Golub, Ortega - Scientific Computing and Differential Equations (523148), страница 33
Текст из файла (страница 33)
%!1Ь ЕЬе Ьаь!ь Еппсг!опь (6.1,5), ч»е Ьаче ф»»(х) = — (Ел) ьшфкх, ф'.(х) = Елсовулх, ю 1Ьа! ЕЬе соеб!с!еп!в (6.1.9) аге а, = — (Ел) яп Елх; + х, в!и Елх». в г ТЬе соеЕЕ»с!еп!в оЕ !Ье г!6И-Ьапб вЫе оЕ гЬе вуьгеш (6.1.10) вге Е(х,) = хь. 1Е ае пве !Ье Ьав!в Еппсг!опв (6.1.6), ЕЬеп ф'(х) = х» ]Š— (2+ 1)х], ф"(х) = Ехг '~]Š— 1 — (2+1)х], ьо ЕЬаг, ЕЬе соеЕЕ»с!еп!в (6.1,9) аге нов ао = Ех» ']Š— 1 — (Е+ 1)х,] + х,'+'(1 — х»). Аба!и, 1Ье согпропеп!в оЕ!Ье г!6И-Ььп»Е вЫе аге хь.
1п ЬоГЬ свеев ЕЬе вувйеш (6.1.10) гь еверу сапа!гас!е»Е опсе сЬе бг!»Е рош!в хг,..., х„ьге врес!бей. Оа!егЫп'в МеВЬо»Е %е тч!1! ге!ага го а 6!вопль!оп оЕ !Ье со!1осабоп ше!Ьоб аЕгег»че сопьЫег ;шогЬег аррговсЬ !о»(егегш!и!п6 ГЬе соешс!епгв сг,..., с„. ТЬгв !в Еспо»чп ав Оа!егЕпп'в шеЕЕ»о»Е ап»1 гв Ьаве»1 оп йЬе сопсерг оЕ огйЬобопа1йу оЕ Еппсг!опь. Неса1! ЕЬав Г»чо чесгогв Е ап»Е 6 аге огГЬобопа! Н ГЬе !ппег ргск1пс! ва!!вбев п (Е, 6) =— Ехб = ~' Еуду = 0.
г=! (6.1.12) »ч»»» впрроье !Ьаг гЬе сошропеп!в оЕ !Ье чес!огв Е апд 6 аге !Ье ча!пгь оЕ !»чо !гвн »лопь Е ап»! 9 а! п»ч!иа1!у враге»Е Лг!»! рошгь ш !Ьс !»»!егча! ]О, 1]; гЬас !в, Е = (Е (Е»), Е(2!»),..., Е (г»!»)], ТЬ!ь !в а вуьгеш оЕ и 1!пеаг е»Епаг!ооь 1п гЬе п ппЬпо»чпв сд,...,с„. ТЬе сошрпгаг!опаЕ ргоЬ!еш Ев йгвь Го еча!па!е !Ье соеЕЕ»с!епгв 182 СНАРТЕК 6 И ТНЕКЕ МОНЕ ТНАМ РЕХ1ТЕ ЕНЕсРЕКЕ?4СЕБ? чгЬеге Й = (и+ 1) г 1в СЬе бг!й-ро!гсС врас!пб, апй гйш11аг!у Еог д.
ТЬеп СЬе огСЬобопа1Ку ге!агюп (6.1.12) ю ~' Е(йЛ)д(ЕЬ) = О, Е=г апй С)йв ге1аС!оп гв ппсЬапбей Н ие гаи1С!р1у Ьу Ь: Ь~ Е(26)д(ЕЬ) =О. г=г (6.1.13) Хогг )еС и — сс (ог, егСшча1епС!у, !еС Л -~ О). ТЬеп, взвппппб СЬаС СЬе ЕипсСюпв Е апй д аге !псебгаЫе, СЬе вшп !и (6.1.13) и!11 Сепй Со СЬе шгебга! 1 Д(х)д(х)йх = О. е (6.1,14) т(х) = и"(х) -» д(х)и(х) — Е(х), О < х < 1.
(6.1.15) 1Е и(х) аеге СЬе ехасС во1игюп оЕ (6.1.1), СЬеп СЬе гев!йпа) Ьшсв!оп тчои)й Ье !йепС!са))у вего. ОЬч!опв!у, СЬе гев!йпа) аоп1й СЬеп Ье огС!гобопа! Со ечегу Ьшсйоп, апй, ш рагС!сп!аг, К хоп1й Ье огСЬодопа! Со СЬе вег оЕ Ьвз!в бгпсС!опв. Ноаечег, же сашюС ехресС и(х) Со Ье СЬе еаасС во!псюп Ьесаиве ие гевспсС и(х) со Ье а 1шеаг сошЬ!паС!оп оЕ СЬе Ьав!в ЕппсС1опв. ТЬе Са1егЬ!и сгйегюп !з Со с1юове и(х) во СЬаС Кз гев!йпа! !в огСЬодогш! Со а!! оЕ СЛе Ьаза Еипсв!опв ф»". фи: 1 (и" (х) + у(х)и(х) — )(х))фг(х)йх = О, г = 1,..., и.
о (6.1.16) 1Е чче рпС (6.1.3) шСо (6.1.16) апй шсегсЬапбе СЬе вшпгпаС1оп апй !пгебгавюп, ае оЬСа!и и г гг сг 1 (ф"(х)+д(х)фу(х)7йг(х)йх = / У(х)ф,(х)йх, Е = 1,...,п. а Абып, СЬ!в !з а вузСегп оЕ!шеаг ециайопв оЕ СЬе Еопп (6.1.10) хКЬ г' Е, = / Е(х)ф,(х)йх, г = 1,...,п, (6.1.1 7) 14г!СЬ СЬ!з шойчаС1оп, юе йебпе Счю ЕппсС!опз Е аш1 д Со Ье огС?годопа! оп СЬе Спгегча1 (О, 1] Ы СЬе ге!айоп (6.1.14) Ьо1йю ТЬе гаС!опа1е Еог СЬе СаЕегЬ!и арргоасЬ !в ав ЕоБогчв.
Ее! СЬе тезгйиа1 ЕггпсСЕои Еог и(х) Ье йейпей Ьу 6Л 11<!ТЯООБСТ101<' ТО РЯОЗЕСТЕО><' МЕТНОВБ 183 аид гт а<т =- / (ф"(х) + <7(х)ф (х))ф<(х)дх. 1Г не 1п?ейгасе СЬе йгвс Сегти 1п СЬ>в !исе8га? Ьу рагсв, > г> ф> (х)ф<(х)дх фт (х)ф< (х) ) с ф> (х)ф< (х)дх> ,с с аид поСе СЬаС СЬе йгвС Сегш чашвЬев Ьесаиве ф; 1в кето аС СЬе епд рош?в, >че сап геюпсе а,> ав г> г> а<т = — ~ ф';(х)ф'(х)дх+ / <?(х)ф<(х)ф (х)дх. в о (6.1,!8) Т?шв СЬе вувсеш оЕ ес?иас?опв Со во1че Еог СЬе соейс>епсв ст,...
< с„!и Са!егЫп'в шеСЬод 1в Ас = Г, гч?СЬ СЬе е1ешепсв оЕ А 8?чеп Ьу (6.1.18) вис? С?юве оГ Г Ьу (6117). Ап ехвтир1е оГ СЬе еча1иа?юп оЕ СЬе а„оГ (6!18) Ь 1ей Со Ехегс?ве 6.1.5. Сотираг?воп оЕ МеСЬодв %е почв п>а1се вес ега1 сопнпеисв гейаг<Ни8 СЬе йи!Се ЙКегеисе, со!1осайои, апс1 Са1егЫп ше1Ьодв ав аррйед Со (6.1.1). 1п еасЬ саве СЬе сеисга? сотири?айопа1 ргоЫеш ?в Со во!че а вув?еш оГ Ниеаг ес?иасюив.
Еп СЬе йпйе дтйегепсе апс1 со11осайоп тпеСЬосЬ СЬеве!шеаг вувсепю аге с1есегш!пес) Ьу и рн1 рош?в ?и СЬе 1псегча1, а1СЬои8Ь СЬе пшиге оГ СЬе!!иеаг вувсешв ?в с!ш?е д?йегеис> СЬе йшСе д!йегет>се п>еСЬсн? 8!чев ап арргохипайоп Со СЬе во1и?юи оГ СЬе д!Кегеисш1 еср>айоп ас СЬе 8г!д ро!исв, счЬегеав СЬе со11осайоп тпеСЬос1 8!чев СЬе соейс>епвв оГ СЬе гергевепсайоп (6.1.3) оЕ СЬе арртох!ша?е во1и?1оп. >>С>?СЬ СЬе сойосайои (ог Са1егЫи) тпеСЬод, СЬе ча1ие оГ СЬе арргохииаСе во1и?юп ас апу ро!иС х 1и СЬе ?п?егча1 Ь оЬСа!пед Ьу СЬе адй?юиа1 еча1иабоп и и(х) = ~> с.ф.(х). >=1 А?СЬои8Ь СЬе йп1?е д!Кегеисе тпеСЬод те<?шгев по адд!С!опа? ног?с Со оЬСаш СЬе арргохйиаСе во1ис!ои ас СЬе 8гЫ ро?и?в, 1С 1в дейпед ои1у аС СЬе 8гЫ ро>псв, аид оЬСа1шпй ап арргсх1шайоп аС оСЬег ро?псв !и СЬе 1исегча1 песеввйасев ап!и?егро1а?1оп ргосевв.
ТЬе соПоса?юп аис1 Са1ег1с!и шеСЬодн, оп СЬе осЬег Ьаис1, 8?че ап арртохипасе во!ит!оп оп СЬг <чЬо!е ш!ггча!. Ав >че ва>ч ?и СЬар?ег 3, СЬе 1!пеаг мунсеш оГ <н!имбопн оГ Сйе йшсе <ИГ<хепсе ию?йос1 !в еам!?у оЬСаинн? ни<! Ьнн т!н ш>рогсаи!.
ргорегСу (Гог Он; мсгои<1-оп1ег сИГегош'е арргох!ииС!оин ин«! 11и и ) !.?пш >,!н гог!Нсмим. ши>.их >м Сг!<Наноиа?; !!ни, СЫ мо!итлои оГ с?н ?ш< аг нум>л ш г<н!юг< м г<!и!3ю !у !Ьх!< <н>шри! а> ни>, 11н ииш1>< г оГ нйгйинЧЛг <Ни<та! н>им т<мриггн! 1н и>х ргорогсмнн<! 184 СНА РТЕН б 1$ ТНЕНЕ МОНЕ ТНА1Ч Р1Ж1ТЕ Р!ЕЕЕВЕИСЕ$? ХопИпеаг РгоЬ!етпя С!?е еп6 СЫв весС1оп Ьу 1пйсаС1п8 ЬПейу 1юю СЬе со11осаС!оп апт( Оа)егЫп шеСЬот!я сап Ье арр1!ет1 Со поп1!пеьг ргоЬ!ешв.
гог сЬЬ ритрове тче ьт11 сопяЫег СЬе егтиаС1оп ч" = д(ч), е(0) = е(1) = О, (6.1.19) ъЬеге д ы а 81чеп попЬпеаг !ипсг!оп от" а в1п8!е чаг1аЫе. тот СЬе со!1осатюп шеСЬот) аррЬет) Со (6.1.19) гче виЬяСССите СЬе арргохипаге во1иС!оп (6.1.3) аптС ечь)саге аС СЬе 8гЫ ротпгв хт,..., х„вв Ье(оге. ТЫв СЬеп 1еьт)я Со СЬе попИпеаг вувгеш о! егтиаС!опв и / и ,"т,стф"(х,) = д ) с;ф,(х,), т = 1,,п, т=т т=т (6.1.20) !ог СЬе соейс)епгв ст,...с . $иш!аг1у, !от СЬе Оа1егЫп шеСЬот) СЬе тевЫиа! (ипсС!оп (6,135) почт Ье- сешеа ттт(г) = ) с ф"(х) — д ~ ~ стф (х) ~=! Со и ($естюп 3.2).
Рог СЬе со1!осатюп шеСЬос1, СЬе е1ептепгв о! СЬе соейстепС птаСПх аге а1во ечь)иагет) ге1аС1че1у еавНу Ьу (6.1.9), ргочЫет( СЬаС СЬе Ьав!в йпсС1опв ф. аге вшгайу вопр)е. Нотчечет, СЬе соейс1епг шагтгх ь111 пои 8епегв11у Ье й11, ьйсЬ тпеапв поС оп1у СЬаг а1! пт е1ешепгв пеев Со Ье еча!иьгет( ЬиС аЬо СЬат СЬе во!и!!оп Сапе те!11 Ье ргорогС1опа! Со пв. Опе о! СЬе чету !шроггапС ргоретС!ев о( СЬе вр11пе ЬавЬ !ипсС!опв — Со Ье Йясиввет)!п СЬе пехС весгюп — Св СЬаг ф; чч111 Ье Ыепйса11у вето ехсерС ш а виЬштегча1 аЬоиС хо 1п СЬе свеев сопвЫегет( пт $есИоп 6.4, СЫв виЬштегча! чт1)! ехгепй оп1у !гош х, я Со хт+в, ьпт! СЬе соейс1епт гоагпх юй Ье СтССС!адопа!. ТЬеве ваше сотшпептв арр1у Со Оа1егЫп'в птеСЬосЬ СЬе соейс1епС шаттСх чч81 1п 8епета1 Ье (и)).
Ьит СЬе иве о! ап аррторпате вр1ше 6шсйоп Ьав1в ччй а!1осч ив Со гесочет а Сгй1адопа1 шагт(х. Ноюечег, СЬеге 1в почв апоСЬег сопср1!сайоп. ТЬе еча!иайоп о! СЬе пзаСПх соейс1епгв (6.1.18) ьш( е1ешептв оГ СЬе г18ЬС-Ьапт) вЫе (6.1.17) гетто!тев ЫСедтат!оп отег СЬе тчЬо1е 1пгегча1. Оп!у 1! СЬе !ипстюпв д ьпд т' аге чету яппр1е тч!11 опе Ье айе Со еча)иаге СЬеве 1псе8та1в ехр!!с)с!у 1п с!овеф (отш. Ояиа)1у СЬеу пшвС Ье арргох1шатет(, атх! Сйя 1еадв ия Со СЬе Сорк о! шшсейса1!пСедгагюп, тчЫсЬ чче сопяЫет 1п $есС1оп 6.3.
$утпЬоЕс соспритайоп вувгетпв птау а1яо Ье ивед побег сегга!п сйсшпвтапсея. Р!па)!у, опе ат!чьптаде о! СЬе Оа1егЫп шеСЬот) Ь СЬаг 1С а)тчаув у1е16в а вутшпеспс шагпх, ав сап Ье вееп Ьу (6.1.18), тчЬегевв со11осайоп 6оев поС. Мо шеСЬос! Ьвв а с1еаг атСчьпгаде очег СЬе оСЬегя. Рог еасЬ шеСЬот! СЬеге аге ргойешв !от ъйсЬ !С 1я Ьеяг.
ОСчеп а рагС)си1ьг ргойетп, апа1уяев о! СЬе СЬгее шеСЬотЬ арр!1е6 Со СЬе ргойеш гоау Ье песеввагу Со еча1иьсе сЬе!г ге1аС)че е(!ест!чепевяев. 6,1 1ЖТЯОШ1СТ10ЬЕ ТО РКОЛЕСТ1011 МЕТНОРБ 186 во СЬаг СЬе вувгегп оГ егСиаС!опв соггевропг)!пд Со (6.1.16) !в И / н свфд(х) — д ~ с,ф:(х) фг(х)г)х = О, с = 1,...,и. (6.1,21) о=1 Е=С Ав Ье(оге, хе сап !поедгаве СЬе ЙгвС Сепп Ьу рагов со риг (6.1.21) 1п СЬе Еопп н гг с / ф';(х)ф' (х)фх = / д ~ с ф.(х) ф,(х)йх, (6.1.22) о о ггЫСЬ!в абып а попПпеаг вувгеш Гог сс,..., с„. ТЬе шеС1гог)в оГ СЬе ргеЫоив сЬарсег сап Ье арр!!е1, сп рг1пс!р1е, Со арргохппаое во1иСюпв оЕ ЬоСЬ (6.1.20) ап6 (6.1.22).
Бирр)епсеп(агу Е))всивв!оп апс) ЕЕеГегепсев: 6.1 А ге!аоегГ арргоасЬ Со рго)есСюп шеСЬос(н Ы Ьу гпеапв оГ а оаиаСГопо! ртЕпсгрГе. СопвЫег СЬе ргоЫеш М!шпиге 1 ([э'(х),'~ — д(х)(о(х))г — 21(х)о(х))г)х, ЭЕС' Уо (6.1.23) тгЬеге С' !в а веС оГ вийаЫу 6!ГЕегепС!аЫе 6шсС!опв СЬас вапмЬ аг сЬе епс1 ро!пов х = 0 аш1 х = 1. Ву гони!!в !п СЬе са!си1ив оГ хапаС!оы, СЬе во1иВоп оГ (6.1.23) гв а1во СЬе во!игюп оГ СЬе ЙИЕегепг!а! егСиао!оп (6.1.1), ггЫСЬ 1я )гггохп ав СЬе ЕЫсг едиаНоп Гог (6.1.23).
Пшв сее сап во!ое (6.1.1) Ьу во1у!пд (6.1.23), апс1 ее сап аССепсрС Со арргох!Спасе а во!игюп Со (6.1.23) !п а гоаппег апа!обоин Со СЬе СвЛегЫп шеСЬос). ТЫн зз Ьпохп ав СЬе Еау!с!д6-ЛгСг тейос(. Ьег фс,...,ф„Ье а яег оГ Ьан!и Гипс!!опв висЬ СЬаС фс(0) = ф,(1) = О, 1 = 1,..., и. ТЬеп же абнЬ Со пПппшге )г Г ~2 н с,ф',(х)~ — д(х) ~~ ссф;(х)~ — 21(х) ~ с,ф,(х) Их (6,1.24) *=1 *=1 вп и(х) = ~С с,".фг(х) С=С 'в СаЬеп ав ап арргох!пзаге но!ипоп Еог (6.1.23). 1Г хе иве СЬе нагие Ьан1н Гипгпопн Гог СЬе ЕГа!егЕг!и пи.г!ии! арр!их! Со (6.1.1), еш вуП! оЫаш СЬе вани ирргохиннСо но!и!кис А Хоог! геЕогеисе Гог 11и.
!Сау!е!Х!о!!!Св юи! ОаЬ г1гш пи 11ии!н Ы Е! гапд аси! ЬПх (1973). А Хсии! и Е~ пчи о Гог < оПосаВои спос!ии!н !н Лп Ып оС н!. (!988!. очес СЬе соеЕПс!опон сп, .., с„. 1Г с"„.... с'„1в СЬе во!иС1оп оГ СЬе ппшсшваИоп ргоЫегп. СЬеп 186 СНАРТЕВ б ГВ ТНЕВЕ МОВЕ ТНА14 РГЖГТЕ ГГГРРЕВЕ)с(СЕ$? Ап 1псрогсапс с!Оввс!оп !в счЬеп доев сЬе вувсегп оГ 1спеаг ециадопв оЬсыпед Ьу йе гВвсгеС!гаСюп шейос)в оГ й!в вессюп Ьаче а ипа1ие во!ис1оп. ТЫв св бепега!1у еввсег Со авсегса1п сп сЬе свае оГ сЬе Вау!езбЬ-В!св шесЬос1 вспсе СЬе с(иевСюп гес(осев со счЬеп СЬе Ьспсгюпа) (6.1.24) Ьав а ш!п!ппип. Рог ап !пСгодиедоп Со СЬеве еювгепее апс1 ишссиепевв СЬеогепсв ав сче!1 вв СЬе ипрогсапс с(иевс!огс оГ с11всгедваСюп еггог Гог СЬе Са1ег!Вп апд ео!1осас1оп шеСЬодв, вее, Гог ехашр1е, РгепСег (1975) апс1 НаП влд РогвсЫпб (1990].
ЕХЕВС(ба 6.1 6.1.1. а. Рог СЬе Сво-рогпг Ьоипдагу-ча1ие ргоЫеш р"(х) = у(х) + хг, 0 < х < 1, р(0) .= р(1) = О, вгие оиС ехр1к!С!у СЬе вувгеш оГ еииаг!опв (6.1.8) 1ог о = 3, фс (х) = вспдхх, аж1 хг = с/3, с, Г = 1, 2,3. ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
