Golub, Ortega - Scientific Computing and Differential Equations (523148), страница 26
Текст из файла (страница 26)
ТЬе а15опгЬгп 1ог ГЬе (асяогжаяюп 1в 51чеп т Е!5пге 4.5, Гог ГЬе СЬо!евйу десотровй1оп Го Ье сап1ей опя, !Г 1в песеввагу ГЬая 1Ье йпапйг!ев о — Я 121 ай Ье ров1йче во гйаг гйе вг1паге гоогя тау Ье га1сеп. 11 гЬе соейгс1епс тасггх А Ь ровгЬяе г(ейп11«. 1Ьеве 11папйг!ев аге !пг!еед ров!1!ге; шогеояег, 1Ье а!5ой11пп !в ппт«ти:айу ягаЫе.
Неге л гв а !оъег-Сг!апйп!аг пигпх Ьпг г!сев пог песевяап1у Ьаче 1'в оп ГЬе пиш сйайопа1 ав 1п 1Ье Ш 1асгог1гайап. ТЬе 1асгойгаг1оп (4.5.1) 1в ппщпе, рсоа!оег) 1Ьаг л гв гег!шге1 Го Ьаге ров!1!се ейайопа! е!ешепяв (вес Ехегсие 4,5А), ТЬе ргойпсг!и (4.5А) 1в СНАРТЕВ 4 МОНЕ ОХ ПХЕАВ БУЯТЕМБ Гог3 = 1,...,п Гог 1 = у' + 1,..., п у-г а,. — ~ .1гв1 в а=г 1д Г!кисе 4.5: СБо1ев(гу Гас1ог1ка1чоо ТЬе с4К ГасСог1га11оп ТЬе СЬо!ея)гу гясвог1каг!ап арр11ев ап1у со вупипегпс роя!1!ге г)ейп!1е пи!поев, Ъе пех! сопвЫег а ЕасйоПка1юп 1Ьа1 арр1гея го апу шаггпо 1пйеег1, !авек гп ВЫв весйоп чче ~ч1!! иве 1Ыв 1асвог1ка11оп 1Ьг гесвапки1вг пгагпсея, Ьив гог 1Ье шошепс ве чЫ11 аввшпе 1Ьаг А 1я и х и апг! геа1.
ТЬе г'„И уасваг(ха!гоп (ог г(есотиров1йоп ог гедисвгоп) 1в ВЬеп (4.5.5) иЬеге Я 1я ап оггЬокопа! гпа1пх (Бее АррепгБх 2) апг! В 1я «ррег 1Папби1аг, (!5ге соиЫ г(спасе К Ьу У, Ьив Ывсог)саБу В Ьав а(гчаув Ьееп ивег) 1п 1Ыя сопсеха) %е вы!1 оЬгып 1Ье гпа1пх Я ав а ргойисг о1 с4пгр1ег огвЬодопа! пгагПсев Ьавег) ироп 1Ье гокаНоп шагг1х 1 В Ыпр~ — в1пВ соад ~ ' (4.5.6) ТЬе СЬо1еяЬу 1асгог1каг!оп еп)оув стао аг)чапсабея очег И7 1асгоПкаНоп, Г1гвЬ гЬеге аге арргохипа1е1у ЬаК вя гоапу вгМипе11с орега1!опв (Ехегс!ве 4.5.2).
Яг1иаге гоогя аге а)яо геггшгес1 ш 1Ье СЬо!евку 1ассог)какюп, а!1ЬоикЬ 1Ьеге !в а чаПапг о! 1Ье а1аоП11пп и'Ь!сЬ ачоЫв гЬеве (яее Ехегс1яе 4.5.6), ТЬе яесопс( ас1чапсабе !я 1Ьаг Ьу иг1!1к1п6 яупипеггу оп1у гЬе 1отчег гг!апкгг1аг рагг оЕ А пеег!в во Ье вгогег1. Ая а4гЬ 1Ье ЕН 1асйог!гав!оп, гЬе 1; сап Ье очегмтй1еп оп!о 1Ье соггевропйпк рог0ооя о!А ав 1Ьеу аге сошрисег1. Г1паПу, 1Ье СЬо!евку 1ассог!ка1!оп ех1епг)в геаг)1!у го Ьяпг1ей ша1псев апд ргевегчев 1Ье ЬапсЬчИ1Ь, 1ия1 ав Ш 1асгоПкайоп тч)вЬоиг швегсЬапдев (вес Ехегс1яе 4.54). 4.
5 0 ТНЕЕ! РА СТОйЕХА ТЕОР 135 %е 5епега)1яе япсЬ гога!!оп ша!пеев го п х и шавг)сея оЕ гЬе Еопп (4.5.7) со 1 яЬеге сг = созд, апй з, =. вшд," аге 1осагей 1п !Ье гЕЬ апй угЬ гоая влй со1пгппя, вв !пй!се!ей, ЯпсЬ тагпссв аге са1!ей р1апе тога!!оп таогсез ог Сгязпв !тпвЕогта!Еопз. йпв! ая (4.5.5) йебпев а гога!!оп оЕгЬе р1апе, а тасг!х оЕ ГЬе Еопп (4в57) 5!чея а гогагюгг !и !Ье (г„г) р1вле ш и-арапе.
1! 1в ваву !о вЬоъч (Ехегйяе 4.5.5) гЬаг ГЬе гпагпсея (4.5.0) апй (4.5.7) аге оггЬобопа1. Ъе пагч пве гЬе та!л1сез Р, ш !Ье Ео!!ож1пб тчау Го асЫече ГЬе Г:!ЕЕ Еас!ог1гагюп (4.5.5). Ье! а, йепо!е ГЬе ЙЬ гоге оЕ А, ТЬеп тп11!р1!сав!оп оЕ А Ьу Рш Ьйчев !Ье шагг!х сггаг + зггаг — вггаг + сггаг аз Аг — — Р,гА = (4.5.8) 5!о!е ЕЬа! оп1у 1Ье Йгвг !гчо гачгя оЕ А аге сЬапбей Ьу !Ыя гпо)!!р1!са!!оп, 1Е гче сЬоозе зи апй сш во гЬаг — оп згг 4 аггею = 0 (4.5.9) ЕЬеп Аг Ьав а гего Еп ГЬе (2, 1) ровйюп, апй !Ье огЬег е1етепвя Ы гЬе Бгвв гчго гогчв оЕ Аг й!!Еег, 1п бепега!, Егогп гЬояе оЕ А. %е йо пог асгпа1!у сотрпге ГЬс апд1е дгг Го асЫече (4.5.9) я1псе гче сап оЬГа!и !Ье йеагей я!пе апй сов1пе сбгесг1у Ьу сгг = ал(аг, + агг), вгг — — аи(а„+ огг) .
(4.5.10) г г -г7г г г -1(2 ТЬе йепогп!пагог 1п (4.5.10) и поп-гего пп1евв ЬоГЬ агг апй агг аге гего; Ьпг !Е аш = О, 11из егер сап Ье Ьураввей в(псе а гего 1з а!геайу !и !Ье йез!гей раюйоп, СНАРТЕК 4 МОНЕ О!У Ь!АСЕАН БУБТЕМЯ 136 ТЬе !гапвЕоггпа!!оп (4 5.3) ?в алга!обоих !о !Ье йгвг в?ер о! вп ЕН !ассог!га!юп !п ччЫсЬ а ппййр!е оГ гЬе йгвг гои о! А !я яиЬсгасгей ггот гЬе весопй гогч Го асЫече а яего ш ?Ье (2, 1) роя!1!оп.
%'е пехс ргосеей, яя !п Ш, !о оЬЕялп кегоя 1п ГЬе гешышп5 ровК1опв о! ГЬе Ьгв? со!шпп. чче (огпг Ая = РгяА, чЫсЬ той?йея !Ье йгвг апй сЬ?гй горче о! Аг иЫ1е!еагйп5 а1! о?Ьег гоев !Ье вагпе: !п рагс!си?яг, !Ье лего ргойисей !и !Ье 6гв! вгаце ш !Ье (2, 1) ров!г!оп гегпашв ипсЬап3ей. ТЬе е1етепгя сш апй ягя о! Р,я аге сЬовеп апа1охоив!у 1о (4510) яо !Ьа! гЬе (3, 1) е!етеп! оГ Ая !в лего. Ъ е сопгпте !п гЫв !авЫоп, яего!п5 1Ье гешапшщ е1ешепгя ш ?Ье 5гвг со1шпп опе а!!ег апогЬег апй гЬеп кего1пц е!егпепся 1п гЬе весопй со!ишп ш ?Ье огйег (3, 2), (4, 2),..., (п, 2), ялй во оп. 1п а11, ~че илП иве (и — 1) + (п — 2) + + 1 р1апе гогайоп гпагйсея Реп апй ?Ье гехи?! ?в 1Ьа! РА ее Рп-х '''РггА = Н (4.5.11) !в иррег гг1апци1яг, %е почв пеег1 гчло Ьав!с Гас!я аЬои! оггЬо5опа? шагйсев. Еквг, 1! У апй Ъ' аге ог?Ьоаопа?, !Ьеп (! ?л)тн! 1 т~~т~?л ?лт1 во г1ис гЬе ргойис! о! ог?Ьо5опа! гпарйсев гв ог?ЬоКопа1.
ЕасЬ а! 1Ье та!Ысея Р; !п (4.5.11), апй !Ьия ?Ье!г ргойис?, Р, 1в ог?Ьо5опа?. ТЬе весопй Гас! ?я гЬас ?Ье !пчегве о! ап ог?Ьо5опа? тавгЬг !в ог?Ьодопа1. ТЫв Ео!1омь угот 1Ье с1ейпЬйоп У~ с7 = л Ыпсе СЫя ипр1!ев !Ьа! л = (Нл (л') ~ = У ~У л . Т1шв, !! арче вес Я = Р ', гЬеп Я гв ог1Ьо5опа?, апй ти!!!р!у1п5 (4.5.11) Ьу Я дгчев (4.5.5). ?4ге пех! соип! ?Ье орегайопв го саггу ои! !Ье аЬоче ?4В !асгопяаг1оп. ТЬе гпа)ог!!у о! !Ье вог?г гя ш шой!гу!пК ?Ье е1егпепгв о1 !Ье пчо гоив !Ьа! аге сЬап5ей аг еасЬ го!акоп. Егош (4.5.8) Ь !я с1еаг ?Ьаг шой!5сас!оп оГ ГЬе йгяг !ио гов'я гег?шгев 4п ти11!р!!сас?она аш1 2п айй?1!ооз.
(Рог в1шр11с11у ве Ьаче а!во соип?ей ?Ье орега!!опв ивей !о ргойисе 1Ье яего ш !Ье (2, 1) роя!юп ечеп !Ьои5Ь !Ьеу йо по! пеей го Ье рег!остей.) ТЬе вате соипг !я ггие Ът ргойис?п5 яегов ш ?Ье геташ1п3 п — 2 е!ететйя !п ?Ье 5гя! со1ишп. Непсе ?Ье йгв! в!а5е гесршев 4п(п — 1) ти!г!р1!сагюпв апй 2п(п — 1) айй!г!опв. 1п еасЬ оХ ?Ье виЬяес?иепг п — 2 в1адея, и йесгевяев Ьу 1 1п 1Ыя соип? яо !Ьа! !Ье !оса! 1в 4 я 2 в 4~?ч(?ч — 1) пш1! +2~5(Ь вЂ” 1) агЫ =' -п пги?! + -пв агЫ, (4.5.12) 3 3 в=я в=я в Ьеге чле Ьаче игей !Ье витта!?оп (огпийвя о! Ехегс!ве 4,2А. Сотригш1оп о( !Ье с, апй яи ?я а!во пеейес1, Ьиг !?ив гег!шгев оп1у 0(пя) орегагюпя. ТЬия ае 4.5 ОТНЕГГ РЛ СТОШЕАТГОГГБ 137 вес Ьу (4.5,12) гЬаг кЫв сзй Гассет!как!оп гес!шгев арргохппаге!у Гонг 11гпев гЬе пш1с!р1!саг!опя апг! !и!се гЬе аг14!г!опв оГ Иг Гаскойкаг1оп (вее Яесйоп 4.2).
%е ай 11 гйвсивв 1Ье ге!а!!че шегйв оГ ГзВ апд ПГ Гаског!как!оп яйогв!у, Ьги йш! гче яЬов КЬак Ьу ия!пц огЬег ог!Ьойопа) !гапв(огшак!опв кЬе 1зВ Гас!ос!как!оп сап Ье сошригес( пюге есопоппсяПу. гчг = ргип и = (агг — зг,акп...,а„г), т (4.5.13) гчЬеге Ц(атак)пг р = (2зк — 2апз,) Пк. (4.5.14) ТЬе Я!3п оГ вг гп1кв! Ье сЬовеп !о Ье оРРоаге 1Ьа! оГ ап во !Ьа! СЬеге гз по сапсе11айоп !и гЬе сошригайоп оГ рг; огЬегкаве, ГЬе а)3ог!г1пп тчои1с1 Ье пшпейса11у ипшаЫе.
ТЬе ческог вчг вак1вйея чз~шг = Гз~((агг — зг)к+~ ак ) = Ггв(ак — 2апз~+2зк — ак ) = 1 во гЬас Р, = à — 2ъчгччтг 1в а НоивеЬоИег ггялв!оппайоп. Могеочег, 1 гчгаг = Гз((ап — вг)ак„+ ~а1,) = рг(з, — апзг) = —, 1=2 гз во гйаг 2(ап — зг)рг ап — 2ю,чгг аг = ап— =за 21зг апг( т 2апрг ап — 2шгшг а, = агг — — — О, 2ц~ ТЫв вЬоая ФЬа! !Ье йгя! со1ипш оГ РгА Ы г = 2,3,...,п.
Ргаг = аг — 2ччг агччг = (зг,О,...,О) т к Т1шв и1ГЬ !Ь!я опе оггЬойопа! КгаивГоппайоп, кегов Ьаче Ьееп !пПодисей !пго гЬе яиЬсйакопа1 ров!Мопя оГ кЬе йгв! со1шпп, вя гчая гГопе Ьу и — 1 О!чепв ггаияГоппаМопя. НопвеЬо1аег ТгапвГоггпав!опв А НоизеЬоИег гкап(заггаа11оп 1в а шагг!х оГ ГЬе Гоггп à — 2ччгчт, к Ьеге а тчч = 1.
В гв еаву го вес (Ехегспе 4Л,О) кЬак яисЬ шакг!сея аге яушпгекйс апс1 оггйойопа1. ТЬеу аге а!во са)1ег! е1егаепгагд ге)1есйоп пикк!сев (вее Ехегс!ве 4.5.5), %е погч вйогч Ьотч НоивеЬо16ег кгалвГогпи!!опв сап Ье ивед го оЬ!а!п гЬе ЯГГ Гаскойка!!оп оГ А. Ье! аг Ье гЬе йгяг со1ипш оГ А аш1 с1ейпе (вее Ехегс1ве 4.5.11) СНАРТЕВ 4 МОВЕ ОХ 5157ЕАВ БУЯТЕМБ 138 Т1ге весопд яяабе 1в апа!обаяв.
А 11опвеЬо1дег ггяив!огшаг1оп Ря = 7— 2ячвгчв~ Ы тейпе<? Ьу а чесгог ччг»Ьове йгвг сошропеиг !я вего аий гчЬаве гешип1иб сошроиепгя аге с?ейпег? ая 1п (4.5.13, 4.5.14), ив!пб иогч гЬе весопг? со1шпп о! Р,А агою ?Ье шаш г??абопа? е1ешеги йоюп. ТЬе шагпх РяР,А 1Ьеп Ьая вегов Ье?о» 1Ье гпаш с?!абоиа! 1п еасЬ о! !?в Игвг ?гчо со!шипя.
%е сопНпие !п 1Ыв» ау го яего е1ешепгв Ье?очг гЬе гаиш 6!абоиа? Ьу НоивеЬо?бег гпа?Пеев Р, = 7 — 2гч,чч,*, »Неге»г, Ьав яегов !и Ья йгвг г — 1 сои~ропеп1я. ТЬпя Р„г РгА = В, »Ьеге В ы иррег !г!аида?аг. ТЬе шагг!сев Р, аге Ы1 огвЬобоиа? во гЬа? Р = Р„г Рг апб Р ' аге а?яо ог?Ьобоиа1. ТЬегеГоге, Я = Р ' !в ГЬе огГЬобопа? ша?Пх оГ (4.5.5). ТЬе абоче г?!ясивв!оп Ьав соияЫегег1 оп!у 1Ье !опиа1юп о1 ?Ье чесгогв»и гЬаг тейпе гЬе Но»ее!ю1г1ег ггапвГогпгаг!опв, апг?»е пехг сопвЫег с?ге гегпашг1ег оЕ гЬе сошригаг!оп.
1!а,, ая,...,а„аге гЬе со!шипя о( А, СЬев РгА = А — 2чгггчг~А = А — 2» г(ччг~аг, »гг~аг,..., » г ав). (4.5.15) Т?шя, гЬе НЬ со1шпп о! РгА 1в а, — 2ччг а;», = а, — угиг а,иг, т т (4.5.16) гчЬеге "й = 2йг = (вг — вгогг) я т и и(и — 1)(2и — 1), 2 я 3 3 (4.5.17) аг?г?!1!опв апй пш?1!р!!са!!опв, ТЬе ишпЬег оЕ ояЬег орегаНопв ?я по гооге ?Ьап огбег ив.
Со~праипб гЫв соши ~чйЬ (4.5.12) (ог гЬе г„эВ !асгоПвагюп ия!пб 1! ?в пюге ейс!еиг сошригаг!оиа?!у иог го Еоггп ?Ье чесгог ячг ехр1!сН1у Ьиг !о гчог?г гч!?Ь Тг аиг? и, вв яЬогчи!и (4.5.16). Апа?обаяв сошрийая!опв аге рег(огшег? го оЫып ?Ье геша!п!пб гег?исег? ига»Ноев РяРгА,...: !Ье сошр!еве а!бог!аппп 'и яипапаг!яеб 1и Р!биге 4.6. %е пехя соип? !Ье орегавюив 1п ?Ье НоияеЬоИег гедисНоп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
