Chertov (523131), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Подставив это выражение в формулу (1), получим Е =- — айл Вп?, Спиновое магнитное квантовое число и, протона может принимать только два значения: т,=-+1!2 и гп,= — 112. Значение гп,= =+1,'2 соответствует нижнему л~г энергетическому уровню: Е г Вгг Ел =- — 2 в1слВ. (2) (Ег =~- р,цяВ) Значение т,= — 1!2 соответствует верхнему энергетическому уровню (рис. 51.2): Фг 1 Ег Е,=+ 2 КрлВ.
(3) Й„=- 21 йп,й) В отсутствие магнитного поля число ядер с противоположно направленными спинами одинаково и равно Ю,'2 (У вЂ” об:цее число ядер). В магнитном поле происходит перераспределение ядер по энергетическим уровням. На нижнем уровне с энергией Е, будет находиться больше ядер, чем на верхнем с энергией Е,. Число ядер Л', (заселенность данного уровня), находящихся на нижнем энергетическом уровне Е„может быть вычислено по формуле Больцмана: Л',=: — ', е-влиг1, или Л',= — ', е Л) М л — ач ~,эцьт) 1 —. 2 1 Соответственно можно найти и число ЯдеР Лгс, находЯщихсЯ на верхнем энергетическом уровне: 1 М = — е-ах"г1 или Лг.=— Так как У дрлВ«йТ (это будет показано ниже), то можно воспользоваться приближенными равенствами е ж1 — х и е"ж1+х, если х«1 (см. табл.
3). Тогда М, ж — 1+ — дрмВ,'(ЛТ) ) и Л' — 1 — — врлВ1(йТ)). Разность ЛЛ1 заселенности энергетических уровней найдем, вычитая из первого приближенного равенства второе: ЛЛ1 =ч, и,= 2 йрхВ1(йт). Разделив ЛЛ' на Лг, получим относительную разность заселенностей энергетических уровней: ЛУ 1 — йр,,В1(йт) 465 Выразим все величины в единицах СИ: а=5,58 (для протона), р =5,05.10 "А м', В=1 Тл, к=1,38 10 зз Дж/К, Т=300 К.
Подставим эти значения в формулу (4) и произведем вычисления: ЛЛ' б,бз 6,06 10 е'1 Л' 2 1,36 !О "300 Полученный результат оправдывает наше допущение, что г!едрмВ« «й7. 2. Под действием электромагнитного излучения, угловая частота которого от, =(Е,— Е,)Ь, (5) будут происходить переходы между уровнями энергии Е, и Е„ причем электромагнитное излучение вызывает переходы Е, -+- Е, и Ез — ь Е, с равной вероятностью при условии одинаковой заселенности энергетических уровней.
Так как нижний уровень имеет большую заселенность, чем верхний, то переходы с поглогцением электромагнитного излучения (Е, — Е,) будут происходить чаще, чем с излучением (Е, — Е,). Это и есть резонансное поглощение электромагнитного излучения, обусловленное ядерным магнетизмом (ЯМР). Подставив в (5) выражение для энергий Ег и Е, согласно (2) н (3) н заменив угловую частоту ш, на частоту че(оуз=2ята), найдем резонансную частоту ч, для внешнего магнитного поля В ": ~, = д1зл Ву(2зтЬ). Подставим в это выражение числовые значения физических величин и произведем вычисления: то= 5 58 5 05'10 -"- ° 1!(2.3,14.1,05 ° 10 44) Гц=4 27 10т Гц, или ~,=42,7 МГц. Задачи Электроны в металле.
Распределение Ферми — Дирака 51.1. Определить концентрацию и свободных электронов в металле при температуре Т=О К. Энергию Ферми е принять равной 1 эВ. 51.2. Определить отношение концентраций и,/пз свободных электронов при Т=-0 в литии и цезни, если известно, что уровни Ферми в этих металлах соответственно равны е,,=4,72 эВ, ел а —— =1,53 эВ. 51.3. Определить число свободных электронов, которое приходится на один атом натрия при температуре Т=О К.
Уровень Ферми еу для натрия равен 3,12 эВ. Плотность р натрия равна 970 кг!мз. В реальных образцах магнитное поле В, действующее на ядро, отличается от внешнего постоянного поля Вз на величину Вд поля, создавземого в месте нахождения ядра злектронамн и ядрами всех молекул образца, в том числе и той, к которой принадлежит данное ядро. В условиях данной задачи полем Вз мы пренебрегаем. 466 51.4. Во сколько раз число свободных электронов, приходящихся на один атом металла при Т=-О, больше в алюминии, чем в меди, если уровни Ферми соответственно равны е,==11,7 эВ, ел,-—— =7,0 эВ? 51.5. Определить вероятность того, что электрон в металле займет энергетическое состояние, находящееся в интервале Ле=0,05 эВ ниже уровня Ферми и выше уровня Ферми, для двух температур: 1) Т,=290 К; 2) Т,=58 К.
51.6. Вычислить среднюю кинетическую энергию (е) электронов в металле при температуре Т=О К, если уровень Ферми ег — 7 эВ. 51.7. Металл находится при температуре Т= — 0 К. Определить, во сколько раз число электронов с кинетической энергией от зг'2 до ег больше числа электронов с энергией от 0 до ег'2. 51.8.
Электроны в металле находятся при температуре Т=-0 К. Найти относительное число ЛЛ'ЙЧ свободных электронов, кинетическая энергия которых отличается от энергии Ферми не более чем на 2 88. 51.9. Оценить температуру Т„, вырождения для калия, если принять, что на каждый атом приходится по одному свободному электрону. Плотность р калия 860 кг!м'. 51.10. Определить отношение концентрации п,„электроиов в металле (при Т=О К), энергия которых отличается от максимальной не более чем на Ле, к концентрации п,„электронов, энергии которых не превышают значения а=Ле; Ла принять равным 0,01ег, 51.11. Зная распределение бп (е) электронов в металле по энергиям, установить распределение Йп(р) электронов по импульсам.
Найти частный случай распределения при Т=О К. 5! .12. По функции распределения бп (р) электронов в металле по импульсам установить распределение Йп(о) по скоростям: 1) при любой температуре Т; 2) при Т=О К. 51.13. Определить максимальную скорость о,„электронов в металле при Т=О К, если уровень Ферми аг-- — -5 эВ. 51.14. Выразить среднюю скорость (о) электронов в металле при Т=О К через максимальную скорость о,„. Вычислить (о) для металла, уровень Ферми ег которого при Т=-О К равен 6 эВ. 51.15.
Металл находится при температуре Т=О К. Определить, во сколько раз число электронов со скоростями от о,„'2 до о,„ больше числа электронов со скоростями от 0 до о„,„.'2. 51.!6. Выразить среднюю квадратичную скорость г' (о') электронов в металле при Т=О К через максимальную скорость о,„электронов. Функцию распределения электронов по скоростям считать известной. 51.17: Зная распределение дп(о) электронов в металле по скоростям, выразить (1Ъ) через максимальную скорость о,„электронов в металле. Металл находится при Т=О К.
467 Полупроводники. Эффект Холла 51.18. Определить уровень Ферми ех в собственном полупроводнике, если энергия ЛЕ, активации равна 0,1 эВ. За нулевой уровень отсчета кинетической энергии электронов принять низший уровень зоны проводимости. 51.19. Собственный полупроводник (германий) имеет при некоторой температуре удельное сопротивление р=0,48 Ом м. Определить концентрацию и носителей заряда, если подвижности б„и Ь„ электронов и дырок соответственно равны 0,36 и 0,16 м'l(В.с).
51.20. Удельная проводимость у кремния с примесями равна 112 См'м. Определить подвижность Ь, дырок и их конпентрацию п,„если постоянная Холла Вн=3,66 !О 4 м'!Кл. Принять, что полупроводник обладает только дырочной проводимостью. 51.21. В германии часть атомов замещена атомами сурьмы. Рассматривая дополнительный электрон прнмесного атома по модели Бора, оценить его энергию Е связи и радиус г орбиты. Диэлектрическая проницаемость в германия равна 16. 51.22. Полупроводник в виде тонкой пластины шириной 1=-1 см и длиной Е==-!О см помещен в однородное магнитное поле с индукцней В=0,2 Тл. Вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости пластины.
К концам пластины (по направлению й) приложено постоянное напряжение (/=300 В. Определить холловскую разность потенциалов (7н на гранях пластины, если постоянная Холла Пн — 0,1 мЧКл, удельное сопротивление р=-0,5 Ом м. 5!.23. Тонкая пластина из кремния шириной 1=-2 см помещена перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля ( — 0,5 Тл). При плотности тока 1=2 мкй!мм', направленного вдоль пластины, холловская разность потенциалов (/н оказалась равной 2,8 В.
Определить концентрацию и носителей заряа. Магнитный резонанс 51.24. Определить гиромагнитное отношение у для свободного электрона. 5!.25. Свободный электрон находится в постоянном магнитном поле (В,= 1 Тл). Определить частоту т, переменного магнитного поля, при которой происходит резонансное поглощение энергии электроном (д-фактор для свободного электрона равен 2).
51.26. Определить отношение соэпг!ы„„„ резонансной частоты электронного парамагнитного резонанса к циклотронной частоте (д-фактор равен 2,00232). 51.27. Стандартные спектрометры для наблюдения электронного парамагнитного резонанса (ЭПР) имеют на одном из диапазонов фиксированную частоту ч,=9,9 ГГц. Определить магнитную индукцию поля В„ при которой происходит резонансное поглощение энергии радиочастотного поля свободным электроном (д-фактор равен 2). 51.28. Определить гиромагнитное отношение у для свободного протона. 51.29. Свободный протон находится в постоянном магнитном поле (В,=-1 Тл).
Определить частоту т„переменного магнитного поля, при которой происходит резонансное поглощение энергии протоном (д-фактор равен 5,58). 51.30. В опытах по изучению магнитным резонансным методом магнитных свойств атомов мМй в основном состоянии обнаружено резонансное поглощение энергии при магнитной индукции В, поля, равной 0,54 Тл, и частоте ъ, переменного магнитного поля, равной 1,4 МГц. Определить ядерный п-фактор. 51.31.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
