Chertov (523131), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Но так как эти величины целочисленны, то они и будут являться индексами направления. Подставив в знаменатель выражения (1) значения ин- 7 дексов узлов т,=1, п,=О, р,=О и т,=О, п»=0, р,=-1, получим: т» — т,=Π— 1= — 1; Вв]1 п,— и, = — 0 — 0=-0; р.,— р,=[ — 0=-1. Таким образом, искомые [[ул!]1 индексы направления 11011. Пример 4. Написать индексы Миллера для плоскости, содержащей узлы с ин- Рис. 49.6 дексами П200П, ПО!ОП и П001П. Решетка кубическая, примитивная. Р е ш е н и е. Возможны два способа решения задачи.
1-й способ применим в тех случаях, когда узлы, принадлежащие плоскости, лежат одновременно и на осях координат (т. е. известны отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат). В данном случае узлы, принадлежащие плоскости, лежат на осях координат, и отрезки (в единицах постоянной решетки), отсекаемые на осях координат этой плоскостью, соответственно будут (рис.
49.6) 2, 1, 1. В соответствии с общим правилом нахождения индексов Миллера напишем обратные значения полученных чисел —; —; — и при- ! ! 1 2'Т'Т ведем их к наименьшему целому кратному этих чисел. Для этого 445 умножим числа на два. Полученная совокупность значений, заключенная в круглые скобки, и есть искомые индексы Миллера (1, 2, 2). 2-й способ (аналитический) особенно удобен тогда, когда известные узлы не лежат на осях координат.
Этот способ является общим и применим во всех случаях. Известно, что индексы Миллера равны наименьшим целочисленным коэффициентам при переменных в уравнении плоскости. Поэтому решение задачи по определению индексов Миллера сводится, по существу, к отысканию уравнения плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через трн точки с координатами !(т1лно1)), Пт,л,р,П, (!т3л3р3!), дается определителем третьего порядка З вЂ” Р1' р3 — р, =О. Р3 — Р1 2 а=О х — т, у — л; т.— т л.— л 1 3 3 1 т3 т1 "3 л1 В нашем случае: т,=... р,=О; т,=О, л,=!, р,=О; т,=О, л,=О, л,=О. Подставляя значения индексов узлов в определитель, получим х — 2 у — О г — ΠΠ— 2 ! — ΠΠ— ΠΠ— 2 Π— О 1 — О х — 2 у г — 2 ! Π— 2 О 1 =О, или Разложим этот определитель по элементам первой строки: (х — 2) — у ! аа 2 — — О.
Задачи Элементарная ячейка. Параметра решетки 49.1. Сколько атомов приходится на одну элементарную ячейку: 1) примитивной решетки кубической сингонии; 2) объемно-центрированной решетки ромбической сингонии; 3) гранецентрированной решетки кубической сингонии; 4) базоцентрированной решетки ромбической сингонии; 5) примитивной решетки гексагональной сингонии; 6) гексагональной структуры с плотной упаковкой.
49.2. Определить число элементарных ячеек кристалла объемом У=! м'. 1) хлористого цезия (решетка объемно-центрированная кубической сингонии); 2) меди (решетка гранецентрированная ку- 446 Раскрывая определитель второго порядка, получим (х — 2) (+ 1) — у ( — 2) + г (+ 2) == О, или х+ 2у + 2г = 2. Выписав коэффициенты при х, у, г и заключив их в круглые скобки„ получим индексы Миллера (1, 2, 2).
Эти значения индексов, как и следовало ожидать, совпадают со значениями, полученными первым способом. бической сингонии); 3) кобальта, имеющего гексагональную структуру с плотной упаковкой. 49.3. Найти плотность р кристалла неона (при 20 К), если известно, что решетка гранецентрированная кубической сингонии. Постоянная а решетки при той же температуре равна 0,452 нм. 49.4.
Найти плотность р кристалла стронция, если известно, что решетка гранецентрированная кубической сипгонии, а расстояние й между ближайшими соседними атомами равно 0,43 нм. 49.5. Определить относительную атомную массу А, кристалла, если известно, что расстояние й между ближайшими соседними атомами равно 0,304 нм. Решетка объемно-центрированная кубической сингоиии. Плотность р кристалла равна 534 кггм'. 49.6. Найти постоянную а решетки и расстояние й между ближайшими соседними атомами кристалла: 1) алюминия (решетка гранецентрированная кубической сингонии); 2) вольфрама (решетка объемно-центрированпая кубической сиигонин), 49.7.
Используя метод упаковки шаров, найти отношение сга параметров в гексагональной решетке с плотнейшей упаковкой. Указать причины отклонения этой величины в реальном кристалле от вычисленного. 49.8. Определить постоянное а и с решетки кристалла магния, который представляет собой гексагопальную структуру с плотной упаковкой. Плотность р кристаллического магния равна 1,74 х х 1О' кг!м'.
49.9. Вычислить постоянную а решетки кристалла бериллия, который представляет собой гексагоиальную структуру с плотной упаковкой. Параметр а решетки равен 0,359 нм. Плотность р кристалла бериллия равна 1,82 1О' кг!м'. 49.10. Найти плотность р кристалла гелия (при температуре Т=2 К), который представляет собой гексагональную структуру с плотной упаковкой. Постоянная а решетки, определенная при той же температуре, равна 0,357 нм. Индексы узлов, направлений и плоскоспгей 49.11. Определить индексы узлов, отмеченных у на рис.
49,7 буквами А, В, С, Р. 49.12. Написать индексы направления прямой, проходящей в кубической решетке через начало координат и узел с кристаллографическими индексами, в двух случаях: 1) И242И; 2) И112И. 49.13. Найти индексы направлений прямых АВ, СР, КЕ, изображенных на рис. 49.8, а, б, в. 447 49.14.
Написать индексы направления прямой, проходящей через два узла с кристаллографическими индексами (в двух случаях): 1) И123П и И321П; 2) И121П и П20И!. 49.15. Вычислить период 1 идентичности вдоль прямой !111! в решетке кристалла МаС!, если плотность р кристалла равна 2,17 и х 1О' кг!м'. Рис. 49,8 49.16. Вычислить угол ср между двумя направлениями в кубической решетке кристалла, которые заданы кристаллографическимп индексами !110! и !111!.
49.!7. Написать индексы Миллера для плоскостей в примитивной кубической решетке, изображенных на рис. 49.9, а — е. Рис. 49.9 49.18. Плоскость проходит через узлы И100П, П010П, И001П кубической решетки. Написать индексы Миллера для втой плоскости. 49.19. Система плоскостей в примитивной кубической решетке задана индексами Миллера (221). Найти наименьшие отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат, и изобразить эту плоскосль графически.
49.29. Направление нормали к некоторой плоскости в кубиче- ской решетке задано индексами !110!. Написать индексы Миллера для этой плоскости и указать наименьпвие отрезки, отсекаемые плоскостью на осях. 49.21. Написать индексы Миллера для плоскостей, содержащих узлы с кристаллографическими индексами, в двух случаях: 1) П!11П, П112П, П101П; 2) П!11П, Н010П, П111П. Найти отрезки, отсекаемые этими плоскостями на осях координат. 49.22. Система плоскостей примитивной кубической решетки задана индексами (111).
Определить расстояние Н между соседними плоскостями, если параметр а решетки равен 0,3 нм. 49.23. Определить параметр а примитивной кубической решетки, если межплоскостное расстояние д для системы плоскостей, заданных индексами Миллера (212) при реитгеноструктурном измерении, оказалось равным 0,12 им. 49.24. Три системы плоскостей в примитивной кубической решетке заданы индексами Миллера: а) (111); б) (1!О); в) (100). Указать, для какой системы межплоскостные расстояния ~( минимальны и для какой системы — максимальны. Определить отношения межплоскостных расстояний Ам: А~в: в(,м. 49.26. Вычислить угол ~р между нормалями к плоскостям (в кубической решетке), заданных индексами Миллера (111) и (11!).
49.26. Две плоскости в кубической решетке заданы индексами Миллера (010) и (О!1). Определить угол ср между плоскостями, 49.27. В кубической решетке направление прямой задано индексами !011). Определить угол ч~ между этой прямой и плоскостью (1 ! 1). 49.28. Определить в кубической решетке угол г между прямой !111) и плоскостью (11!).
49.29. Плоскость в кубической решетке задана индексами Миллера (011), направление прямой — индексами !111). Определить угол Ч~ между прямой и плоскостью. 4 50. теплОВые сВОЙстВА Основные формулы ° Молярная внутренняя энергия химически простых (состоя- щих нз одинаковых атомов) твердых тел в классической теории теп- лоемкости выражается формулой И =ЗКТ, где Я вЂ” молярная газовая постоянная; Т вЂ” термодинамическая температура. ° Теплоемкость С системы (тела) при постоянном объеме опре- деляется как производная от внутренней энергии У по температуре, т.
е. С=йи1бт. ° Закон Дюлонга и Пти. Молярная теплоемкость С, химически простых твердых тел С =3!с. гз ьч 1ввв Ф Закон Неймана — Копна. Молярная теплоемкость химиче- ски сложных тел (состоящих из различных атомов) С,„=п ЗЯ, где и — общее число частиц в химической формуле соединения. ° Среднее значение энергии (в) квантового осциллятора, при- ходящейся на одну степень свободы, в квантовой теории Эйнштей- на выражается формулой тааа < >=в,+ 1 ехр [Ьн/(Йт)] — ! где в, — нулевая энергия (еа='/,Ьв); Й вЂ” постоянная Планка; а — круговая частота колебаний осциллятора; й — постоянная Больцмана; Т вЂ” термодинамическая температура. Э Молярная внутренняя энергия кристалла в квантовой теории теплоемкости Эйнштейна определяется по формуле е, и.=и.,+ з)< где У а='/,Лев — молярная нулевая энергия по Эйнштейну; Он=тасос — характеристическая температура Эйнштейна.
° Молярная теплоемкость кристалла в квантовой теории тепло- емкости Эйнштейна О) ('еа') р(ваарт) ~, т ) (вар(Ек!т) — О ' При низких температурах (Т«ев) С =ЗЯ (О УТ) ехр ( — О (Т). ° Частотный спектр колебаний в квантовой теории теплоемко- сти Дебая задается функцией распределения частот я(в). Число йЯ собственных частот тела, приходящихся на интервал частот от гв до в+два, определяется выражением Ы=д(в)дт. Для трехмерного кристалла, содержащего Ф атомов, а дЛ Нтах где а,„— максимальная частота, ограничивающая спектр коле- баний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
