! ав С(х, у, у') = (у') — (7уз + 2Ру (12.25) ТЬе гЬгее Ма! йпсг!опз ш Ес!. (12.26) аге 1!пеаг1у шс!ерепс!епг. Арр!у!па гЬе Ьоипс1агу сопс1111опв у!е1дв С, = у. ТЬив, гЬе арргох!шаге зо1игюп !в айеп Ьу У(х) = ух+ Сзх(х — 1) + Сзх (х — 1) = У(х, С2 Сз) (12.27) Мер 3. БиЬзг!гиг!пд сЬе арргохппаге зо1ииоп, Ес(.
(12.27), !пго Ес). (12.24) фчез г' 1[У(х)з ~ [(У ) Й + 2' Уз с'х 1[С2 Сз3 (12.23) о ансер 4. Ропп гЬе рагс!а! с!ег!час!3'ез оГ Ес!. (12.28) МгЬ гезрес! го С2 апс1 Сз: д1 Г~ д , Г~ д Г~ д — = ~ — [(3/)'1 ~х — ~ — [Оуз~ с!х + ~ — [2РУ) с!х = О ас,=3,ас, '' 3,ас2 о дС2 г' а — = ~ — [(у')2|Их — ~ [ДУ21с1х+ ~ — [2РУ1с1х = 0 (12.29Ъ) СЗ о СЗ о 3 о дСз Ет а!па!(пд Ес!. (12.29) у!е!дз д1 (', ау' !' ду г' ау — = ~ 2у' — сй — ~ 2ДУ вЂ” сй+ ~ 2à — с!х = 0 ас2 о аС2 о дс2 о ас2 — = ~ 2у' — о!х — ~ 2ДУ вЂ” с!х+ ~ 2à — сй = 0 аС, К аС, 1!о аС, 3о аС, Мер 5.
Бо!че Ес(. (12.30) Гог С2 апс1 Сз. Ес1иас(оп (12.30) гес!и!гез гЬе йпсс(опз у(х), ау/дс2, ду/дС3, у'(х), ау'/дС2, апс1 ду'/дсз. Кеса!1 Ес). (12.27): у(х) = 1х + Сзх(х — 1) + Сзхз(х — 1) (12.31) 0Негепг1ас(па Ес!. (12.31) МгЬ гевресс го х, С2, аш! С, рз ев у'(х) = 2 + С (2х — 1) + Сз(3х2 — 2х) — = (х2 — х) апс! — = (хз — хз) ау 'у дС2 дСЗ (12.29а) (! 2,30а) (12.32) (12.33) Ав вЬоззп Ьу Ес!в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
