Golub, Ortega - Scientific Computing and Differential Equations (523148), страница 36
Текст из файла (страница 36)
ЯисЬ Оиас1гаСше !огши1ав аге са11ей СЬе №югоп-Со!ее гоггпиСоя (Бее СЬе Яирр!ешепгагу Р!ясияя)оп.) Е = / [у(х) -р(х))~Сх. Я (6.3.6) Ву СЬе 1пьегро1аС!оп Еггог ТЬеогегп 2.3.2, СЫв сап Ье ат!ССеп ав „ь , / (х-х.) (*-*.)~""( (*)) -, (и+ 1) а (6.3.6) гчЬеге хс, хс,...,х„аге СЬе шьегро1аСюп ро1пСв, апг( х(х) !в а рошС ш СЬе шгегча1 [а, Ь] СЬаС дереве(в оп х. %е пояс арр1у (6.3.6) Со яоше ярес!Йс савве. гог СЬе гесьап61е ги1е (6,3.1), и = О апй хс = а; Ьепсе (6.3.6) Ьесогпев ь гь [Еп[ = / (х — а)г'(х(х))дх < Мс / (х — а'я(х = — (Б — а)Я, (6.3.7) уа Я 2 ьчЬеге Мс 1я а Ьоипс! 1ог [,г'(х)[ очег СЬе шгегча1 [а, Ь).
Хоье СЬаС СЬе Ьоигк1 (6.3.7) тл11 поС Ье вша!1 ип1евв Мс гя вьяса!1, ьчЫсЬ гпеапв с1пп,Г' Ся с1ове Со сопясвпг, ог СЬе !епбСЬ оК СЬе шьегча1 !я вша)1; чге вЬа)1 гегигп Со СЫв рошС 1аьег чгЬеп чче Йгясивв СЬе ргасяка1 иве оГ СЬеве с!пас(гагиге !огши1ав. гог СЬе !гарево!сС ги1е (6.3,3), п = 1, хс = а, оп~1 хг = Ь. Непсе, аба1п арр1ушб (6.9.)), сче Ьаче гь [Ег[ = — / (х — а)(х — Ь)г" (х(х))йх < — (Ь вЂ” о)в, (6.3.6) г /. 12 «Ьеге Мя !я а Ьоипс( оп [У" (х)[ очег [а, Ь,', Сопя!г!ег пехС СЬе ш!йро!пС гЫе (6.3.2),!п хЫсЬ п = О апг( хе — — (а+ 6)/2.
11 чге арр!у (6.3.6) апс( ргосеей вв ш (6.3.7), ае оЬСып [Ем[ = / [х — — ~ Уч(в(х))йх < — (Ь вЂ” а) . (6.3.9) (а+ Ь)1, Мь 1 4 Еггог Еоггпи(ав 'ьче сопвЫег пехС СЬе еггог шаг(е ш ияпб СЬе ииаг(гаьиге ги1ея СЬаС Ьаче Ьееп с1евсПЬед. 1п а11 свеев у !в арргохппаьеб Ьу ап !пьегро!аС!пб ро1упоппа1 р о! г(ебгее и очег СЬе 1пСегча! [а, 6), апс) СЬе !пгебга! о1 р Ся СЬе арргохипаьюп Со СЬе 1пьебга1. Непсе СЬе еггог !п СЫя арргох!шаС!оп !я 6.3 Ж!1МЕШСАЕ 1ХТЕСКАТ1ОМ 197 ТЫв, Ьосчечег, 1я пог ЬЬе Ьевс Ьоиис( «е сап оЬьа!п. )6те вЬаП !изсеяс! ехрмЫ ЬЬе !пгебгаис! о1 (6.3.5) !и а Тау1ог вепев аЬоиг тп = (а е 6)/2.
8!псе ЬЬе !пьетро!ат!пб ро1упопиа1 Ь вппр1у !!се сопвЬапг р(х) = г'(т), ьЫв 81чев 1(х) — р(х) = 1'(т)(х — т) + тг" (х(х))(х — т)т, счЬеге г тв а ро!п! ш ЬЬе шьегча! аис! с1ерепсЬ оп х. Т1шв ьЬе еггог 1п ЬЬе птЫрош! ти!е Ь гь [Ем[ = / [У'(т)(х — т)с(х+ ~3Уа(х(х))(х — т)')с1х (6.3.10) а ь ь < У'(т) 1 (х — тп)с(х~+ — ~ 1"(з(х))(х — т) с1х < — (6- а), Мз з 24 Нисе ь (х — т)с1х = О, (х — ти) с1х = (6 — а) 3 12 1п а яипйаг «сау «се сап деНче ЬЬе 1оПочлиб Ьоипс) 1ог тЬе еггог !п Яппр- воп'в ги1е (6.3.4).
«ЫсЬ сче я!иге сч!ГЬои! ргооГ (Мс 1в а Ьоипс1 1ог ьЬе (оигтЬ йеггчат!че): [Ея[ < — (6 — а) . ь 2880 (6.3.11) 1(т) = / 1(х)йх = ~ [',т(х)бх. П «е арр!у ЬЬе гесгапб!е ти1е Го ежЬ яиЫпгегча) [хь их,), чте оЬьшп ьбе сатрозИе тссгапд1е то1е и 1В = 1тис()') = Е'и((в -~) (6.3,12) Сошров(ье Роггпп1ав ТЬе аЬоче еггог ЬоиисЬ а11 Ычо!че ро«сета о1 гЬе!епбЬЬ 6-а о1ЬЬе !п!егча1, апс1 ип1евв ЬЫв !епбЬЬ Ь зптаП ьЬе ЬоипсЬ «АП поь, ш бепета1, Ье яшаП.
Но«сечет, !п ргаське, сче «ПП оп1у арр1у ЬЬеяе с!пас!та!иге 1огпш!ав со ви!Пс!епь1у ягааП шгегча!в «ЫсЬ «е оЬьатп Ьу виЬс1Ы1сПиб ьЬе 81чеи !птегча1 [а,б[. ТЬив «"е рвгтЬбоп ьЬе !псегча1 [а, 6[ шьо и виЬппетчаЬ [х, т, х,], с = 1,..., и, «сЬете хо = а апй х„= 6. ТЬеп 6,3 Ж7МЕИСАЫМТЕттг»АТ101»' Еся < — (б — а)А (Сотпров!Се 81шрзоп'в ги1е еггог).
(6.3.20) М» л 2880 ТЬиз СЬе соптрозйе ш»6ро!пС ап»1 !гарево»6 ги!св аге ЬоСЬ зесопт( огт(ег, тчЬегеав СЬе сошрозйе йшряоп'в ги1е В СоигСЬ огт)ег. Весаиве оГ Ив ге1айче1у ЫАЬ ассигасу ап»1 вппр1кЬу, СЬе сотпровйе Б!шряоп'з ги!е !з ап о»Сея-азсср шеСЬой Бирр!ешепСагу 0(всизз(оп апт( йе(етепсев: 6.3 А ййси1су тч1СЬ »Сиат!ге»иге ги1ев, ая тче11 ав тч!СЬ оСЬег пишейса1 шеСЬобя СЬаС Яте Ьаче »1!зсиввет( еаг!!ег. 1в сЬаС зоше сЬоке о( СЬе зьеР Я!зев, А н шивт Ье шаг)е. 1! СЬс пшпейса! !пСе8гат!оп всЬешев итеге Со Ье ивет! ав 6евсПЬе6 ргеч!оив1у, СЬе изет «тои1»1 Ье ге»Си!гет( Со врес!Гу А а рпоН.
!и ргасС1се, 1»18Ь»1иа1йу »Сиа»(гатиге вой»таге чт111 ешр1оу вопле аитошатгс адартгче зсЬепте СЬат тч!11 чагу СЬе втер в1зе т!ереп»11»»8 оп евьппатев о! СЬе еггог ойа1пе»1 йийп8 СЬе сотпритат1оп. ТЬе изет я!11 Ье гет!и!ге»1 Со зрея!Гу ап ассертаЫе Со!егапсе !ог СЬе еггог, ап»1 СЬе рго8гаш тч!11 аиьоша11са!1у вресйу СЬе вСер вйе вз Ь 1в согприйп8. ТЬе зо1иьюп аС х = б оГ СЬе !шйа1-ча!ие ргоЫепт у'(х) = т'(х), р(о) = О, а < х < б, (6.3.2Ц !з р(б) = ), у(х)т(х.
Непсе 1пге8гаС!оп шау Ье ч1еъе»С вз СЬе "сПътаГ виЪсаве ь о( зоЬ ш8 ап !и!С)а!-ча!ие ргоЫетп ш чтйсЬ СЬе г18ЬС-Ьапт( з!»1е Сз !п»Серепт(епь от Сь Апу от" СЬе шеСЬот)в йясиззе6 1и СЬартег 2 шау Ье арр11е»1 Со (6,3.21), !и рПпйр1е. 1п (аст, »поят оГ СЬове птеСЬо»1в гет)исе Со зоше ттиа»!гитисе ги1е СЬат тче Ьаче д!ясизвед. гог ехашр1е, Еи1ег'в шеСЬод Сз СЬе соптронте гестап81е ги1е, СЬе весоптС-огт(ег Нип8е.Киььа шеС!»о6 Сз »Ье соляров(Се сгарезор3 ги1е, апт! СЬе 1оигСЬ-огт!ег Нип8е-Кит!а шетбот( !з СЬе сошрояйе 81шрвоп'з ги!е (вес Ехегс!ве 6.3.7).
ТЬе ЬСетчтоп-Сигея !огпш1ав, тпепВопе6 1п СЬе Сехс ая Ьеш8 6еПчед Ьу СпСе8гаС1п8 ап 1пСегро!а»1п8 ро1употпта1 от" т!е8гее и, сап Ье чтгпСеп !п СЬе !опп (6.3.22) тчЬеге СЬе х, аге етьиа11у ярясе»1 ро!птв 1п СЬе 1птегча1 (а, б], ит!СЬ хо = а, х„= б; 81шрзоп'в ги1е 1з СЬе сазе и = 2.
рог тт < 7, СЬе соейиепьв а» аге аП роюйче, Ьит Ье8!пп!п8 ит!СЬ и = 8 сегташ соейс1епгв тч!11 Ье пе8айче; СЫв Ьав а т1е!есейоив еС(есС оп гоип»1ш8 еггог вшсе сапсе1!аьюпя й»1! оссиг. ТЬе бСечттоп-Сотен !огпш!ая а!во Ьаче СЬе ипяат!зГастогу СЬеогеС!са1 ргорегту СЬат ав и эо, сопчти8епсе Со СЬе !пте8га1 и!11 пот песевваП!у оссиг, ечеп !ог тпйп!те!у ЖйиспбаЫе !ипсг! опя. ТЬн гергсннитаьнтп (6.3.22) ргоч!Йъ ыютЬег нрргонг!т Со СЬе 6ейчайоп оГ трни1га»иго йппи!ан 11и птттЛоИ от'ттттт!тзтттттттттт( »»ттрн»»инва Амнцпн 6гмт !Ьат.
Сбс х, агн хтичт, !Г тчс ни)» 1о т!»ттттт~!ти !1н от мо тЬ»т. Ннт бтпни!а !н 200 СНАРТЕН 6 Б ТНВНЕ МОНЕ ТНА?гг РЕ?чЕТН ОЕггННН?4СЕБ? ехас! Еог ро!упошй1я оЕ ая ЫВЬ а г)ебгее яя роясАЫе, !Ьеп ш рагс!ойдо Н шия! Ье ехас! Еог 1, х, хз,..., х, гчЬеге т 1я !о Ье ая 1агбе ая розе!Ые. ТЫя шеапя 1Ьа! гче пшз! Ьаче п агхг =,, д =0,1,...,т, (6.3.23) у+1 ччЬеге 1Ье П6Ь1-Ьапг1 з1г)ея оЕ гЬезе ге1ас!оиз аге ЕЬе ехасг Епгебга!я оЕ гЬе рогчегз оЕ х, ТЬе ге1а!юпз (6.3.23) сопя!Ии!е а яуз!еш оЕ 1!пеаг ес!иаг!опя Еог ЕЬе пп1сгюччп соейсгеп!з оп 11 и = и, !Ьеи !Ье соейс1епг шагг!х 1з гЬе г?ашЕегшопг1е гиа!Пх дйсизяед ш Бес!!оп 2.3.
1! 1я попзшби)аг Н гЬе х; яге зП г)!з!шсг, апг1 Ьепсе !Ье сг, аге ип!г1ие1у г(е!егш!пег) Еог т = и. 11 гЬе х, аге егЕиа11у зрасег1, 1Ьеп 1Ыз арргоасЬ аба!и 6!чея сЬе Нечг!ои-Со!ея Еогпш1яз. Ыогч азиппе ГЬа! гче г)о по! аресту !Ье рошся хг ш аг!чапсе Ьи! сопяйег гЬепг !о Ье ип1сиогчия ш 1Ье ге1ас1оия (6.3.23). ТЬеп !Е т =. 2п + 1, (6.3.23) (з а зузсеги оЕ 2п+ 2 егЕиаг!опя Еи !Ье 2п+ 2 ип)гпгичиз ас,а„...,в аид хо,хг,...,х„, ТЬе яо1иг1ои оЕ гЬезе ециас!опя Еог !Ье а~ апгЕ х, 61че гЬе Саиявгап диайт!иге Еоггии1ая. гог ехашр1е, 1п 1Ье сазе и = 1 оп ГЬе !и!егча! [а, Ь[ = [ — 1, 1', гЬе Еогиш1а к / У(х)с(х =' Е ( — — ) + Е ( — ) .
1п 6епега1, СЬе аЬяс!звяз х, оЕ гЬезе гЕпаг)гагиге Еогши!аз аге гоося оЕ сегга!и огЯЬобопа! ро!упоииа)з, Наияшап гЕпаг)гасгие ги1ез аге рори!аг Ьесаияе оЕ !Ье1г ЬщЬ-огг(ег асспгасу, апг) !Ье гчеидЬ!в аге аЬчауя |гоп-пебас!че. Же гешагЬег( 1и 1Ье сех1 !Ьа! 3!тряси'я ги!е сап Ье ие че6 ая а Виеаг сошЫпаг!оп оЕ 1Ье сгарезо16 апг1 шйро1пг ги)ея. Ву гайп6 яшгаЫе 11иеаг сошЬ!пас!опя оЕ ГЬе Ггарезов1 гп!е Еог гЬЕЕегепс врастя Ь, гче сап а)яо 6еггче Ы6Ьег-огг)ег гЕиас(гасиге (опии)аз. ТЫя !я 1гпоччп ая Нотибсгд жзедтаиои апс$ !з а зрес!а1 сазе оЕ К!сЬагг!зоп ехггаро!аг!оп д!ясиззег! еаг!1ег. ТЬе Ьаяй Еог 1Ье йейча!юп оЕ ВошЬег6 !и!ебгаг1оп Ы !Ьа! !Ье ггарезой арргох1шаг!оп сап Ье зЬ0%'п !о за!1з?у Т(Ь) = Е(г)+Сзйз 1-СзЬ" + .+Сз„,52™+0(Ьз'"+з) (6.3.24) гчЬеге !Ье Сг г)ерепг! оп Е аиг) !Ье ш!егча! Ьи! аге !п4ерепйеп! оЕ Ь.
ТЬе ехрапя1оп (6.3.24) Ьо14я ргочйег1 гЬас Е Ьая 2т -я 2 г!ег!ча11чея. Иочг 6ейпе а печг арргох!шаг!оп го ГЬе !псебга! Ьу Тг(Ь) = 5 ~4Т и — Т(Ь)~ . (6.3.25) ТЬе спейс!еп1з оЕ !Ыя!1пеяг сошйпаз!ои аге сЬояеп зо !Ьа! чгЬеп !Ье еггог 1и (6.3.25) гя сошргггег) пя!и6 (6.3.24), сЬе соейс!еп! оЕ гЬе Ьз гегги !я сего. ТЬиз Т (1) Е(Е) ! СВ)14 ! ! 0(1„2ч~-~-2) 202 СНАРТЕВ 6 1о ТНЕВЕ МОВЕ ТНАЬг РНЧгТЕ П1ГГЕВЕХСЕБ2 6пй тЬе астпа1 Ь пеейей, ш тЬе саве о1 ап ег!па! впЬй!ч!в!оп, !о асЫече ап етгог а1 1езз 1Ьап 1О е в!1Ь тЬе сашроз!те тгареко1й пйе. Ро тЬе наше 1ог г(х) = е 6.3.6.
11епче !Ье 1опг-ро!пт цпайгатыте 1огши1а Ьазей оп !птегро!ат!оп о1 гЬе ш!еагапй Ьу а спЬгс ро1упош!а! а! спала!!у зрасей роуз. (Нин: ТЫн1с. ТЬе са!сп!айоп сап Ье зппр1!6ей зошегчЬзс.) 6.3.7. ЯЬочг тЬа! Еп!ег'з шетЬой арр1!ей со тЬе !ппйа! ча1гге ртоЫеш (6.3.2!) Ь тЬе сошроз!те тес!нп31с гп1е, тЬа! 1Ье весопй-огйег Вппне-Каста шетЬог1 !з тЬе сошропЬе !терезе!й гп!е, апй тЬат тЬе 1опгтЬ-огйег Впп3е-Китса тпетЬой !з тЬе сошроз!!е Я!шрзоп ти1е, 6.4 ТЬЕ В16СГЕФЕ РГОЫЕПЬ Ю'ВОПД ЯР11ПЕВ Ч'е погч гезпгп !о 1Ье от!6!па! ртоЫеш (6Л.1), (6.1.2) о1 !Ыз сЬар1ег: 1ог 1Ье !тчо-ро!п! Ьоппйату-ча1пе ргоЫегп ез(х)+ д(х)в(х) = У(х), 0 < х < 1., (6.4.1) ч(0) = ч(1) = О, (6.4.2) не айзЬ 1о йпй ап арргон!ша1е зо!п1юп ор !Ье Готш и(х) = ~ с ф (х), 1=г (6.4.3) гчЬеге ф„ ..., ф„ аге 6!чеп (ппс!!опз.
Со11осаз!оп ВесаБ тгош Бес!!оп 0.1 1Ьа1 1Ье со!!оса!!оп пге1Ьот1 Еог (6.4.1) гег!шгез зо!ч!п6 1Ье 1!пеаг зувзеш о1 ет!па1!опз Ас = 6, (6.4.4) гчЬеге 1Ье е!ешепгз о! 1Ье ша1Пх А зге 0 = ф7(* ) + ч( )фу( .) ',ф = 1, " ш (6.4.5) с !з !Ье чесСог о1 ппЬпомп соешсюпзз ст,...,с„, 6 !в 1Ье чесгог о1 ча!пы г (хт),..., г (х„), апй хг,..., х аге Ьйчеп ро1птз ш !Ье 1птегча! (О, !). 1п Бес- 1!оп 6.1, че сопзгйегет1 1Ье сЬогсе о!1Ье Ьав!з !паст)опз ф аз е11Ьег ро!упоппа1з ог 1П6опогпетг!с Ьшст!опз апй затч !ЬаЬ 1п 6епега1, тЬе сое16с!епт шатпх А ааз йепзе тЬа1 !з, Ь Ьай (ечг сего е1ешептз Ьг соп!таз! !о !Ьт тгиВабопн! сое!Ьс!епг ша!Пх !Ьа1, гчни оЬ!Ыша<! 'ш СЬноп т 3 пиша г!и 6ша й!1еттш ~ 6 4 ТНЕ Р!$СКЕТЕ РВОВ1 ЕМ (<$1)С<С $РЛ1ЖЕ$ 203 фч(х<) = фг(х<) = О, )! — Я > 1.
(6.4.6) ТЬ!я, !п сигп, <ч1П Ье Сгие 11 <ге сап сЬоове ф, висЬ СЬас !С чап!зйев 1йепскайу оигвЫе СЬе гпгегча! (х; 2, х«.2], аш1 11 фа (Ха-2) = фа(ха-2) = фа (Ха<2) = ф<(ха«2) О. (6.4.7) В-Брйпев Мох гесай СЬаг а сиЫс вр1ше <чвв <Сейпед Ьу СЬе сопййопв (6,2,8) ап<1 (6.2.9). ТЬеяе сопйСС!опя, Сойегйег <ч!СЬ а вресйсайоп о1 СЬе йшсС1оп ча1иея аг СЬе пойе ро!псв х,„...,х, Ьйче 4п — 6 ге1айопв со <1евегпипе СЬе 4и — 4 ип1<по<чп соейс!епвв СЬаС йейпе Сйе сиЬ!с яр1ше. 1п йесйоп 6.2 аче изей Сйе злЫййопа1 Саво сепг!!С!опв (6.2.13), вЫсЬ <1егегпипе а пагпга! сиЬ<с врйпе; ип1огшпаге1у, СЫз пагига1 сиЫс врйпе саппоС ваС!з(у СЬе сои<1!С!оп (6.4.6) оп1езв й !я !<!епг!сайу вего.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
