Golub, Ortega - Scientific Computing and Differential Equations (523148), страница 38
Текст из файла (страница 38)
6.4.2. БЬаъ СЬаС СЬе ча1иев оЕ Вг, В'„апй В," аС х; г, х„х„п яге ая 61чеп ш ТаЫе 6.!. 6.4.3. СоивЫег СЬе Снго-ро!иС Ьанпйагу-ча1не ргоЫеш -и" .1- (! -~- х )ч = х, ч(0) = О, ч(1) = О. а. ЬнС А = Япй гчг!СЕ иоС СЬе соеСПс!еигх ан о1 (6.4.!1) аий (6.4.12) 1ог СЬе собосвсюи шесЬой аий сЬеи СЬе согир!еге вувгеги а1 Ппеяг ег!иаС!оин (б 4.4). Ансеггаш нйаСЬгг Сбн госСбс!еиС ишгг!х Ь нуиниегпс роврйче ~!< Яике нш1 нБнаоинПу с!иииинис, Бо!чн с1и нунсеш ни~1 ехргннн сЬя агн ргохиингг но!ийои!и СЬе (спи (6,40), и!и1п С!и.
Ьнн!н Ьии Глоин нге 6!чеи Ьу (6.4. 10). 210 СНАРТЕВ 6 ГЯ ТНЕВЕ МОВЕ ТНАГГ ЕГ)с?ГТЕ Г)ГРРЕВЕХСЕБ? ъ. Версас рагс а Гог сье Оа!егып шесьой нв1п6 сье ьаыв Гнпсйопв (6А.15), 6.4,4. 1 ес Г(х) Ье а р1есехЬе 1шеаг Гнпсйоп ъ !СЬ ггойев х, = !Ь, я = О, 1,..., и -1-1, ь = (п41) ', апй сьас чап!яьев ас ха апй х +г. Яьогя сьас сьеге аге сопя!ассе аг,...,а внсЬСЬаг Г(х) = ~,", шй,(х), иЬегеСЬеФгагейейпейЬу(6,4.15).
6.4.5. Сопя!йег СЬе Ьонпйагу-на!не ргоЫеш Я(х) - 6 ( ) = '., 0 < х < 1, . (0) = (Ц = 0. а. 11ег!ве СЬе вуввеш оГ СгЫ!абопа! егвнаССопв Со Ье во!вей Со ситу онг СЬе со11осас1оп псесьой пя1п6 сье ьавь Гесс!!опв оГ (6.4.10) и1сь сье ро!пся хг = (г — 1)Ь, с = 1,, и, Ь = 1/(и — 1). Ь. Пег!ге СЬе вуясепг оГ СгЫ!абопа1 ег!нас1опв Со Ье воЬей Со свггу онс Са1егЫп'я шсйюй нв!п6 СЬе Ьав!в ГнпсС1опв (6.4.15). с. Айй сье поп!1пеаг сегш 1О!я(х))' со сье г!6ьс ьапй вые оГсье йСГГегепс!а! егснясюп апй гереаг рагся а. апй Ь. ТЬеп сошросе сЬе ЗасоЬ!ап пъъспсев Гог СЬеве вуввешя апй йиснвв Ьох Со саггу анС Хенйоп'в шеСЬой.
СНАРТЕВ 7 Ж 1МРОЯТАТ4Т Ж!ТМВЕВЯ 212 а ч!аЫе сошрпгаС1опа! ргоседпге ехсерС Гог СЬе тповС Спсда1 ргоЫешв. ТЬе пшш рпгрояе оГ СИв сЬаргег 1в Со 3!че а1Сегпавгче сотпртйайопа1 шеСЬодз. П1(Гегепв!а1 ЕССпаС1опв Ав ап ехатпр!е оГ Ьосч е13епча!пе ргоЫешв айве, сопврдег СЬе вуявепт о( огд!пату д!Стегепт!а! етСстаС!опв (7.1.3) (от а 3!чеп сопвгапС и х и шагпх А.
11 тче сгу а яо!пС1оп о1 (Т.1.3) оГ СЬе Гогш у(С) = е 'х (7.1.4) (от воше сопвтапС шйпотчп чесСог х апт1 шйпотчп рагаптеСег Л, СЬеп чге ппзвт Ьаче "У тт дС вЂ” = Ле х = А(еюх), ог, в1псе е"' Ся а!тчауя попзето, Ах = Лх; СЬаС !в, (Т.1.4) !я а во!пСюп о( (7.1.3) !1 ялд оп1у!! Л апд х аге ап еЩепча1пе апй а соггезропд!п3 е13епчесСог оГ А.
Ап ппроггапС Суре оГ шаСпх !я отте СЬаС Ьав и 1!пеаг1у !пйерепдепС ещепчесСотз (все ТЬеогеш А.2.1 ш Аррепд!х 2 1ог СЬе с1ейпйюп оГ Нпеаг тпдерепдепсе). 11 СЫв ж СЬе сазе, апд Лт,..., Л„апд хт,..., х„аге СЬе е13епча!пез апд соггевропд!пд ещепчесготз, СЬеп ут(С) = я "хд, ут(С) = е~"хз,, у„(С) = е~"'хи (7.1.5) !я а сотпр1еве веС о1 1!пеаг!у пм1ерепдепС во1пйопз о( СЬе д!Негепг!а) етСпаС!оп (7.1,3). Непсе, апу зо!пС!оп о! (7.1.3) тпау Ье счт!ССеп Са СЬе Сотш У(с) = ~ стУ,(с) = ~ с;зархи (7.1.6) тчЬеге СЬе сопя!вися ст,..., с шау Ье деСегш!пед Ьу 1шйа1 ог оСЬег сопд!С!опв. ТЬпз, СЬе вепега! во1пгюп о1 (7.1.3) птау Ье оЬСашед Ьу во!ч!п3 СЬе ещепча1пе ртоЫеш Гог СЬе шатт!х А.
11 А доев поС Ьаче и 11пеаг!у шдерепдепС ещепчесгогв, а я!пп!яг Ьпт шоте потир!тсавей гергевепсайоп о( СЬе зо!пйоп тпау Ье 3!чеп. Ыпеаг1у 1пйерепйепС Е!хепчесвогв рте поте д!вспвя 1п пюге дега!1 СЬе ргорегту оГ а шавпх Ьачпщ и 11пеаг!у шт1ерепдепт ещепчессогв. Ая 1п Аррепд!х 2, а япп!Сяг!Су СгапяГогшаС!оп о( СЬе шатпх А !я оГ СЬе 1отш РАР ', тчЬеге Р Св апу попа!п3п!аг птаСпх. А я!пп)аг!Су СгапвГоппайоп о1 А айвев (гош а сЬап3е о! чагюЫея; 1ог ехашр1о, сопвгйег СЬе яузгегп оГ ес)иаС!опв Ах = Ь апй ииЬе СЬе сЬапхе оГ чаг!аЫев у = Рк апй с = РЬ, гчЬеге Р !в а попе!пхи1аг шаССЬп 1п СЬе пегч чапаЫея СЬе вуввегп оГег!иайопв !з АР гу = Р 'с ог, ироп ппсРйр1угщ СЬгощЬ Ьу Р, РАР 'у = с.
ТЬив, СЬе соеГЬс1епг гпагх1х оГ СЬе зувгет Гп СЬе пегч чапаЫев !в СЬе я1пй1апгу СгапвГогш РАР Ап ипроггапС ргореггу оГ в1пн!аг1гу !гааз!оста!!опя 'ы СЬаС СЬеу ргевегче СЬе е!вепча1иея оГ А: СЬе таггйсев А апй РАР ' Ьаче СЬе вате е!хепча1- иез. ТЫв ы еав11у вееп Ьу сопя!йег1пд СЬе сЬагасгегыС1с ро1упопиа! апй ив!пх СЬе Гас! сЬаС СЬе йегегпйпапС оГ а ргойисС оГ тавпсез !в СЬе ргойисС оГ СЬе йегегш!пасся.
ТЬия С1еС(А — ЛЕ) = йеС(РР ') йеС(А — ЛЕ) = йеС(Р) йег(А — ЛЕ) йеС(Р" ) = йег(РАР ' — ЛЕ). гч!с!сЬ яЬочгв СЬаС СЬе сЬагасгег!яС!с ро!упоппа1в, апй Ьепсе СЬе е1хепча1иев, оГ А апй РАР ' аге!йепйса!. Носчечег, СЬе е!хепчесгогв сЬапхе ипйег а в1пй!агйу СгапяГогпсаС!оп, 1пйеес1, РАР ~у=Лу ог АР 'у=ЛР гу вЬогчя СЬас СЬе е!хепчессог у оГ РАР ' гв ге1асей Со СЬе е)хепчесгог х оГ А Ьу Р 'у = х ог у = Рх. Ап ппроггапС с!иевС1оп !з Ьогч "вппр1е" СЬе таспх А шау Ье тайе ипйег а йпи!агИу СгапвГогшаС)оп. А Ьая!с геви1с!п СЬы гееагй, чгЫсЬ Ьг!пав из Ьас1с Со Бпеаг!пс1ерепйепсе оГ СЬе е1хепчессогз, 1в СЬе Го11оы!пз: Тггхоахгя 7.1.1 А тавггх А и лшйаг Со а йсадопо) та!гсг !Г апй огйу (Г А Лая и Басят)у тйерепйеп! е!уепчесвогя.
ТЬе ргооГ оГ СЬы СЬсогегп ы ЬоСЬ зппр1е апй !!)ивггаС!че. Ьес х,,..., х„ Ье п 11пеаг1у шс1ерепс1епс е!хепчесгогз оГ А чйСЬ соггеяропй!пх е!хепча!иея Лг,..., Л„, апс1 1еС Р Ье СЬе гпагпх жГСЬ со1шппв хы, .., х: СЬегг Р !в попе)пзсйаг гйпсе Ья со!шппв аге Нпеаг1у 1пйерепйепС. Ву СЬе Ьав!с йе6п)С!оп Ах, = Л;х; аррБей Со еасЬ со!шпп оГ Р, юе Ьаче АР = А(хихг,... к ) = (Лгкп..., Л„х„) = Ро, (7.1.7) чгЬеге Р ы СЬе й!ахопа! шагпх й!ах(ЛС, Лз,..., Л„). ТЬия (7.1.7) 1в ег1и!ча1епс Со А = РРР -', жЬ!сЬ яЬогчв СЬаС А!в в!пи!аг Со а й1авопа) пгагпх счЬове й1- аяопа! епгг1ея аге СЬе е!хепча!иея оГ А. Соггчегяе1у,!Г А ы вши1аг Со а й!ахопа! гпагйх, СЬеп (7.1.7) вЬосчя СЬаС СЬе со1шппв оГ СЬе яш!!ай!у таСг!х Р ппыс Ье ещепчессогз оГ А, апй СЬеу аге !гпеаг!у!пйерепйепС Ьу СЬе попе!пхи1аг)Су оГ Р.
Тгчо нпроггат ярос!а! сан я оГ СЫ ргычя!!иу геяиЬ яге СЬс Го!!ою!СССг СЬеоы тн, сч1псЬ чп я!ыи гйсЬои! ргооГ. СНАРТЕП 7 Ж !ЛЕРОНТАЕч'Т ЖБМВЕНБ 214 Тнноккм 7.1.2 ЕЕ А Ьав вкв!тпс! етдепеи1иев, СЬеп А м вттт1аг Со а ЙадопаЕ ото!па. Тнноккм 7.1.3 ЕЕ А тв а геа1 вдттесг!с тай!я (СЬас 1з, А = АхЛ Сйеп А Ев в!тт(аг Со а йадопа! тавгтх, апд йе ввтпт!огтвд тиаггтх таад бе !обеп !о бе огСЬодопа1 ЕсЬас 1я, РРг = ЕЛ Бупппесдс тпатпсез аге ехСгеше!у ппрогтапС !и арр11сатдопз. ТЬеу а1во Ьаче тпапу п!се ргорегт!ез вв гецагдв СЬе!г е13епча1пев апд е!3епчестотз.
1п рагС1сп1аг, СЬе е13епча)ттез оЕ а яупипесг!с птатг!х аге а!втаув геа! апд аге росдС!че !Е А Ь роз!С!че т1ейпке. Могеочег, СЬе 1авт рагт оЕ ТЬеогеш 7.1.3 сап Ье герЬгавет1 Со яау СЬаС СЬе еабепчестогя сап Ье сЬовеп Со Ье огсЬопогша! (Аррепд!х 2). ТЬе богдан еоггп ТЬеогеш 7.1.2 вЬовтв СЬат !Е а шатт!х А доев поС Ьаче и 11пеаг1у шде- репдепС е13епчестогв, сЬеп песевваг11у й Ьав пийС!р1е е!Зепча(иея.
(ВпС поте СЬаС а тпасйх тпау Ьаче и 1шеаг1у 1пт1ерепдепс е!3епчесгогя ечеп СЬоп3Ь 1С Ьвв пшК1р1е е!депча1ттез: СЬе 1депНСу итавпх гв ап ехаптр1е.) ТЬе птаСНх (7.1.8) !в а яипр!е ехатпр!е. оЕ а тпатпх СЬат доев поС Ьаче Стчо 11пеаг1у !пдерепдепт е!депчестогв (вее Вхегс1яе 7.1.4) впт1 гз пос вип!1аг со а д1ацопа! шатпх. Нотчечег, апу и х и ишСпх тпау Ье паде я1пи1зг Со а птатпх оЕ сЬе Еогш л Лв бв 6 втЬеге СЬе Лт аге СЬе екнепчаптев оЕ А апд СЬе б, аге е!СЬег О ог !. 1Е д !в СЬе пшиЪег оЕ б, СЬат зге попгего, СЬеп А Ьав и — д 1шеаг1у 1пдерепт1епС е!ЗепчесСогз, апд втЬепечег а бт !з попяего, СЬеп СЬе е!3епча1иез Л, апд Лт т вте !депт1са1. ТЬпв СЬе тпатпх д сыт Ье рагвйгопес1 ая (7.1.9а) тчЬеге р !з сЬе пшпЬег оЕ 1шеаг1у !пт1ерепдепс е!Зепчестогз, апд еасЬ от 1в а шасгтх оЕ СЬе Еогш 7.! Е1сгЕг(сгА1Л1Е РВОВБЕМЯ 215 л, (7А.ОЬ) 1 л, ълсЬ гйепйса1 е!хепча1иев апс! я1! 1'в оп СЬе йгвс яиреп!!авена).
ТЬе псасгп Х оГ (7.1.9) в са1!ео СЬе 2отг)ап сапов(са),гопп о1 А. Хосе СЬас !1 А Ьав и 11певг!у !пс)ерепс)епС е)аепчессогв, СЬеп р = и: 1п СЬЬ саве еасЬ чг тес)осев Со а 1 х 1 псвспх, апд,У!в с)!аКопа!. ТЬе Оогс1ап сапошса! 1опп 1в 1ог ияейй сЬеогес1са1 ригрочев Ьис поС чету ивейй 1п ргасС!се. Рог гпапу сотригаС!опа1 ригровев 1С и чегу с1ев!гаЫе Со счогЬ иисЬ огсЬохопа1 ог ипйагу та!осев. (А пп!Гагр пшсг!х У !в а согпр1ех гаасг!х СЬас яас!вйев (!*У = 7, счЬеге (7* и СЬе соп)ихаге Сгапярове о1 У; а геа1 шпсагу таст!х !в ап огСЬохопа1 таспх.) ЪУе пехс я!все чйсЬоиС ргоо1 !сто Ьвв1с геяи1Ся оп вЬп!1агйу Сгапв(оппасюпв ю!СЬ ишсагу ог огСЬохопв! таСпсея.
Яонин'в Тннокки. Рот ап атййпту и х и шастъг А, йете и и оп!Сагу шастгх У впсЬ йас УАСГ и Спапдп!ат. Минмвонам-Ъ'снтннп Тнконнм, Рот а теа1 п х и шаспх А, йете и ап отйоуопа! та!па Р яо йаг Т Тспа Твг РАР счйетс еасЬ Та и е(СЬет 2 х 2 от 1 х 1, 1п СЬе саве о1 Бтйиг'в ТЬеогеш, сЬе с)!анапа! е1етепсв о1 К4У' аге СЬе е!гепча1иев о1А вшсе 1!А(г* )в а япи1агйу !ганя(огтайоп. 11 А!в геа! Ьис Ьав вогое сотор1ех е!яепча!иея, СЬеп сг !я песеввап1у согпр1ех. ТЬе МигпахйапЪ%псег ТЬеогет сотея вв с1ояе Со а сг!апхи)аг 1опп яв рова!Ые сч1СЬ а геа1 огсЬохопа1 таспх.
1п СЬи саяе, !1 Тн !я 1 х 1, СЬеп 1С гв а геа1 е!хепча)ие о1 А, счЬегеав !1 Та !я 2 х 2. 1Св Спо е!хепча)иев вге а сотр1ех сои!инесе расг о1 е!Кепса!иев оГ А. ОСЬег 111йегепс1а) Ксгиас!опв С!Сге посч ге!тига со йггсЬег ехатр1ея о( с!аепча!Ссе ргоЫепи, Мапу арр1!са!лопе !сас) ш гегсаш яЬпр)е саяея со СЬе огд!пату г)ййегепс!а) ессиас!оп — у" (г) = Лр(г), р(0) = О, у(1) = О. (7.1.10) СНАРТЕЯ 7 !СЕ ЕМРОЯТАЬЕТ ХСМВЕЕЕБ 216 Неге з е гч!зЬ Со йпг1 ча1иея — айа!и са11ег) е!3епча)ггев — оЕ СЬе всайгг Л во СЬаС (7.1.10) Ьаз соггезропг)Ы3 попзего во1исюпв — са1!ег) ещепХипсС!опз — СЬаС заС- !вЕу СЬе 3!чеп вето Ъоипг)агу сепг)!С!опя. ТЫв рагзки1аг1у япгр1е ргоЫеш сап Ье яг!чег( ехрйс1С1у, ТЬеге аге шйште1у шипу е!3епча!иев апг( соггевропгЕшй е!йеп(ггпсС!опз СЬаС аге Ьйчеп Ьу Лв = Ег~л гув(х) = в!и Егзх, Ег = 1,2,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
