Golub, Ortega - Scientific Computing and Differential Equations (523148), страница 32
Текст из файла (страница 32)
все ОС!еда апт1 Изе!иЬо1с)С [1970) аптС Е!еишв ап6 БсЬиаЬе! [1983), 1и ратС!си1ат, СЬеяе геГегепсев сопсаш чапоиз тЕ!всгеСе Гопив оГ Ь)еъсоп'в тпейют) ~чЛеге СЬе ЛасоЫап тпатпх !з арргох!шагетЕ 1п вотие ГаяЬтоп. Сешаш оГ СЬезе арртох!шаС!сия 1еат1 Со патига1 Вепегайкасюпв оГ СЬе весапт шеСЬотЕ Со вувтеитв оГ етСиаС!опв, ялт! оСЬегв Втче иЬат аге !Спотчи ав диал-№вттоп шеСЬотЬ, ыЫсЬ ате ашопВ СЬе шовС ргопив- тпВ тттеСЬотЕв Гог поп1шеаг вуятешв. Рог а геч!есч оЕ С!пав!-Хем Сои птеСЬот)я. яее я1во Пепи!я аптЕ Мог4 [1977). Ап а!Стает!че а!Сетттат!че Со вушЬоВс СЕЬГегеттт!аС!оп от арргоютттат!отт оГ СЬе рагтта! СЕепчат)чев !и СЬе ЛасоЫап тпатпх Ьу йште т)!ЕГегепсез !в аиСотайс йДетеиСтаСтотя Бее Ст!етчатй [1989[ Сот а геч!есч аптЕ От!еиапЬ [1990[ Гог арр!!сат!оп Со Ь)ест!оп'я шеСЬотЕ.
Мапу вувсешв оГ етСиаС!оив аггее !п СЬе аССептрС Со ииппшяе [ог швхипгве) а Еипсс!оп д оЕ и чапаЫев. Егош СЬе са1си1ив чте Етиочт СЬат !Е д !в сопт!пиоив1у йКегепСиЫе, СЬеп а песеввагу спит!!С!оп 1ог а 1оса1 тшпипшп 1я СЬаС СЬе Всат!!епС чесгог чашяЬев; 5.3 Б г'БТЕМБ Ог ЖОХй1)к(ЕАК ЕкзИАТ10ЕБ ТЬпя Ьу во!ч!и5 СЫв вуягеик о( есСкгаг!опв, опе оЬСа!пя а рова!Ые 1оса! ппп!ш1зег о1 д, апс1 1п шапу в1СпаС!опв Ь кчП! Ье )аювпк СЬвС СЫя чесСог пшвС шйеей ппшппве д. А!Сегпаг!че!у, П кче аге 3!чеи ап агЬССгагу муз!его оГ еггпаС1опв );(х) = О, с = 1,....
и, чче сап сопчегг СЬе во!пйоп ог" СЫв вувгеш Со а ипппшваС1оп ргоЫепк Ьу йейп!пх а Ькпсг!оп С1еаг1у, д Са1гев оп а пйшпшш ча1пе о! зего оп!у кчЬеп аП ук(х) вге мего, ТЫв сопчегвюп, Ьокчечег, !в пвпаПу пог гесошпкепйей !ог оЬСа!и!пд а пшпег1са! во1пгюп о( СЬе вувгеш в!псе СЬе П1-сопй!С!оп!пх оГ СЬе ргоЫеш клП Ье шсгевяей. 1п икапу ргоЫешв СЬе еггпаг!опв аге со Ъе во1чей (ог чвг!опв ча1иев о1 опе ог пгоге рагашеСегя. Бпррове !Беге Св а я!и31е рагапкегег ск апй кче ччг!Се СЬе вувгегп оЕ еггпаг!опз яв (5,3.33) Р(х;а) = О, Аввшпе СЬаС кче тч!яЬ во1пг!опя хе,,хч Гог чв1пев ае < ак « кк,ч, ччЬеге гкв соггевропйз Со а Сг!ч!а1, ог аг !еавг ап еазу, ргоЫеш; Гог ехагпр1е, СЬе есгиаг!опв 1ог ас пшу Ье Ппеаг.
!1 хе сап Ье сошрпгей апй !! !ккг — ое~ !в впкаП, СЬеп кче Ьоре СЬаС хе гв вцшс!епС!у с1ове Со х", во СЬаС хс !я а вийаЫе згагС!пд арргохппагюп 1ог СЬе есгпайоп Р(х; аг) = О. Сои!!пкк!п5 1и СЫв кчау, кче пве еасЬ ргеч1опв яо1пгюп ав а вгвгг!гкх арргохппагюп 1ог СЬе пехг ргоЫеш. ТЫв !з саПей СЬе сепг!пиагкоп теСЬой. 11 СЬе ее!па!!опв Со Ье яо1чег1 йо поС сопгаш а рагашеСег, чче сап аЬчаув шггойисе опе агг!Пс!аПу. Рог ехапкр!е, 1ег У(х) = О Ье СЬе зувгеш апй 1ег хе Ье ош Ьеяс арргохппасюп со сЬе во1пйоп (Ьпг поС апой епоащЬ 1ог сЬе Хекчгоп ггегагюп Со сопчегБе). тейпе а иекч вег оК еггпаС1опя йерепй!иБ оп а рагапкегег гк Ьу Р(х;ск) = Р(х) + (гк — 1)Г(х ) = О, 0 < а < 1.
(5.3.34) ТЬеп Р(х; О) = Р(х) — Р(хе) = О, 1ог кчЫСЬ хе !в а во1пгюп, аий Р(х; 1) = Р(х) = О, кчЬгсЬ аге СЬе егСпаг!оив Со Ье во1чес1. Непсе, кче ргосеей вя 1и СЬе ргелопв рвгаБгарЬ (ог рагагпегегв 0 = ае < гкг « агч = 1. Т1ге сопйппайоп шеСЬой 1в с1ове1у ге1агей Со Вач!йепЬо Ъ шсСЬой. Сопвгйег (5.3.33) апй аявшпе сЬаС !ог еас1г а Е (О, 1] СЬе ее!па!!оп йейиев а во!пйоп х(о) СЬаг 1я сопС1ппопз1у й!Кегепг!аЫе !п гк. ТЬеп !1 кче й1КегепС!аге Р(х(а)) -г (а — 1)Р(х ) = 0 клг!к гемрееС со ск, кче оЬСа!п Ьу СЬе сЬаш гп1е Р (х(кк))х'(кк)+ Р!хе) = О. СИАРТЕЯ 5 ЬЕГЕ ЕВ КЕАЬЬУ?ъ!О ъЬЕХЕАК 176 ог, аввиш!и3 СЬаС СЬе йасоЫап гпаСпх Р1(х(а)) 1в попа!пЗи!аг, х'(а) = -[Р'(х(сг))] Р(х ), ъч!СЬ СЬе !п(С!а) сопШС1оп х(0) = хо. ТЬе во!и!!оп х(а) оЕ СЬ13 ш!С!а1-ча1ие ргоЫегп ас а = 1 ъч!11, ъче Ьоре, Ье СЬе йемгей зо1и11оп оЕ СЬе ог18(па! вуягеъи оЕ е9иаС!оив Р(х) = О.
1п ргасСке ъче чй1! Ьаче Со во1че СЬе 11НегепСга! ес(иа- С!оив шппепса!1у, апй ъче сап, 1и рг!пс1р1е, ияе апу оЕ СЬе шеСЬойв оЕ СЬарСег 2. А!СЬоиЗЫЭач(йепЬо'в гпеСЬой апй СЬе сопС!пиаС!ои шеСЬой аге а!!гас!(ъе рова!ЬШС)ез, СЬе1г ге!ШЬШсу ш ргасс!се Ьвв Ьееп 1евв СЬап йев!гей. 1п рагС1си1аг, И 1в ровмЫе СЬаС СЬе 3асоЬ(ап шаСпх вй11 Ьесогпе я)и3и1аг Еог мнпе х(сг) ъч!СЬ и С 1, ог ечеи СЬаС СЬе яо1иС1оп сигче 1Све1Е в Ш Ыоъч ир ргепъаСиге!у.
Рог а гелеъч оЕ розе(Ые ъчауз оЕ очегсоиии8 вопге оЕ СЬеве й(Шеи(С)ев, вее АИЗоъчег апй Оеог3 [1990]. ТЬе ргооЕ СЬаС СЬе вувгегп (5.3.21) Ьаз а ипа2ие во1иС(оп ипйег СЬе сопШСюпв (5.3.31) ог (5.3.32) сап Ье Еошн1, Еог ехапгр1е, 1п ОССе5а апй ЕСЬе1пЬа1йС [1970, Бес(юп 4.4]. ЕХЕЕСС!5Е5 5.3 5.3.1. ЯЬоъч ЗгарЫсв11у СЬаС СЬе вувгеги оЕ еъСивС!опв хз -2 хз = 1, хъ — хз = 0 Ьав ргес!зе1у сзю зо!исюов. 5.3.2. ЯЬоъч СЬаС (5.3.5) гейисев Со (5.3.4) ъчЬеп Р !в оЕ СЬе Сопи (5.3.3) апй В = А '.
5.3.3. Сошриге СЬе ЛасоЬ!ап пъвгпх С~(х) Еог Х1 "! Х1Х2ХЗ .!. Хз 2 з ъ (Х) = Х1Х2 ! Х2Х3 з 5.3.4. и с(х) = х — ВГ(х), вьоъч сьас с'(х) = е — ВР'(х) апй сопс!ийе сьвс (5.3.9) апй (5.3.10) Ео91юг Сго1п (5.3.8). 5.3.5. Рог СЬе Еипсг!опв оЕ Ехегс1ве 5.3.1, соп1ризе СЬе СапЗепС р!апев ас хъ = 2, Х2 — 2 5.3.6. С!че сие 5!епСоп !сегайоп Еог сЬе ециагюпв оЕЕхегс!зе 5,3.1. ЕЪг ХЬвг ро1пгз х Ь СЬе ЛасоЬ!вп пи!их попв!пви!аг? 5.3.7. СС22!Се а ргоягаш Еог Веъчсоп'з пъеСЬой со зо1че и еииаС!опв !и и иоЬпоппв. С)ве Смвз!ап е11ш!памоп ъч1СЬ рвгС!31 р!чоМп3 Со во1че СЬе!!пеаг еииаС!опв.
5.3.8. 1( Р(ъ) = Ач х н(ч) еог воп1е шасг!х А, чег1еу сьас Г'(ч) = А — н'(ч). Арр!у СЬЬ Са о1пмп!ив Йг,1асоЫап та!пеев изей !и (5.3.9) юн! (5.3.10). СЬарСег 6 1я Тпеге Моге ТЬап Р1п1$е РНГегепсеи? 6.1 1пСгооисйоп Фо Рго)ест!оп МеСССосЬ 1п СЬе ргечюпв сЬаргегя яче Ьаче вяпб!ес! ш ногае г1еСЫ! СЬе аррйсайоп о! йпйе Й!йегепсе шеСЬойв Со СЬе арргох1шасе во1п11оп о1 сййегепС!а) есСпаС!опв. 1п СЫя сЬаргег ие яг!!1 сопвЫег апоСЬег арргоасЬ ячЫсЬ Ьав яечега! чаг!апсв )сг1овп Ьу япс!с палаев вв СЬе йшье е1егоепС пгеСЬос(, Са1егЫп'в теСЬос(, апй СЬе Вау!е!6Ь-!С!Ся теСЬог!. ТЬе ппдег!у!пй Фете о! а11 СЬеве теСЬодв !в СЬаС опе аеегорся Со арргохш1аСе сЬе во1пйоп о! СЬе с(!Кегепс!а! ее!пас!оп Ьу а йпйе !!пеаг сотЫпаС!оп ог' (спогчп Гппсг!опя.
ТЬеве !гпоъп 6шсС!опя, пяпайу са1!еб Фе Ьаягя,(пас!сопя, Ьаче СЬе сошпюп ргорегву СЬаС СЬеу аге ге1айче1у вппр1е: ро!упогша!в, Спбопогоесг!с йспсС!опв, апс1, товяС !гпроггап11у, вр11пе йтсгюпя, яЫсЬ и!!1 Ье ввпс3!ес! !и СЬе Го!!очйпб весвюп. СопсерСпа1!у, чге гебагг( СЬе во1пя!оп ая 1у1пб !и воте арргорйте (!пйп!Се-4!тепе!опа!) йшсйоп ярасе, апг( гче аеешрС Со оЬСып ап арргох!пгаге яо1пйоп СЬаС йев!п СЬе йп!Се-6!шепа!опа! впЬврасе СЬаС !в г!евепшпег! Ьу СЬе Ьяа!я йтсС!опв. ТЬе ярго!есгюп' о( СЬе яо!псюп оп!о СЬе йп!Се-О!гпепв!она! впЬврасе и СЬе арргохнпасе яо!паол. %е я 111!11пясгасе СЬеве бепега) Ыеав ь !Ф СЬе 1шеаг Счго-ро!пг Ьоппг!агуяа!ое ргоЫего ч" (х) + о(х)ч = Дх), О < х < 1, (6.1.1) гч!СЬ (6.1.2) ь(О) = О, ч(1) = О, гчйеге, !ог внпр1!с!Су, я е Ьаче Сайеп СЬе 1псегча! Со Ье (О, 1) влс1 СЬе Ьоппдагу сонг!11!опя т ье яего (яее ехегс!вев 3.1.! апс1 6.1.6).
яиррояс сЬаС, гча 1оо!с рог ап арргохш1агс. яо!пС!оп о! (6.1.1), (6.1.2) о! Фе 180 СНАРТЕН 6 Ы ТНЕВЕ Л40ЯЕ ТНАН Е1ззТТЕ ШГГЕВЕМСЕЯ? 1огш и(х) = ~~з с фз(х), з=з в'Ьеге 1Ье Ьав!в йшс11опв фз ва11язу ГЬе Ьоппйагу сопЖюпв: (6.1.3) ф,(0) = ф;(1) = О, ф = 1,..., и. (6.1.4) Н (6.1.4) Ьо1з!в, 1Ьеп ГЬе арргох)ша$е во1пг!оп и 61чеп Ьу (6.1.3) ва1звйев !Ье Ьоппг!агу сопз!11!сов.
А с1аяв1са! ехашр1е оГ а яез оГ Ъвв1в йзпсз!опв 4Ьаг яа!в(у (6.1.4) зв ф;(т) = вшухх, ф =1з..,,и, (6.1.5) АпогЬег ехашр1е !в 1Ье яег о! ро1упоппа)в фз(х) = ~(! — х), ф =1,..., (6.1.6) 1п 1Ье !азгег саяе гЬе арргохппазе во!пс!оп (6.1.3) 1в о? 1Ье 1опп и(х) = х(1 — х)(сз + сях + + с„х" з), ччЬзсЬ зя а ро!упоппа1 о! з!ебгее и+1 зч1ГЬ зЬе ргорег!у гЬаг й зашвЬев аФ 0 апз1 1. Опг ша1п ехвшр1е о? а вес оГ Ьав1в йзпсз!опв, Ьозчечег, !в вр11пе йзпсз1опя, зчЫсЬ, вв гпепйопег1 ргечюпв1у, аз!6 Ье вгпзйед зп 1Ье 1о11озч!п6 вес!!оп. 01чеп а вег о1 Ьавзв 6шс11опв, азе пеез! !о врес1зу ш зчЬаз вепяе (6.1.3) 1в зо Ье ап арргохзгпа1е во!пзюп; !Ьаг и, ччЬаз и ГЬе сп!езйоп Гог з)е!егш(п1зз6 1Ье сое!йс1епсв св 1п ГЬе йпеаг сопзЬзпа11оп? ТЬеге аге вечега1 рова! Ые арргоасЬев, апз! зче ай! ойвспвв Ьеге оп!у гзчо, ЬозЬ о1 зчЫсЬ аге бепегайу арр11саЫе апз! жЫе1у овей.
Со!!опав!оп ТЬе йгвг сг1зег1оп зв ГЬа! а! сойосайои. Ьес хз,..., х„Ье и (поз песеввап1у еопа11у врасез!) 6г16 ро1псв !п ГЬе !пвегча( ]0,1]. 'зазе ГЬеп гезрззге зЬаз зЬе арргохппа!е во1пгюп яаГЬ1у 1Ье 61йегепг!а1 егзпасюп аг Мзеве и рошап ТЬпв 1ог гЬе ез!паз!оп (6.1.Ц апс1 сйе арргохппаг1оп (6.1.3) зче гез1п те зЬаз ,4Я /" зз — ~' с;фз(х) ~ +д(хз) ~~з озфз(хз) =,((хз), з = 1,..., и, (6.1.7) ,=з з=з ап6 ае яажппе, оХ сопгве, гЬас зЬе Ьвя1в йзпс!1опв аге зхч!се Ййегепс(аЫе. 11 зче сапу оп! 1Ье гййегепс)агюп зп (6.1,7) апй со!!есз сое(йс!еззсв о( ЗЬе с, зче Ьаче сз(ф!(хз) + ц(х )фз(хг)] = У(х), з = 1,..., и, (61 М) з=з 6.1 Е»ьЕТЕЕОВЕ»СТЕОЕ»' ТО РВОЗЕСТЕОЕ»' МЕТНОР$ 161 об ьв ф,"(х,) + д(х»)фв(х»), (6.1.9) ап»1 !Ьеп во!че !Ье вувгеш оЕ!шеаг есрзабопв (6.1.10) Ас = Е, а Ьеге А !в ЕЬе ахи ша!Пл (аб), с = (с„..., с„), ап»1 Е = (Е(х» ),..., Е(х )) %е 6!че а вопр!е ехашр!е. СоовЫег гЬе ргоЬ!еш е" (х) + хгч(х) = хь, 0 < х ( 1, (6,1.11) чч!ГЬ г!»е Ьоцпдагу соп»Е!!!опь (6.1.2), Неге Е(х) = хь а»Ы»Е(х) = хв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
