Chertov (523131), страница 87
Текст из файла (страница 87)
СТРОЕН И Е АТОМА Основные формулы Э Уравнение Шредингера для стационарных состояний в сфе- рических координатах ! д!',~~Ч) ! ~ ! д !' . дЕ'), ! деЦ 2т ее ач', дг! ее ', ею д дд (, дд7 ' з!пед до'1! 4е — —,, г' — 1-! —.! — — з!пб —,)+ —,, —,1+ — '(Š— (/)ф=0, где ф — ф(г, б, ер) — волновая функция; Š— полная энергия части- цы; (У вЂ” потенциальная энергия частицы (являющаяся функцией координат).
° В атоме водорода (или водородоподобном ионе) потенциаль- ная энергия (7(г) имеет вид хе' (7(г) = — —, 4аеее где 2 — зарядовое число; е — элементарный заряд; е, — электри- ческая постоянная. ° Собственное значение энергии Е„ электрона в атоме водорода хее'т Е„=— З2аее~йеаа где Й вЂ” постоянная Планка, п — главное квантовое число (л= ==1, 2, 3, ...).
° Символическая запись ф-функции, описывающей состояние электрона в атоме водорода, Фьл (г, б, ер), где и, 1, т — квантовые числа: главное, орбитальное, магнитное, Вероятность ЙЮ' того, что электрон находится в области, огра- ничешюй элементом объема о'г', взятого в окрестности точки с коор- динатами г, б, ~р, ц !и =! ф. (г, б, т) ~' Л', где о'г'=г'з!п 0 брб!Рбе (в сферических координатах). В з-состоянии (1 — О, т=0) волновая функция сферически-сим- метричная (т.
е. не зависит от углов б и !Р). Нормированные собственные ф-функции, отвечающие з-состоя- нию (основному) и 2з-состоянию, — е/а — — П(ее) ф1ее(г) = е-'м и ф„,(г)= . (2 — — )е-'«еа>, р пае 4У2пае (, а) 422 или в атомных единицах трнее (р) =. — е -о и трмз (р) = = (2 — р) е-мз, 1 1 и' и 4г' 2п где в качестве единицы длины принят боровский радиус а= —,' =-52,9 пм. При таком выборе единицы длины расстояние 4яеео е'гп от ядра р=-=г~а будет выражаться в безразмерных единицах длины, называемых атомными единицами. Вероятность б'йт найти электрон в атоме водорода, находящемся в эсостоянии, в интервале (г, г — , 'с(г) одинакова по всем направлени- ям и определяется формулой б Ж' = ) ту,ь е,, (г) 1е 4пгз б г.
Ф Орбитальные момент импульса и магнитный момент элек- трона: 9', = а 'Н' 1(1 + 1), Н, = Нв ) '1 (1 + 1), где 1 — орбитальное квантовое число, которое может при- нимать значения О, 1, 2, ..., (и — 1); рв — магнетон Бора: ( = — '- На — — - — —— 0,927 10 ззДж!Тл) . В 2,п Ф Проекции орбитальных момента импульса и магнитного мо- мента на направление внешнего магнитного поля (совпадающего с осью Е): .Уь,=Ьт„рп,= Нвт,. ° Гиромагнитное отношение для орбитальных магнитного и механического моментов Нг Нг, 1'в 1 е ° Спин" и спиновый магнитный момент электрона: .У,=Ь)Гз(з+ 1), Н,=2рв)ггз(з+ 1), ГДЕ З вЂ” СПИНОВОЕ КнаитОВОЕ ЧИСЛО (З='1з). Ф Проекции спиновых момента импульса и магнитного момента на направление внешнего магнитного поля (совпадающего с осью Е): .2г,, = Ьт„р,, = 2рвт„ где т, — спиновое магнитное квантовое число (т,= — х/„ +'/,) ° Гиромагнитное отношение для спиновых магнитного и механического моментов Нг Них Нв е — = — =2 — = —.
Хз Хое й т' * Спином называется собственный момент импульса электрона и других элементарных чзствц. Спин не связан с перемещением частицы кзк целого и имеет квантовую природу. Спин выражается в единицах постоянной Планка К 423 Ф Распределение электронов по состояниям в атоме записывается с помощью спектроскопических символов: Значение побочного кван- ового числа Спектроскопический сим- вол Электронная конфигурация записывается следующим образом: число, стоящее слева перед спектроскопическим символом, означает главное квантовое число п, а сам спектроскопический символ отве- чает тому или иному значению орбитального квантового числа 1 (например, обозначению 2р отвечает электрон с и=-2 и 1==1; 2ра означает, что таких электронов в атоме 2, и т.
д.), ° Принцип Паули. В атоме не может находиться два (и более) электрона, характеризуемых одинаковым набором четырех кванто- вых чисел: п, 1, гпь т,. ° Полный момент импульса электрона -У = Й 1 (! + 1), где 1' — внутреннее квантовое число ()с — 1+1т2, 1 — 112), ° Полный орбитальный момент атома 2,=ЬР'Т. (Т.+1), где 1.
— полное орбиталыюе квантовое число. ° Полный спиновый момент атома .2 в= Й)Г5(5+1), где 5 — полное спиновое квантовое число. Э Полный момент импульса атома .2,=БР'УУ+ 1), где У вЂ” полное внутреннее квантовое число. ° Символическое обозначение состояния атома (спектральный терм) азат г / где 25+1 — мультиплетность. Вместо полного орбитального кван- тового числа А пишут символ в соответствии с таблицей; Значение Символ г Пример.
Терм 'Р„а расшифровывается следующим образом: мультиплетность 25+! — 2; следовательно, 5=1т2, символу Р соответствует 1.=-1, а и'=3/2. ° Магнитный момент атома 424 р г = Кр в 1' У (( -, '1), где л' — множитель (или фактор) Ланде, ,г (г' + 1) + 5 (5+ ) ) — Е (Д+ ) ) а — '+ 2,( (1+ 1) ° Проекция магнитного момента атома на направление внешне- го магнитного поля (совпадающего с осью Л) рл г= ьрвтл где тэ — полное магнитное квантовое число (тг=1, У вЂ” 1, — у). ° Сила, действующая на атом в неоднородном магнитном поле, дВ Ех д рэг где дВ'дг — градиент магнитной индукции.
° Частота ларморовой прецессии егл =- еВг'(2т), где т — масса электрона. ° Энергия атома в магнитном поле Š— — рэ,В. Ф Величина расщепления спектральной линии при эффекте Зеехгана: а) сложном (аиомальном) Лы — (т)й" — пг)й') ыл, где пг", пг', и д", д' — магнитные квантовые числа и множители Ланде соответствующих тернов; б) простом (пормальном) Лгв = О, и. ыл. ° Правила отбора для квантовых чисел 5, Е,,г' и тз, т, т: ЛВ =- 0; Лтз =-- О; И.
=- ~1; Лтг ==- О, ~1; ЛХ вЂ” О, ~1; Лтэ=О, )-1. Не осуществляются переходы г' — 0 — ~-)=О, а при г'=Π— пере- ходы т =-0 — пг =-О, Примеры решения задач Пример 1. Атом водорода находится в состоянии !е. Определить вероятность Ж' пребывания электрона в атоме внутри сферы ради- усом г=0,1 а (где а — радиус первой боровской орбиты). Волновая функция, описывающая это состояние, считается известной.
Р е ш е н и е. Вероятность обнаружить электрон в окрестности точки с координатами г, О, г(г в объеме г))г определяется равенством г (О б, гр) ('г()г, В 1з-состоянии волновая функция ф сферически симметрична, т. е. зависит только от г, и поэтому г)(р =) гргао(г)1 гзз где ф„„(г) — собственная нормированная волновая функция, от- 1 вечающая основному состоянию: ф„,(г) ==е-«~".
яио Благодаря сферической симметрии ор-функции вероятность обнаружить электрон на расстоянии г одинакова по всем направлениям. Поэтому элемент объема 6(г, отвечающий одинаковой плотности вероятности, можно представить в виде объема сферического слоя радиусом г и толщиной Йг: дГ=4я«Ч«. С Учетом выРажений ф„о(г) и б!г фоРмУла (1) запишетсЯ в виде ! 1о „4 о((Р' =-~ е-'1' ~ 4лго бг ==- —., е ооь«о«!г. ),«д„з ~ ао При вычислении вероятности удобно перейти к атомным единицам, приняв в качестве единицы длины радиус первой боровской орбиты а.
Если ввести безразмерную величину р=г!а, то г'=-роа', бг а бр и бЖ«=-4е-'ор'бр. Вероятность найдем, интегрируя б Ж' в пределах от «„=0 до г,= =0,1 а (или от р,=О до р,=0,1): о. ~ (12 =-=4 ~ р'е 'о бр. о Этот интеграл может быть точно вычислен интегрированием по частям, однако при малых р (р „=О,!) выражение е оо можно разложить в ряд Маклорена: 1 е-'о =- 1 — 2р+ —, (2р)' —... и произвести приближенное вычисление. Пренебрегая всеми членами степени выше первой, запишем интеграл в виде о,~ о,~ о,~ %'=-4 ~ (1 — 2р)робр= — 4 ~ родр 8 ~ робр о о о Первый и второй интегралы дают соответственно результаты 4~з~ = — 10 о и 8~4~ =0,210 Таким образом, искомая вероятность Ф'=-1,33 10 ' — 0,2.10 '=1,13 1О '.
Пример 2. Электрон в возбужденном атоме водорода находится в 3 р-состоянии. Определить изменение магнитного момента, обусловленного орбитальным движением электрона, при переходе атома в основное состояние. Р е ш е н и е. Изменение Лр~ магнитного момента найдем как разность магнитных моментов в конечном (основном) и начальном (возбужденном) состояниях, т. е. Лр~ — — р„— р ц.
Магнитный момент орбитального движения электрона зависит только от орбитального квантового числа й ро = рв )«1(1+ 1). 426 Отсюда имеем: в основном состоянии 1=0 и рм — 0; в возбужденном (Зр) состоянии 1=1 и рн=-ра~' 2. Следовательно, изменение магнитного момента (!р~= — рв р 2. Знак минус показывает, что в данном случае магнитный момент уменьшился. Подставив значение р,— 0,927 10 еа Дж(Тл, получим Лр, = — 1,3! 10 " Дж)Тл. Вопросы и задачи Апюм водорода 47.1. Уравнение Шредингера в сферической системе координат для электрона, находящегося в водородоподобном атоме, имеет вид ааеег г' Показать, что это уравнение разделяется на два, если волновую функцию представить в виде произведения двух функций; тР(г, Ь, ф) =)7 (г) )г(Ь, ер), где )7 (г) — радиальная и )г (О, ер) — угловая функции.
47.2. Уравнение для радиальной Р(г) функции, описывающей состояние электрона в атоме водорода, имеет вид е(ей 2 В)т Г 2() ! ((+!) ) — + — — + ~а+ —— ~~ г--о, ога г Вг ~ ' г ге где а, (з и 1 — некоторые параметры. Используя подстановку т (г)=— =гй(г), преобразовать его к виду 47.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
