Golub, Ortega - Scientific Computing and Differential Equations (523148), страница 30
Текст из файла (страница 30)
1п (5.2.28) сче аге авзииип8 сЬаС з ы Ье1<1 Яхезс яо СЬас СЬзв 1в а з)Негепс!а! есспаг!оп Еог з,(х; з) сапвзбегес1 оп1у ав а 6шсс!оп о! х. ТЬе ш!Сзя1 сопйВопв Еог (5.2.28) аге оЬСашес! Ьу з!!ЕЕегепс!аг!п8 сЬове оЕ (5.2,24) чзссЬ гсвресс со з; СЬив (5.2.29) я,(0;в) = О, е,'(О;в) =1, !Е не Ьпезч СЬе ехасС яо1из!оп с(х; з) оЕ (5.2.24). зче сои!6 риг СЬзв шео д„!и (5 2 28) Со оЬсвзп а !спозчп Еипсс!оп о(х, апг) СЬеп (5 2 28), (5 2 29) нзои1з! Ье а !!пеаг зпп!а1-ча!ие ргоЫепз Еог ч,(х; з). Е)реп во!чш8 СЫв !пп!а! ча1ие ргоЫет зче оЬса1п Е'(в) = н,(1; з).
ОЕ соигве, изе с1о пос 1спои сЬе ехасс яоЬиюп оЕ (5.2.24), Ьиз зче во1че СЫв шЬОа1-ча1ие ргоЫезп арргохзпшзе1у Со оЬСаш ча1пев чз =' ч(хП з) ас СЬе 8гс6 роспгв х,. Ъе сап СЬеп иве СЬеве арргоюпзаге ча!иев Со еча1иасе д„из (5.2.28) взн1!п СЫв зчау чзе сап оЬсазп ап арргох!пзасе во!ипоп со (5.2.28) аз СЬе вате 11пзе сге оЬСа!и СЬе арргох!азизе во!пгюп Со (5.2.24). ТЬиз зче зч!11 Ье аЫе Со саггу оис:чезчсоп'я тесЬод, ас !еавс арргохипасе1у, Еог 1(в) = О. %е сои!з! а1во арргоитасе 1Яечзсоп'з теСЬос( Ьу СЬе зесапс ог ге8и1а ЕаЬ5 зззеСЬобя !п зчЫсЬ ои1у ча1иез оЕ Е(з) аге гессзз!гес). Ссзе вЬои1з! санс!ои, Ьозчечег. СЬас СЬе в1юос!п8 зпес1юс1 зв пос а)зчаув ч!аЫе, вв йвсиввес1 ш Бесз!оп 5.1, апд СЬе йп!Се йЕЕегепсе теСЬоз! Со Ье йвсиввед !и 8есс!оп 5.3 зиву Ье рге(егаЫе Еог Съо-ро1пс Ьошк1агу ча1ие ргоЫешз.
5ирр!етепсагу с)(всивв(оп апс! гсеЕегепсев: 5.2 гог а сЬогои8Ь сгеаспзепс оЕ СЬе СЬеогу оЕ 1сегаСЬе шесЬозсв Еог гоозв оЕ езсиас!опз, вее ТгаиЬ [19641, апгс Еог ап ехсе!1епс йвсивв1оп оЕ гоззпйп8 еггог, яее ССЕ!1!с!пвоп (!1963], (1965)). 1зз рагс!си)аг, СЬе ехатр1е оЕ СЬе 111-сопсс!с!опез! ро1упопиа1 о1 Ое8гее 20 !з з)ие Со ССз!Ос!пяоп. гог гоозв оЕ ро!упопйа1я СЬеге вге а пшпЬег оЕ врес1а1иед шесЬобя, висЬ ав Выгвсозч'в зззесЬос! Еог ро!упопиа!в хп1з геа1 соесузс!епсв Ьис сотр1ех гоосз, апс1 Ьа8иегге'я пзесЬой, нЫсЬ Ьаз СЬе ргорегсу оЕ сиЬ!с сопчег8епсе (СЬас !з, ап еггог евзшзаге оЕ СЬе Еогт (5.2.22) Сзо1<!я нПЬ !т* — х,)з оп СЬе г18ЫЬнзнс нн1е).
АЬо, гооСв оЕ ро1упот!а1з аге н!8ззззчз!иея оЕ СЬе соггезроийп8 сошрашон шаспх аш1 гап !и о!зсашез1 Ы рппсзр!с 1>у с1н нн СЬоз1я оЕ ОЬнрпт СНАРТЕЯ 5 Г ГРЕ ГН ЯЕАЕЕУ МОЖЕГЬЕЕАК 164 С5ЕЬеп Со взор сЬе йегас)оп ю а ргоЫепз Гог юЫсЬ сЬеге !в всй1 по дейп)с)че во1иС!оп. ТЬе ивиа) вппр1еяС Сев)в аге ),Г(хз)) < в ог (хс ю — хз! < я, изЬеге я )я вопзе Гйчеп Со1егапсе. ТЬе йгвг сап Ье пив1еад)пй зчЬеп СЬе Еипсгюп Е !я чегу "йаС" пеаг СЬе гаоС, ав зв СЬе саве оГ а пзи1С!р!е гооС, апд СЬе весопд сап Гай ш а чапе!у оГ гдгиагюпв г1ерепгйпй оп СЬе )гегаг1че пзеСЬод. Рог ехашр)е, Гог )з)ечзСоп'в шеСЬод !С саи Ы1 иЬеп сЬе депчаС1че ю чегу )агйе аг СЬе сиггепС йегасе. ТЬеве Сзчо рояв!Ь!1)йея аге г1ерк)ез1 1и СЬе Ео!)озч!пц ййигез х, ЕХЕЯС!5Е$5.2 5.2.1.
П Г Ь а саиСЬиюив1у дйуегепз)аЫе Еиисг!ап, иве СЬе пзеап-ча)ие СЬеагеза (вее АррепдЬС 1) Са вйозч Сйас Н (5.2.3) Ьо1дв сЬеп Г Ьав аг иювС оие гоос 1и СЬе 1изегеа1 (а, 5). 5.2.2. ).ес Е(х) = се. БЬозч сЬас Г'(х) > О Еог ай х Ьис Г доев иос Ьаче ипу йи!се гаазе. 5.2.3. 1,ез Е Ье сзч)се саизпшоив!у д!Кегепз!аЫе апс1 яиррове СЬаз Е'(х ) = О аз а гооС х* оГ Г Ъиз у (х) ~ О!и а ие)5ЬЬагЬаад аГ х". БЬозч СЬаз СЬе !пшз аГ СЬе йегаг1оп Озисз1оп д аГ (5.2.11) ех!язв впд еоиа)я х* вя х х*. 5.2.4. Ьез Е Ье сзч!се сои!!пиаив)у д!Негеиз)аЫе впд варрава СЬаз Е'(х") ~ О М а гааС х* аГ Е. 8Ьозч СЬас СЬе еггаг ге)аз!оп (5.2.22) Ьо!дв Гог Ыепзои'в изеСЬод !и возпе шзегча1 аЬоис х*.
Нтзз Ехраид О = Г(х*) = У(х) -в Г'(х)(х* — х) + ф,Га(Г)(х* — х)з, во!че СЬЬ Гаг х*. апд СЬеп иве (5.2.9). 5.2.5. СаивЫег сйе Еииссюи Е(х) = х — хз хЬЬ гаазе аг О азн) х). а. БЬозч сЬаС Хеизгои'я зиеСЬод зя )оса!)у соичегдеис са еаеЛ оГ СЬе сЬгее гааСв. Ь. Саггу оиС яечегЫ вСерв оГ МепСоп'в зпеСЬод взагг)ид и!СЬ СЬе )п)С!а! ар- ргахЬпаС!оп ха = 2. Г)Ьсивв СЬе газе оЕ сопчегдеисе СЬаз уои оЬвегче !и уоиг сошригед 1сегагев. с. Саггу аиз вечега1 всерв оГ ЪоСЬ СЬе ЪзвесСюи аид весапг пюСЬодя взазс!ид зч!СЬ СЬе зпзегча) (гз, 2). Сошрвге СЬе гасе оГ саичегдепсе оГ СЬе ззвгнзев Ггапз СЬене шез)зоз)я зч)ЗЬ СЬаг оЕ СЬе Хепзаи )гзчазея 6.2 БОИЮТ10Х ОЕ А БГ."чОЕЕ ГСО~чй1ХЕАЯ ЕЯС/АТ10!з! 165 д, Гсесегзпше СЬе вес аГ рошсв Я Гог зчЫсЬ сЬе !!сиз!оп Гсегасев из$!! сопчег5е (ш сЬе аЬвспсе оГ гонпдлп5 епогв) Со СЬе гааз 1 Гог виу всагсш5 врргохГпзас!оп хв Гп Б.
Гза СЬе вазпе Еог сЬе гооСв 0 апд — 1. 5.2.0. Сопвйег СЬс ее!нас!оп х — 2 вши = О. а. БЬои ОгарЫсаду СЬас сЫз езснас!ои Ьав ргесже$у СЬгее гоосв: О, апд опе ш еасЬ оГ СЬе зпсегчаЬ (я/2, 2) апд (-2, -я/2). Ь. ЯЛозч СЬас сЬе ссегасев хзез = 2 вшх,, з = О. 1,..., сопчег5е со сЬе гааз си (зг/2,2) Гог апу ха !и СЫв Спсегчас. с.
Арр!у СЬе ГЕеииоп ссегасзоп со сЫв аз!нас!оп апд аягешасп Еог зчЬас ясагсси5 ча!нев СЬе ГСегасез чд1! сопчсгде Со СЬе гооС си (зг/2, 2). Сопзраге СЬе гаве оЕ соичег5висе оГ сЬе Ьсезвсап Ьегасеы юИЬ сЬаве оГ рагс Ь. 5.2.2. 1ес и Ье а родс!че $псе5ег апд ъ а ровссзче пишЬег. ЯЬоиз СЬас )зсечзсои'в пзесЬод Гог СЬе ее!нас!оп х" — и = 0 зв 1( а хяез = — ~(и — 1)хя -,'- —, Ь = О, $, и ~ я — 1 апд сЬас СЫв Гвен!оп вес!ивисе сопчегдев Гог апу ха > О. $1!заняв СЬе сазе и = 2.
5.2.5. Азсегсаш зчЬесЬег СЬе Го(!овдп5 всасепзепСв аге Сгне ог ГЫве апд ргоче уаиг аввегС!опз; а. Ьес (хя) Ье а вез!пенсе оГ 5$ехсоп ССегасев Гог а сопсшноиз1у д$$ГегеиссаЫе 6шсс$оп 1. 11 Еог вогие з, $1(х,) < 0.01 апд х«.з = хд < 0.01, СЬев х, Ь псСЬсп 0.01 оГа гоос оЕ 1(х) = О. Ь. ТЬе Ьсежсоп Вегасев сопчег5е со СЬе изнцие ва1нйоп оГ х' — 2х+ 1 = 0 Еаг апу ха Ф 1. (15поге ганпд!п5 еггаг.) 5.2.9. СопвЫег сЬе ецнайоп х' — 2х+ 2 = О. ССзЬас Св сЬе ЬеЬач$аг оГ СЬе $$$епсоп Ьегасев Еог чапане геа! всагсзп5 ча!нев? 5 2 10.
Бьои сьас сье хеасоп кегасея соичегдс со сье писзсие воснсюп о!ез"' зхю 2 = 0 Гаг аиу всазз)и5 ча1ие ха. 5.2.11. Аввшпе сЬас 1 св д$$ГегепссаЬГе, сопчех, апд Е'(х) < 0 Гог а1! х. !Г 1(х) = 0 Ьая а воЬЮзоп х*, вЬаиз СЬас х* !я ипксне апд СЬас СЬе Хечзсоп Ьегасев сопчег5е пюпосопсса11у нрхагд со х* !Г хв < х*. ЪСГЬас Ьаррепв $1 ха > х*7 5.2.12. ЯЬозч СЬвС СЬе Гзечзсоп Ьегазез Гог 1(х) = х" сопчег5е Со СЬе во!адан х* = 0 оп1у 1шеагсу иЬЬ ап авуизрсайс сапчег5еисе Гасзог оГ (р — 1)/р.
5.2.13. $чзззчзСазз'я зиеЗЬад сап Ье наяд Еог дезегш!и!п$$ \Ье гессргаса! оГ пшпЬегя хсззззз зОчсдои М иос ачассаше. СНАРТЕРт 5 ЕЕРЕ ЕЯ РгЕАЕ ЕУ Еч'ОЖйЕЕч'ЕАВ. 166 а. 6Ьогч Логе Хе«гоп'я шегЬсд сап Ье арр11ед го гЬе еиизг!оп 1 Е(х) = — — а, х «ОЬоиг из1п6 гбч1в!ои. Ь. С!че ап еииаг1оп Еог гЬе егтог зепи, ез = хя — а ', апд яЬо«гЬаг 1Ье сопчегвепсе 1в ииздгяг1с.
с. 66чесоидпюивопгЬе1и1г1а1арргохипаг!опзогЬясхе а ' аз lг сс. !Е О < а < 1, д!че я еигиегкя! ча!ие о!хе «61сЬ гд1! 6иягяизее соичегдеисе. 5.3 Бу8$еп28 оК Хоп1епеаг Ецпа$1опа чче шепгюпед!п Яесйоп 5.1 1Ьас 1Ье вЬоог!п6 шегЬод арр!!ед го а вузгеш оЕ огобпагу д(йегепг)а1 егЕиас1опя сап 1еаг1 го 1Ье ргоЫегп оЕ во1ч!п6 а вувгеш оЕ поп11пеаг а)6еЬга!с ес!иа1!опв 1п огдег со вирр1у 1Ье ш!вя!п6 1п11! а! сопдР Нопв. Ав чге вЬа!1 вее 1асег, 1Ье аррбсавюп оЕ 1Ье 6пйе ддЕегепсе гпе!Ьод зо поп)!пеаг Ъоипдагу-ча1ие ргоЫешв а)зо 1еадв 1о поп11пеаг вувсепзя оЕ ециазюпя. ТЬеге(оге гче сопя!дег Еп 1Ыв вестон Ьогч 1Ье шевЬодв дзвсиввед!п ЕЬе ргеадоив зесг1оп Еог а з!п6)е есЕиая!оп сап Ье гхвепдед во вувСешв оЕ егрьа11опз.
ТЬе ргоЫегп !з Со оЫып ап арргох1пшве во1«1!оп Ео 1Ье вузвеш оЕ егЕиа!юпв ,Е1(хг,хз,,х„) = О, ! = 1,...,и, (5.3.1) ччЬеге Ег, Ез,..., Е„аге 6!чеп Еипсйопв о(1Ье л чзг!аЫев хп..., х„. чче вЬнП авиа!1у иве чес1ог по!а!!оп апд чгг!Ее (5,3.1) ав (5.3.2) Р(х) = О, «Ьеге, аз ивиа1, х 1Я ГЬе чес1ог «г!!Ь согоРопеп1в хг,...,х„, апд Р !з ЕЬе чесгог Еипссюп чг!1Ь согпропеисв Ег,..., Е„.
ТЬе врес1а! сазе оЕ яо1«1п6 (5,3.1) «Ьеп п = 1 !в )ив! 1Ье ргоЫегп оЕ Йпд!п6 гоп!в оЕ а з!п61е ег1иа11оп !Ьаз «ав сопзгдегед !и 1Ье ргечюив весвюп. Оп ГЬе огЬег Ьапс1, ГЬе зрес!а! сазе !и «Ь!сЬ Г(х) = Ах — Ъ, чгЬеге А!з а 61чеп шасгЬг апд Ъ а Гдчеп чесгог, и ЕЬаг оЕ зо1ч!п6 а вувсегп оЕ 1шеаг епиа1!опв, «ЫсЬ «гав сгеазед Ы СЬарвег 4.
ТЬе ргоЫегп оЕ авсегга!шп6 «Ьеп (5.3.2) Ьав во!Ш1опв, апд Ьогч агапу, 1в 6епега11у чету 61(Оси!6 1п ГЬе ге1ааче!у з!шр1е саве а ю 2, Н ге евву 1о вее 1Ье чапоив риаз!Ы!!1!ея 6еошезг!са1!у, а! 1енвз 1п ргшс)р1е. Рог ехашр1е, 1! чге р!о1 !пвЬе хг, хв р1апе ГЬе ве! оЕроийя Еог жЬкЬ Ег(хг, хз) = О, апс11Ьеп 1Ье вевоЕ ро1п1в Еог «ЫсЬ Ев(хг, хз) = О, гЬе!пгегвес0оп оЕ1Ьезе зеве 1в ргесае1у СЬе яе1 оЕ во!ийопв оЕ (5.3.2). (Неге, апд ЬепгеЕаггЬ, «е аге геягг1с11п6 оиг нгггпгии1 1о оп1у геа! во1иеопз.) Р16ип 5.! 1 !!)иягта!ем н 6 гч ромм)Ыс ювинеопм.
1 н1иг 5.3 БУБТЕ54Б ОР ГчОХ1 |ХЕА$$ Е(г(ГАТ10ГГБ 167 (а) $ио зо1игюпз (Ь) А ишоие зо!иг!оп (с) Бечега1 во!и!!ош Р13иге 5.11: Розе!5!е Бо!игьопв Гог и = 2 гче вьа11 аввише сьас (5.3,2) ьав а во1исюп х' сьас 1в сье опе оГ Спсегевс со из, а1СЬоиБЬ СЬе вувгегп гпау Ьаче ас$с$1$1опа1 во1иС1опз. РГсагг$ ГСегаСюпв 1п шипу вИиаС!опв сЬе вузгеш (5.3.2) Ьвв СЬе Гогш (5.3.3) Р(я) ш Ах+ Н(х) = 0, шЬеге А гв а 51чеп попе!пБи1аг гпагпх апс( Н Св а 51чеп чесгог оГ попНпевг ГгшсССопв. Гп СЬ$з сазе а вогпеиЬаС па!ига! (а!С!СосгБЬ поС песеввап1у цоос$) 1СегаС!че ргосес$иге 1в х'~' = -А 'Н(хс), с' = О, 1,..., (5.3,4) чЬеге СЬе вирегвспрг Сш$1саСев ИегаС1оп пшпЬег, Неге, ав чге11 аз !агег, зе гпевл ьу (5.3.4) сьас ас еась всер оГ сье 1сегас1оп сье Ьпеаг вувсеш оГ ес$иас)опв Ах'+' = — Н(х') !з со Ье во1чсс$ Со оЬСа1п сЬе пехг Кегаге.
ТЬе 1гегаС1оп (5.3.4) 1в 1спогчп вз а ргсаг4 Ыегайоп. ГС пшу Ье сопв1г)егес) а зрес1а1 саве оГ СЬе ехгепяоп оГ СЛе ~ >югс$ шеСЬод оГ СЬе ргеъюив яесгюп Со и ес$изС1опв; СЬСз ачпг!6 Се!ге СЬе Гоггп х'+' = х' — ВР(х'), с = $$, 1,..., (5.3.5) Сог а дЬе и попе!и!Си!аг шагх1х В. 1! Св еазу Со вес (Ехегс$зе 5.3.2) СЬаС (5.3.5) ич!поен Со (5.,'!.4) 1Г Р Ь оГ С)и Гопп (5.3.3) апс! В = А СНАРТЕЕС 5 Е.15'Е 18 КЕАИХ ЕЕОСЕЕ 1КЕАЕС 168 Сопчег8епсе С5тЬеп тг!!С СЬе Ьетагюпв (5.3.5) ог (5.3.4) сопчещеу ТЬе вЬиаССоп Ь ргес!ве1у апа1о8оив Со СЬат Сп СЛе вса!аг саве Ьив сотпрБсавет1 Ьу йе пест( Со мог)т тчЬЬ чесСог-ча1иег1 ЬтпсНопв. СопзЫег СЬе 8епета1 опе-вСер !Сегасюп х'е = СВ(х'), (5,3.6) т = О, 1, ттЬеге тз Св а 8!чеп !Сегасюп ЕипсНоп; Ест ехашр1е, Еог (5.3.5) (5.3.7) тз(х) тв х — ВР(х), С5те в1ий аввшпе СЬаС СЬе во!иНоп х* оЕ Р(х) = 0 ватпйев х* = чз(х*) аист, сопчегве1у, СЬаС 11 х" = с (х*), СЬеп Р(х*) = 0;!С !в с1еаг СЬаС СИв !в СЬе саве Еог (5.3.7) !Е В !в ттопв!п8иСзг.
1п СЬе ргеч!оив весС1оп, СЬе сопчег8спсе СЬеогу гчав Ьввег1 оп !9'(х)) < 1 ш а пе!8ЬЬогЬоо6 оЕ СЬе во1исюп. тот вувсешз оЕ етртаСюив СЬе соггевропт(!п8 гевиЬ тв СЬе Ео!!отч1п8. 1Е ЦС'(х)Ц < 7 < 1, Еог !)х — х*Ц < )У, (5.3.8) йеп йе Нега!ее (5.3.6) сопчег8е !Е,(хв — х"Ц < (1 (ог 1Е Цхв — х Ц <,9 Еог апу Ес).
Неге, ав тп 8есС!оп 4.4, !( Ц с1епоСез а чессот попп ог СЬе соггевропс1- !п8 птаспх попп, апг( тз'(х) 1в СЬе,1асоШап шатт!х (вес Аррепйх 1) оЕ тз ечайаСей аС х. ЪУе вЬа!! поС ргоче СШв сопчег8епсе вСаСешети Ьит оп1у поСе СЬат !С сап Ье гаСЬег евз11у ргочеп аЕСег а ргорег ехтепв1оп оЕ СЬе шеап-ча1ие СЬеогепт Со тт йшепвюпв. 1Е зе арр1у СЬе сг!Сег!оп (5.3.8) Со йе ЬетаС!оп (5.3.5). тче оЬСа1п (вее Кхегс!ве 5.3.4) Ц1 — ВУ'(х)Ц < у < 1 Еог Цх — х*',( < тЗ (5.3.9) апт1, и рагНси!аг, Еог СЬе ЬегаНои (5.3.4), ЦА 'Н'(х)(! < т < 1 Еог Цх — х*Ц < (1. (5.3.10) 1пСшС(че1у, (5.3.10) ваув СЬат СЬе ЬегаСюп (5.3.4) гчШ сопчег8е ргочЫетС СЬаС А СН'(х) тв "вша11" тчЬеп х !в с1ове Со х*. 81тп!1вг!у, СЬе ССегаС1оп (5.3.5) тч!О сопчег8е тЕ В5ч(х) !в с1ове Со СЬе ЫепС!Су, ог, етСи!ча!епС1у, 11 В ' !в с1ове Со гч(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
