Golub, Ortega - Scientific Computing and Differential Equations (523148), страница 27
Текст из файла (страница 27)
ТЬе Ьи!Ь о! !Ье гчог?г !я ш ?Ье Гогишйоп о1 ?Ье пегч со1шппь о! 1Ье гес?исег? шагпсеа ВеГегг!иб Го ГЬе !ппег!оор !п Р!биге 4.6, ая ?Ье ИЬ вяабе ГЬе шпег ргог?ис? пята гес!шгев и — )г + 1 гпиЬ6Рйсая1опв апг? и — Ь аг?6?г!опв аиг? ГЬе оРега?1оп ав — и пя гег?ииея и — й + 1 яс?г?!Г!опя апг? ши!1!р!!сая!опв. Я!псе йЬеге аге и — ?г со1шппв яо ирс?а!е а! гЬе йгЬ вгабе, 1Ь?я 6!чев арргох!шаге!у 2(и — й) асЫН!опв апд ши!г!р!1саг!опв, Яшпшшб ?Ыв очег Ы1 и — 1 вгабев, »е оЬга!п СпарФег 5 ЫГе 1я В,еаПу Моп1~пеаг 5Л ХОП11ПЕаГ РГОЫЕПИ аП41 БЬООИПД чн(х) = 3ч(х)+х + 10(ч(х))в, 0< х < 1.
(5.1.2) !ч'!!Ь е!!!гег (5.1.1) ог (5.1.2) гче сап Ьаче апу оЕ гЬе Ьоипйягу сопгй!опя !!ясиввег! 1п Бес!!оп 3.1, ав ъеП вв оГЬегв ъЬ!сЬ аге ЕЬешве!чев попПпеаг; Гог хашр!е, ~ч(0)] + ч'(О) = 1, ч(1) = (ч'(1)". (5.1.3) !'Ьеге аге гас Ьав1с арргоасЬев !о висЬ поп1шеаг ргоЫепчв. Опе Гв го йвсгег1яе ! !в гГ!ГЕегепг!а) ег!иаг!оп вв гчвя г!опе !п СЬар!ег 3 Еог 1шеаг ее!па!!опв! гче иоП ш|н!у гЫя арргоасЬ ш Бес!гоп 5.3. 1п !Ье ргеяеп! вес!!оп чге гчгП сопгПг1ег а он !,Ьой Ьавес1 оп !Ье яо1иг!оп оЕ !п!г!а1-ча!ие ргоЫешв, апг) Еог ГЫя ригрове нч х01 6гв! !геа! ав ап ехашр!е йЬе рго!есгПе ргоЫеш оГ СЬар!ег 2.
'!'Ье Рго!ес411е РгоЫепг апгЕ БЬоо1шК ПссаП гЬа! !Ье рго!есгПе ргоЫегп чная 5!чеп Ьу ее!па!!опя (2.1.15), (2.1.17), ин! (2.1.18) вгЬЬ гЬ = 0 апг( Т = 0: у = чв1пд, х .= нсовд, (5.1.4) и = — срвн — д н!и д, , 2 2т Й = — х говд. Д и чне сопвЫег !п гЬгв сЬаргег ГЬе яо!и!!оп оЕ поп1шевг ргоЫешв, Биррове, Гог ехашр!е, гЬа! ГЬе соеГПс!епев Ь, с апг) Н 1п (3.1.1) аге Пшсг!опя оЕ ч вв жеП чн(х) = 5(х, ч(х))ч'(х) + с(х, ч(х))ч(х) + д(х, ч(х)).
(5.1.1) ТЬеп (5.1.1) 1я а попПпеаг ег!иаг!оп Еог ч. А вппр1е ехапгр!е оЕ гЫв, кЬГсЬ гче злП с)!ясная !а!сг, 1я СНАРТЕЕ 5 ИГЕ Ы ЕСЕАЕЕУ ЖОЖЪПЧЕАЯ 146 Ав ЬеЕоге, зче Ьаче СЬе 'ш!С!а! соек)!С!отзв х(0) = у(0) = О, 1п СЬарзег 2 чзе а1во ргевсзОЬей и(0) = 6. (5.1.5) в(0) = в, (5.1.6) во СЬаз (5.1.4) - (5.1.6) зчвз ап ш!С!аС-ча1ие ргоЫеш. Яиррове почт, Ьозчечег, СЬат ш р1асе оЕ(5.1.6) тче гетрше СЬаС СЬе рго4ес61е ЫС СЬе 6гоиптС аз а 6!чеп типе СЕ; СЬМ !з, у(се) = о. (5.1.7) Я!псе СЬе езСиаС1опв (5.1.4) аге поп!зпеаг ш СЬе ип)тпоизпв х, у, о, апт1 В, СЬзв !в а поп1шеаг Сзчо.ро!пС Ьоши)агу ча1ие ргоЫезп. ХоСе СЬаС К пшу поС Ьаче а во!иС1оп; Еог ехатр!е, С з пзау Ье Соо 1агбе Еог СЬе х!чеп 1пзС1а1 че!осззу 6.
СЧе сап Ьаве а пшпеПса! во1из!оп оЕ СЬ!я ргоЫетп оп СЬе Сг!а1-апд-еггог тпеСЬоз( СЬаС ап агС!11егу 6иптзег т!6ЬС ешр1оу: сЬоояе а ча)ззе оЕ СЬе 1аипсЬ ап61е, вау Вз, апт) "яЬоог," я ЫсЬ, пшСЬетпаС1са!1у, пзеапв Со во!че СЬе зшгта1- ча1ие ргоЫет (5.1.4),(5.1,5) СоКеСЬег жИЬ в(о) = в . (5.1,8) ОСЬег Вопит!агу Ча!ие РгоЫегпв СЧе сап арр1у СЬе аЬоче яйоойпу теС!зоз( Со оСЬег Ьоипт1згу ча1ие ргоЫетв слеп СЬозз6Ь СЬеге пиу Ье тз рЬуя!са! апа1обу Со вЬооз!пя. Сопя!С)ег, Еог ехапзр!е, СЬе етрзаСюе (5.1.2) зч!СЬ С!зе Ьошзз(агу сопт)!С!опв ч(0) = и, ч(1) = В. (5.1.9) 1п СЬ!я саве ъче сЬоояе а ССОа1 ча1ие в Сот ч'(0) апт1 яо1че СЬе !шз!а! ча1ие ргоЫетп ч" = Зч+1Очз+хч, ч(0) =а, ч'(0) = в (5.1.10) ир Со х = 1.
1Е СЬе ча1ие оЕ ч аС х = 1 зв пот вийе!епз1у с1ове Со 11. зче ат))ияз в апт1 Сгу аба1п. А Ьеу сопсегп зп СЬе иве оЕ СЬе яЬооС!тз6 теСЬоо зв СЬе аз!)ивззпепС оЕ СЬе рагатесег ЬеЕоге СЬе пехз, яЬооз. ССзе сап ат)т!геев СЬзя ОиевИоп Ьу гесоязз!я!тзтт СЬаС йпт)шя СЬе Пя1П ча1ие оЕ я !я еошча!епз Со йпз!шя а гоот.
оЕ а пои1шсаг )4те Ео11ои СЬе Сга!есзогу ззпС!1 С = СЕ апз! гесогт) СЬе соггевропт)!п6 ча)ие оЕ у аС СЕ, яау дз. 1Е уз ф 0 зче сЬоове апосЬег ча!ие оЕ В(0) апт( вЬооз абтп, соп6пшп6 СЬе ргосевя ипсо а В(0) Ьав Ьееп Еоипт1 зисЬ СЬат у(СЕ) 1в вшСаЫу с1ове Со вето, БЬогз1у зче чА11 т)!всивв яуятешаНс зчауз Со сЬотее пезч ча1иев оЕ в(0). 147 5Л 5703Ытт7КЛН РИОВЬЕМБ АХР ВНОСИТ)т7С !ияс!!оп. То вее итЬу гЫв !я яо, сопв1с1ег (5.1.10).
Ье! ч(х: з) Ье гЬе зо!и!!оп о! 1Ье 1п)я!а1-ча!ие ргоЫепт ит!ГЬ ч'(О) = з апт) т!ейпе У(з) = ч(1:, з) — д. ТЬеп ш !Ье вЬоойп5 шевЬот! тче пест! го Опт! а ча1ие о! з !ог и Ь!сЬ 7(я) = О. %е сап, !и рппс!р1е, ияе апу пшпЬег оГ шппепса1 шегЬот1в Гог Опт)ш5 во!и!!опв оГ ет!ттав!опя; яогпе оГ вЬеве гпе!Ьог(в тч!1! Ье йясиавет! ш !Ье Го!1отч)п5 вес!!оп, Бувяешв ог Вг!иаФ!опз ТЬе яЬоог!п5 шегЬой сап аЬо Ье арр!!ей го тито-ро!пг Ьоипс(ягу-ча1ие ргоЫешв !ог 5епега! Огяиогс1ег вуыешв.
Сопя!т!ег ГЬе вувсеш и' = В(и, !), 0 < ! < 1, (5.1.11) тчЬеге и(!) !я гЬе и -чес!ог иигЬ сошропепгв и,(!), т = 1,... т и. Аявшпе тЬа! пт о! 1Ье Ьшсг!опв ит,..., и.„аге ргевсг!Ьет) аг ! = 1 апд 1Ьа! и — тп аге ргевсг!Ьет! в! ! = 0 во !Ьа! чте Ьаче !Ье соггес! пшпЬег, тт, о! Ьоипс1агу сопЖ!опв. %е и.!11 т(епоге гЬе вес о! Ошсгюпз ргеясг!Ьет! а! ! = 0 Ьу 5то апй гЬове ргевсг!Ьет) а! г = 1 Ьу 5тг. !4о!е !Ьа! гЬеве везя шау очег1ар; Гог ехашр!е, и, птау Ье 5!чеп аг ЬогЬ ! = 0 апс1 ! = 1, Ьи! из шау по! Ье 5!чеп а! е!!Ьег епд ро1п!. То арр1у !Ье вЬоо!!пц ше!Ьой, ие ве1ест !пй!а! ча!иев зп..., з !ог !Ье т !ипсг!опя по! ргевсг!Ьей аг ! = 0 апт! во!че пшпег1са!1у !Ье !и!!!а1-ча!ие ргоЫепт и' = Л(и.!), и(0) 5!чеп Ьу Ьошх1вгу сопт)!!!опя ог (гт,..., з„,).
Мех!, чче сотпраге гЬе ча1иея о! !Ьове и, 0 !т'г ч ЬЬ гЬе !пге5гасед ъа1иев и(1; в), чтЬеге в = (зг,..., з ). То во1че вЬе Ьоипг)агу-ча1ие ргоЫеш !Ье !пЬОа1 ча1иея з, пшвг Ье висЬ !Ьа! ит(1; в) = 51чеп ча1ие, и, 0 (тг. ТЫя Ь а вувгеш о! ш поп1шеаг ет!иат!опв ш ГЬе тп ттпЬпо~чпв в,т...,з .
%е и 01 сопя!т!ег тпегЬойв Гог гЬе во1иг1оп о! яуя!ешв оГ поп1!пезг ес!иа!!опв ш Бес!!оп 5.3. 1пвяаЫ11!у А!г1юидЬ гЬе яЬоо!!пав ше!Ьот! !в вппр!е !п сопсерЬ Ь сап ви!уег !гаш ш- ягаЫ!!в!ев ш !Ье 1и!в!а1- та1ие ргоЫешв. 1пз!аЫ10!ея о! !Ыз !уре тчеге г)Ьсиввет) ~п СЬар!ег 2, атгт( тче 5!че Ьеге апоГЬег я!шр!е ехягпр1е впп1!аг го гЬе опе ш !1ттс!!оп 2.5. СопяЫег гЬе ргоЫеш и" — 100и = О, (5.1,12) СНАРТЕК 5 о)г Е 18 КЕАЕЕУ 11'О!113МЕАК 148 гчЬЬ 1Ье Ьогшс1агу сопс(10!опя и(0) = 1, и(1) = О. (5.1.13) 11 !я еаву 1о чег!!у 1Ьаг 1Ье ехасг яо1пНоп 011Ыя Ьоппг!агу-ча1пе ргоЫеш !я иг = е 0 0102 — 20 1 — е 20 1 — е 20 (5.1.14) Хачг гзе агзешрг го оЬгаш 1Ье яо!01!оп Ьу 1Ье вЬ001!08 шегЬог! 00!08 й(0) = з.
(5.1,15) ТЬе ехасс во1011оп 011Ье соггеярапе5п8 !п!1!а1-ча!пе ргоЫепг 10 и(1;з) = — е + е — 101 10+0 101 20 20 (5Л.16) апг) 100 яее 1Ьаг 1Ье ча!пе и(1; з) аг 1Ье епг) рогпг Г = 1 1в чегу яепврАче Со з. ТЬе ча1пе о! з гЬаг 04!! 81че 1Ье ехасг воЬй!оп (5.1.14) 01 0Ье Ьопп11агу-ча10е ргоЫеш гв Екзс1 5010000 У!8пге 5,1: Бо!0110пз 02 Езос! апд Леаг6у Ртоу(етз 11 зче во!че 1Ье 10!0!а1-ча!пе ргоЫеш чг!1Ь 1Ье ча!пе о! з соггес1 го гзчо г)ес)ша) р1асев, вау з = — 9.99, 1Ье во!паап о! 1Ье шй1а!-ча10е ргоЫеш !я зЬозчп ш Г!8иге 5.1.
ТЬе гйггсп!гу, о! сопгяе,!в 1Ьаг 1Ье во1псгоп о! 1Ье 1и!1!а)- 1а1пе ргоЫеш 8гоа в !!Ье 010', апд го япрргевя 1Ыя йвг-8гозч!08 созпропепг, К !в песезвагу !о оЫа1п а чесу ассагясе ча100 о(1Ье !и!1!а! сепг!!1!оп. Ече11 СЬев, СНАРТЕРл 5 ЬП'Е 15 КЕАййУ ХОлЛЕЕ ЕХЕАК 150 1п сЫя саве чте 1тполч Еголп ГЬе 6шл!атттепса1 тЬеогетп оЕ а)5еЬта !Ьат Е Ьзв ехас!1у п геа1 ог сошр1ех гостя Н лче соип! пш1т!р1ЫИ!ев оЕ !Ье гоотв. Рот а Кепега! Ьшсвюп Е й 1в ивиаБу й!Етси1т со авсег!аш Ьов шапу во!и!!опв ет!иат!оп (5.2.1) Ьаз; гЬеге тпау Ъе попе, опе, Ип(ге!у птапу., ог 1пйшЬе1у шяпу. А випр1е сопл!!!1оп ФЬа! епвигев тЬат !Ьеге !з а! шов! опе во1изтоп 1п а 51чеп !пгегча! (а,6) 1з тЬа! Е'(х) > 0 Еог а!1 х Е (а, 6) (5.2.3) (ог Е'(х) < 0 ш гЬе Ептегча!), а!1ЬоиОЬ !Ьтв т1осв по! Оивгап!ее 1Ьаг а тоо! ехвтя !п тЬе 1и!егча!.
(ТЬе ргооЕ оЕЕЬеве в!атешептв !я 1ей !о Ехетс1зев о.2.1 апт! 5.2.2.) 1Е, Ьолтечег, Е 1я соп11пиоив, апт! У(а) < О, У(6) > О, (5.2.4) тЬеп Ь |в 1птшйче1у с1еаг (апл1 т!Оогоив!у ргочет( Ьу а Еашоия 1Ьеогеш оЕ !Ье са!си1ив) тЬай Е тпиз! Ьаче а! !савв опе гоо! ш 1Ье !и!егча! (о, 6). ТЬе В!зеив!оп МевЬот! Ьес ив полч аявшпе йЬас (э.2.4) Ьо1т!в апт), Еог з1шр!!с!Фу, 1Ьас гЬеге !в )из! опе гоо! ш !Ье Ытетча1 (а, 6). 1че т(о по! песевввгйу азвише !Ьа! (5.2.3) Ьо1т!з; тЬе в!гиат!оп ш15Ьг Ье вз вЬоип ш Р!5ите 5.2.
Опе оЕ тЬе в!шр1евг лчаув оЕ арргох)шарш5 а гоо! оЕ,Е ш тЫв айса!топ 1в 1Ье 6(вес!топ тпейот(. ътЫсЬ иле полз с1евспЬе. 7!5ите 5.2: ТЬе Взлез!топ МеЕЬол( Ьет х, = т (а+ 6) Ье !Ье пйт1рошй оЕ !Ье шйегча! (а, 6) апд еча1иаве Е(хт). 1Е,Е(хт) > О, !Ьеп !Ье гооЬ х*, пшяс 1!е Ьетлчееп а апт! хт! !ЕЕ(хт) < О, злИсЬ 1в !Ье в!!иа!!оп вЬолчп ш Р!Опте 5.2, !Ьеп х 'п Ье!втееп хт апт1 6.
Чте полз сопВпие тЬЬ ргосевв, аЬчаув Ьеер1п5 тЬе !птегча! 1п лчЫсЬ х* 1з Ьполчп Со Бе апл) еча1иа11п5 „Е а! !гв тпЫрошт !о оЬ!а!и 1Ье пех! ш!егча1. Рог т!те ЕшкНоп 5.2 БОИ7Т10?т' ОУ А 516?ОБЕ 1ЧО?151ЖЕАЯ ЕЕСЕЕАТ101ч 151 яЬоитп ?и г 15||ге 5.2, СЬе егере чгои1|1 Ье ав ЕоПотчв: 1(хт) < О, Непсе, х" с (х|,Ь). Яет хв = -'(х|+ Ь). Е(хв) > О. Непсе, х* с (х|,хв). Бег хз = -'(х|+ хя). 1(хя) < О. Неисе, х* й (хз хг) Яес хс — — |(хв+ хв). 1(х4) < О. ?1епсе, х* О (хя,хв). Бег хя = т(хв+ х4). С?еаг1у, еасЬ егер оЕ СЬе Ь~вес?1оп ргосет?иге гет?исев СЬе !епПСЬ оЕ СЬе !птегга1 1|по|чп Со сои!а|и х* Ьу а !асгог оЕ 2. ТЬегегоге айег ш егеря |Ье ?етщС?т оЕ СЬе ?п|егча! ъч11 Ье (Ь вЂ” а)2, аттт? СЫв ргочЫев а Ьоипт? оп СЬе еггог ш оиг сшгепг арргох!ишНоп Со СЬе гоо|; СЬаС 1в, )х,„ — х"! < (Ь вЂ” а) (5.2.5) ТЬ?я Ьоипт? Ьяв Ьееп оЬ|а?пес? ип|1ег СЬе Сасй авяшт|р|!оп СЬат СЬе 6|пстюп чвЛиев Е(х,) аге сотар|Стет? ехас|1у.
ОЕ сошве, оп а соп|ригег СЫя тч!П иот Ье СЬе саве Ьесаиве оЕ СЬе гоип|Птщ епог (апт? ровгПЫу а?во |Пвсгет|каНоп еттог - гесаП |Ьа| СЬе еча1иаНои оЕ СЬе Еипсгюп 1' Еог СЬе вЬооНп5 шеСЬот? гет?и!гев СЬе яо1итюп оЕ ап ш61а!-ча!ие ргоЫе|и). Но|сечет, СЬе ЫвесНоп тттеСЬот? |1оея поС ияе СЬе ча1ие оЕ Е(х,) Ьит оп1у СЬе ящп оЕ 1(х,); СЬеге(оге СЬе Ь|весйоп тпеСЬот? !в ипрегч1оив Со еггогв ш еча!иа|1пК СЬе 6шст!оп Е вв 1опд ав |Ье ящп оЕ Е(хт) !в еча?пасет? сопесйу, Оие тих СЬш1| СЬаС СЬе топит?-о?Е е|тог соиИ по| Ье во яечеге яв Со сЬа|ще СЬе вщп оЕ СЬе Еипстюп, Ьиг СЬ?я |в по| СЬе саяе е|Ьеп СЬе 6шсНоп ча1иев Ьесоше виЕПстеиС!у вша?!. 11 СЬе ящп оЕ Е(хт) |в 1псоггест, а итои5 |1ес!поп тИ1! Ье и|а|1е !п сЬоояпц С?|е иехс виЫптегча1, апт? СЬе еггог Ьоип|1 (5.2.5) т?оев пот песеявагИу Ьо1т?. 1| Ы с1еаг СЬаС !Е опе ша?тев а |пахипшп еггог оЕ Е !п еча?иат!и5 Е аг апу ро?ит ш СЬе 1п|егча1 (а,Ь), СЬеп СЬе в15п оЕ Е' тч!П Ье сопес|!у еча?саге|? ав 1опд ая 5!псе |Ье Еипс|1оп 1 тч!П Ье с!ове Со кето пеаг СЬе гоот х*, |че сап а1яо агапе СЬе сопчетяе: СЬеге тчП? Ье ап то!сеча? аЕипссгтатту, вау, (х" — я, х +я), аЬоиг СЬе гоог ш |чЬСсЬ С?|е ящп оЕ Е шау поС Ье соггес|?у еча!пасет? (вее г 15иге 5.3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
