Chertov (523131), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Вычислить максимальную силу Е,„, возвращающую атом твердого тела в положение равновесия, если коэффициент гармоничности ))=-50 Н~м, а коэффициент ангармоничности 7=500 ГГ1а. 50.66. Определить силу Р (соответствующую максимальному смещению), возвращающую атом в положение равновесия, если амплитуда тепловых колеоаний составляет 5 34 от среднего межатомного расстояния при данной температуре. При расчетах принять: коэффициент гармоничности р=50 Н/м, коэффициент ангармоничности 7=500 ГПа, среднее межатомное расстояние г,=0,4 нм. 50.67. Каково максимальное изменение ЛП,„потенциальной энергии атомов в кристаллической решетке твердого тела при гармонических колебаниях, если амплитуда тепловых колебаний составляет 5 % от среднего межатомного расстояния? Среднее расстояние г, между атомами принять равным 0,3 нм, модуль К)нга Е=100 ГПа.
50.68. Показать, что если смещение частиц в кристаллической решетке твердого тела подчиняется закону Гука Р(х)= — рх, то тепловое расширение отсутствует. 50.69. Определить коэффициент гармоничности () в уравнении колебаний частиц твердого тела, если равновесное расстояние г, между частицами равно 0,3 нм, модуль Юнга Е=200 ГПа. 50.70. Оценить термический коэффициент расширения ы твердого тела, считая, что коэффициент ангармоничности уж(),'(2 г,), При оценке принять: модуль Юнга Е=100 ГПа, межатомное расстояние г,=0,3 нм. 50.71. Вычислить коэффициент аигармоннчности у для железа, если температурный коэффициент линейного расширения а= =1,2 10 ' К ', межатомное расстояние г,=0,25 нм, модуль Юнга Е=-200 ГПа. 50.72.
Определить, на сколько процентов изменится межатомное расстояние в твердом теле (при нагревании его до Т=400 К) по сравнению с равновесным расстоянием г;=0,3 нм, отвечающим минимуму потенциальной энергии. При расчетах принять 7=()!(2 г,), модуль Юнга Е=10 ГПа, 50.73. Оценить термический коэффициент расширения а твердого тела, обусловленного фононным давлением (в области Т((0о). При оценке принять: плотность р кристалла равной 104 кг!м', модуль Юнга Е=100 ГПа, относительную атомную массу А,=60.
5 51. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ Основные формулы Злектроны в металле (по квантовой статистике) чв Распределение Ферми по энергиям для свободных электронов в металле: ! р 2т'тара е'- "Ве пРи Т ч= О дп (е) — 2 —,, —,,„(! )!(й T))+ ! 4 ! /2злдзм при Т=-О Нп(е)=.— ~ — ) еыене (при е ч. ер), 2лз( йа ) где йп(е) — концентрация электронов, энергия которых заключена в интервале значений от е до е+йе; т и е — масса и энергия электрона; еу — уровень (или энергия) Ферми. ° Уровень Ферми в металле при Т=О йа ер — — — (3 пап) "'. 2т ° Температура Таа вырождения 2япз лш Полупроводники ° Удельная проводимость собственных полупроводников у=еп (Ь„+(тр), где е — заряд электрона; и — концентрация носителей заряда (электронов и дырок); б„и бр — подвижности электронов и дырок. Напряжение Пн на гранях образца при эффекте Холла Пн = )т нВ!'(, где Ян — постоянная Холла;  — индукция магнитного поля; ! — ширина пластины; ! — плотность тока.
° Постоянная Холла для полупроводников типа алмаза, крем- ния, германия и др., обладающих носителями заряда одного вида (и или р), Зл 1 )т'н = — —,, 8 ел' где п — концентрация носителей заряда. Магнитный резонанс ° Магнитный момент ядра ' р ! =- а' )' ! (! + 1) где а — ядерный фактор Ланде (д-фактор); р, — ядерный магие. тон (!ь,=еЬ(2 тнр)); тр — масса протона; ! — спиновое квантовое число ядра (сп!!н ядра). " Магнитвым моментом ядра называ~от также максимальное значение проекции магнитного момента ядра на направление вектора магнитной индукции внешнего поля, т. е.
В=ремаз=йрн1 461 ° Связь магнитного момента ядра с моментом импульса .У) ядра р) = 7-2 г где у — гиромагнитное отношение (у=дрт4) и .~,=й~ «~+~~. ° Проекция магнитного момента ядра на направление вектора магнитной индукции внешнего поля р, =др,~)п;, где и) — спиновое магнитное квантовое число ядра, п))=1, 1 — 1,...
— 1. ча Круговая частота е), переменного магнитного поля, при ко- торой происходит резонансное поглощение энергии, ыо — 7Во, где В, — магнитная индукция внешнего постоянного магнитного поля. ° Отношение заселенностей энергетических уровней (в отсутст- вие высокочастотного поля) — е-(а,— а,) тег) Л'~ где 1)), — заселенность энергетического уровня Е;, 1)), — заселен- ность энергетического уровня Е;, Е, -Е,.
Примеры решения задач Пример 1. Кусок металла объема г'=20 см' находится при температуре Т=0. Определить число Л1ъ) свободных электронов, импульсы которых отличаются от максимального импульса р,„не более чем на 0,1 р,„. Энергия Ферми ее=5 эВ. Р е ш е н и е. Для того чтобы установить распределениесвободных электронов в металле по импульсам, воспользуемся распределением Ферми для свободных электронов при Т=О дп (е) = — — ' е'и де 1 /2ттые 2л'~ фа ) (1)' Так как Йп(е) есть число электронов в единице объема, энергии которых заключены в интервале значений от е до е+бе (е(е ), то оно должно быть равно числу электронов дп (р) в единице объема, заключенных в интервале значений импульса от р до р+др, т.
е. дп (р) =дп (е). (2) При этом должно соблюдаться следующее условие. Данной энергии е соответствует определенный импульс р(е=р'!(2п))) и интервалу энергии де отвечает соответствующий ему интервал импульсов др(бе =- ~ ))р). Заметив, что еи'= — р/(2п))и', подставим в правую часть равенства (2) вместо дп (е) выражение (1) с заменой е на р и 462 с)е на с(р в соответствии с полученными соотношениями, т.
е. 1 /2м~3!2,3 19 с(и(р) = —,( — ) — бр. 2п«(, фд ) (2т) "2 т После сокращений получим искомое распределение свободных электронов в металле по импульсам при Т=О: Йп(р) = —, рдс(р. 1 Число электронов в единице объема, импульсы которых заключены в интервале от р „— 0,1 р,„до р,„, найдем интегрированием в соответствующих пределах: 32332 Ип = — ( рдс)р= р',„~! — (0,9)3~, или Ли = — ' п«ад 1 Зпддд 3,9Ртдд Учитывая, что максимальный импульс р,„и максимальная энергия е электронов в металле (при Т=О) связаны соотношением р'-,„= =2 тег, найдем искомое число с«М свободных электРонов в металле; — 3 2 О 2т! ~~~~,~3!2 Лй!= — '(2тег)312)г, или Лй2 = 2 ~ — ) Зпдпд З„д 4 Подставив значения величин и, пг, е~, 22 и $' и произведя вычисления (5 эВ=8 10 "Дж), получим с«М=-2,9.1023 электронов. Пример 2.
Образец из германия и-типа в виде пластины длиной Е= 10 см и шириной 1=6 мм помещен в однородное магнитное поле (В=-0,1 Тл) перпендикулярно линиям магнитной индукции. При напряжении (1=250 В, приложенном к концам пла- ! стины, возникает холловская разность потенциалов (1н= д =8,8 мВ. Определить: 1) постоянную Холла 233н, 2) концентрацию п„ носителей тока. Удельную проводимость у гер- 2) мания принять равной 80См1м.
Решение. 1. При помещении полупроводника в магнитное поле (рис. 51.1) Рис. З!.1 носители тока (в полупроводнике п-типа это электроны), перемещающиеся под действием при. ложенной к нему разности потенциалов (/, будут отклоняться в поперечном направлении. Это отклонение, вызванное силой Лоренца„ приведет к «накоплению2 заряда на боковых поверхностях образца, причем создаваемое в результате этого напряжение 12'н (холловская разность потенциалов) действием своим будет уравновешивать силу Лоренца.
Холловская разность потенциалов определяется соотношением (!н = йнВ11, 463 откуда постоянная Холла йг! =- — и . '(1) в!! Плотность тока 1 найдем, воспользовавшись законом Ома в дифференциальной форме: ]'=ТЕ, где Š— напряженность поля в образце. Считая поле в образце однородным, можно написать Е=(бЕ и тогда и 1=7~ Подставив плотность тока в выражение (1), получим иит. ]сн = —,. вит! ' (2) Убедимся в том, что правая часть равенства (2) дает единипу постоянной Холла (м'!'Кл): [и н] [Ц 1 В.1 м [В] [и] [т] [1] 1 Тл ! В.! См/м ! м 1 Тл 1 См 1 А ! м 1 м.1 В 1 Лж 1 ме 1Н ° 1А 1Н 1Кл Выразим все величины в единицах СИ ((!и=8,8 10 ' В, Е= =0,1 м, В=-О,! Тл, Е[=250 В, у — 80 См,'м, 1=6 1О ' м) и произведем вычисления: 2.
Концентрацию и носителей тока в полупроводнике одного типа (в нашем случае и-типа) можно найти из соотношения Зл ! ~Н Я ел~ где е — элементарный заряд. Отсюда Зл М~~е ' Произведя вычисления, получим и=-10" электронов1м' Пример 3. Образец из вещества, содержащего эквивалентные ядра (протоны), находится в однородном внешнем магнитном поле (В=1 Тл).
Определить: 1) относительную разность заселенностей энергетических уровней при температуре Т вЂ” — -800 К; 2) частоту м„ при которой будет происходить ядерный магнитный резонанс. Экранирующим действием электронных оболочек и соседних ядер пренебречь. Р е ш е н и е. 1. В магнитном поле ядра приобретают дополнительную энергию, определяемую соотношением Е= — р,В, (1) где ре — проекция магнитного момента ядра на направление векто- 464 1иг=ь- 2 Рис. 51.2 ра В (ось Ог). Проекция магнитного момента ядра выражается формулой рг урл'глг где д — ядерный фактор Лэнде; пч — ядерный магнетон; и,— спиновое магнитное квантовое число ядра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
