Chertov (523131), страница 93
Текст из файла (страница 93)
° Энергия У твердого тела связана с средней энергией (в) квантового осциллятора и функцией распределения частот д(ы) "оотношением ахах У = ) <в> д (а)йь в Ф Молярная внутренняя энергия кристалла по Дебаю ар~ г У =У,+МТ 3( — ~ ~ бха в где ()„з —— '!,)сйр — молярная нулевая энергия кристалла по Де- баю; Оо — — Тзш,„)й — характеристическая температура Дебая.
ча Малярная теплоемкость кристалла по Дебаю ар)г С = ЗЯ 12(Т)8 )з ( ,) ехр (х) — 1 ехр (Во/Т) — ! л! ' о Предельный закон Дебая. В области низких температур е (Т<(Оо) последняя формула принимает вид ° Энергия в фонона ** связана с круговой частотой ш колеба- ний классической волны соотношением в=лш. ° Квазиимпульс фонона р = 2пй!Л. ° Скорость фонона является групповой скоростью звуковых волн в кристалле и=да/с(р. При малых значениях энергии фонона дисперсией волн можно пренебречь и тогда групповая и фазовая скорости совпадут: и=о=в)р. Скорости продольных (о,) и поперечных (о,) волн в кристалле определяются по формулам о! =7 Е(р, о, = $~ 67р, где Е и 6 — модули соответственно продольной и поперечной упру- гости.
Усредненное значение скорости звука и связано с п1 и о, соотно- шением 3 2 1 — = — + — ° в з о оз о! ° Закон Фурье. Количество теплоты Ж;), перенесенное через поверхность площадью 5, перпендикулярную направлению тепло- вого потока, за время Ж, равно ЙЯ= — Л(дТ/дх)ЕЖ, где Л вЂ” теплопроводностьп пТ)т)х — градиент температуры. Знак минус в формуле показывает, что направление теплового потока противоположно вектору градиента температуры. ° Теплопроводность Л, теплоемкость С, рассчитанная на еди- ницу объема, скорость о звука (усредненное значение) и средняя длина свободного пробега Л фононов связаны соотношением Л= ~),Сил.
" Считать для решения задач Т«Во, если Т)Во<0,1. "' Фонон — хвазичастица, являющаяся квантом поля колебаний кристаллической решетки. 451 ° Относительное изменение частоты, обусловленное эффектом Доплера, Лм и — = — соз б (с <% с), м с где о — скорость атома; с — скорость распространения электро- магнитного излучения; Ь вЂ” угол между вектором ч и направлением наблюдения (от атома к наблюдателю).
° Энергия отдачи ядра при испускании гаммафотоиа Я = (йв)'Я2и,с'), где йм — энергия гамма-фотона; и„— масса ядра. ° Естественная ширина спектральной линии 1' = гг/т, где т — среднее время жизни ядра (атома) в возбужденном со- стоянии. ° Сила )(х), возвращающая частицу в положение равновесия при ангармонических колебаниях, определяется выражением 1(х) = — (Зх+ух', где !) — коэффициент гармоничности, связанный с равновесным рас- стоянием г„между атомами кристалла и модулем продольной упру- гости Е соотношением ()=гоЕ; у — коэффициент ангармоничности, характеризующий асимметрию колебаний атомов в твердом теле. Для оценки по порядку величин можно принять 1 7= —— го ' ° Коэффициент линейного расширения, по определению, 1 41 а= — —. 6Т Теоретически он выражается через коэффициенты р и у формулой тл 1 ь а= —,, или приближенно а= — —, р'г.
2 г)!и где й — постоянная Больцмана. Пример решения задач Пример. Определить количество теплоты ЛЯ, необходимое для нагревания кристалла КаС! массой и=20 г на ЛТ=2 К, в двух случаях, если нагревание происходит от температуры: 1) Т,=В„; 2) Т,=2 К. Характеристическую температуру Дебая Ор для КаС! принять равной 320 К. Р е ш е н и е. Количество теплоты ЛЯ, подводимое для нагревания тела от температуры т, до т„может быть вычислено по формуле и ЛЯ=- ~ С6Т, '(1) и где С вЂ” теплоемкость тела (системы). 452 Теплоемкость тела связана с молярной теплоемкостью С„соотноп|ением С=(ль'М)С, где т — масса тела; М вЂ” молярная масса. Подставив это выражение С в формулу (1), получим хе Р4 =- (т!М) ~ С„, бТ. (2) В общем случае С есть функция температуры, поэтому за знак интеграла ее выносить нельзя. Однако в первом случае изменением теплоемкости по сравнению с ее значением при температуре Т, можно пренебречь и считать ее на всем интервале температур ЛТ постоянной и равной С (Т,).
Ввиду этого формула (2) примет вид М~=-(т'М)С (Т,)ЬТ. (3) Молярная теплоемкость С (Т,) в теории Дебая выражается фор- мулой оп~ т о (5) 453 ор~т, хоох Г хо ох В первом случае при Т,= — 0 интеграл ) — „= ~ —, = 0,225 (см. табл. 2) и, следовательно, С =2,87 )с. Подставляя это значение С в формулу (3), получим ЛЯ=2,87 (~л,'М)КАТ. (4) Произведя вычисление по формуле (4), найдем ЛЯ вЂ” 16,3 Дж. Во втором случае (Т«0 ) нахождение ЛЯ облегчается тем, что можно воспользоваться предельноям законом Дебая, в согласии с которым теплоемкость пропорциональна кубу абсолютной темпе- ратуры. В этом случае теплоемкость сильно изменяется в пределах заданного интервала температур и ее нельзя выносить за знак ин- теграла в формуле (2) Используя выражение предельного закона Дебая С = 12л4 ! Т тз = — 77 ( — ), получим з (вр~ т,~-от т, Выполним интегрирование: С учетом того, что Т,+ОТ=2 Т„выражение (5) примет вид ЛЯ = —" — —, 15 Т„'или ЛЯ = 9 их — Я вЂ”,' .
0 Подставив в последнюю формулу значения величин и, т, М /(, Т, и Ор и произведя вычисления, найдем ЛЯ=1,22 мДж. Задачи Классическая теория теплоемкости 50.1. Вычислить удельные теплоемкости с кристаллов алюминия и меди по классической теории теплоемкостн. 50.2. Пользуясь классической теорией, вычислить удельные теплоемкости с кристаллов !чаС! и СаС!,.
50.3. Вычислить по классической теории теплоемкости теплоемкость С кристалла бромида алюминия А! Вгз объемом У=! ма. Плотность р кристалла бромида алюминия равна 3,01 10' кг/м'. 50.4. Определить изменение Л(/ внутренней энергии кристалла никеля при нагревании его от /=О 'С до /а=200 С. Масса т кристалла равна 20 г. Теплоемкость С вычислить. 50.5. Вывести формулу для средней энергии (е) классического линейного гармонического осциллятора при тепловом равновесии. Вычислить значение (е) при Т=ЗОО К.
50.6. Определить энергию (/ и теплоемкость С системы, состоящей из Й=10зз классических трехмерных независимых гармонических осцилляторов. Температура Т=ЗОО К. указание, Использовать результат решения задачи ЗО.В, Теория теплоемкости Эйнштейна 50.7. Определитш 1) среднюю энергию (е) линейного одномерного квантового осциллятора при температуре Т=9в (Оп=200 К); 2) энергию (/ системы, состоящей из Ж=10за квантовых трехмерных независимых осцилляторов, при температуре Т=Ов (Оп —— =300 К).
50.9. Найти частоту ч колебаний атомов серебра по теории теплоемкости Эйнштейна, если характеристическая температура Ов серебра равна 165 К. 50.9. Во сколько раз изменится средняя энергия (е) квантового осциллятора, приходящаяся на одну степень свободы, при повышении температуры от Т,=О /2 до Т,=Оьу Учесть нулевую энергию. 50.10. Определить отношение (з)/(ег) средней энергии квантового осциллятора к средней энергии теплового движения молекул идеального газа при температуре Т=Ое.
50.11. Используя квантовую теорию теплоемкости Эйнштейна, вычислить изменение Л(/ малярной внутренней энергии кристалла при нагревании его на ЛТ=2 К от температуры Т=Оя/2. 50.12. Пользуясь теорией теплоемкости Эйнштейна, определить изменение Л(/ малярной внутренней энергии кристалла при нагревании его от нуля до Т,=0,1 9в. Характеристическую температуру Ов Эйнштейна принять для данного кристалла равной 300 К. 454 50.13. Определить относительную погрешность, которая будет допущена, если при вычислении теплоемкости С вместо значения, даваемого теорией Эйнштейна (при Т=Ое), воспользоваться значением, даваемым законом Дюлонга и Пти.
50.14. Вычислить по теории Эйнштейна малярную нулевую энергию У„м кристалла цинка. Характеристическая температура Ов для цинка равна 230 К. Теория теплоемкости Дебил 50.15. Рассматривая в дебаевском приближении твердое тело как систему из продольных и поперечных стоячих волн, установить функцию распределения частот д(ы) для кристалла с трехмерной кристаллической решеткой. При выводе принять, что число собственных колебаний Я ограничено и равно ЗМ (Ж вЂ” число атомов в рассматриваемом объеме). 9У 50.16.
Зная функцию распределения частот 8 (в) = —,в' для Отах трехмерной кристаллической решетки, вывести формулу для энергии кристалла, содержащего число М (равное постоянной Авогадро) атомов. 50.17. Используя формулу энергии трехмерного кристалла ор~ г и.=ОТ 3®' ~,— "„";, о получить выражение для малярной теплоемкости. 50.18. Малярная теплоемкость трехмерного кристалла зреет С =ЭР[12ЯВ )' о Найти предельное выражение малярной теплоемкости при низких температурах (Л«Оо). 50.19. Вычислить по теории Дебая малярную нулевую энергию У, кристалла меди.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
