Chertov (523131), страница 85
Текст из файла (страница 85)
46.1). Определить высо- !!г 1«)! ту потенциального барь. ! ера У, если известно, г что 4 % падающих на барьер электронов бтра- !а(р)=р !!ай жается. ! Решение. Коэф- ту 1 « фициент отражения р от низкого потенциального барьера выражается формулой !Ат — й,~а где й, и й, — волновые числа, отвечающие движению электронов в областях 1 и П (см. рис. 46.1) В области 1 кинетическая энергия электрона равна Е и волновое число йг=(1,4) 1/2тЕ.
Поскольку координата электрона не определена, то импульс электрона определяется точно и, следовательно, в данном случае можно говорить о точном значении кинетической энергии. В области П кинетическая энергия электрона равна Š— У и волновое число йа = (1,4) )У'2пт (Š— Ц. Коэффициент отражения может быть записан в виде * )г 2тŠ— г' 2т (Š— И) Р'2тЕ+ Г' 2гл (Š— сГ) ) Разделим числитель и знаменатель дроби на У2гпЕ: Решая уравнение относительно )г ~ — (ОЕ, получим У~ — иЕ=' ~ Р 1т1' Р Возведя обе части равенства в квадрат, найдем высоту потенциального барьера: и = [~ — (~~ге')']з. Подставив сюда значения величин и произведя вычисления, найдем 0=55,6 эВ. Пример 3. Электрон с энергией Е=4,9 эВ движется в положительном направлении оси х (рис. 46.3). Высота У потенциального барьера равна 5 эВ. При какой ширине с( барьера вероятность 1Р' проа хождения электрона через него будет равна 0,2? Р е ш е н и е.
Вероятность йг" прохождения частицы через потенциальный барьер по своему физическому л 1 смыслу совпадает с коэффициентом Рнс. 46.3 прозрачности О(Ю'=ау). Тогда веро- ятность того, что электрон пройдет через прямоугольный потенциальный барьер, выразится соотношением Ю' ж ехр ~ — — 'г' 2т Я вЂ” Е)д1, 2 Й где и — масса электрона. Потенцируя это выражение, получим 1п)Уг= — — Р 2т((/ — Е)с(. Х * В случае нвзкаго потенциального барьера йд и йа действительны, а знак модули можно опустить. Для удобства вычислений изменим знак у правой и левой части этого равенства и найдем й: й й 1и (11)Г) 2 )' 2т ((/ — Е) Входящие в эту формулу величины выразим в единицах СИ и произведем вычисления: й .=- 4,95 1О "м = 0,495 нм. Учитывая, что формула (1) приближенная и вычисления носят оценочный характер, можно принять й-0,5 нм.
Вопросы и задачи Уравнение Шредингера 46.1. Написать уравнение Шредингера для электрона, находя- щегося в водородоподобном атоме. 46.2. Написать уравнение Шредиагера для линейного гармони- ческого осциллятора. Учесть, что сила, возвращающая частицу в по- ложение равновесия, 1= — (зх (где )1 — коэффициент пропорцио- нальности, х — смещение). 46.3. Временная часть уравнения Шредингера имеет вид дЧ' Й вЂ” = Е*т'.
Найти решение уравнения. д1 46.4. Написать уравнение Шредингера для свободного электро- на, движущегося в положительном направлении оси Х со ско- ростью о. Найти решение этого уравнения, 46.5. Почему при физической интерпретации волновой функции говорят не о самой ф-функции, а о квадрате ее модуля фч? 46.6.
Чем обусловлено требование конечности ф-функции? 46.7. Уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет д'~ 2т вид — + — Я вЂ” Е) ф = О. Обосновать, исходя из этого уравнения, дк' йь требования, предъявляемые к волновой функции,— ее непрерыв- ность и непрерывность первой производной от волновой функции. 46.8. Может ли (ф(х)1' быть больше единицы? 46.9. Показать, что для ~-функции выполняется равенство )ф(х)~'=$(х)Ф"(х), где Ф*(х) означает функцию, комплексно сопряженную ф(х). 46.10. Доказать, что если 4(ьфункпия циклически зависит от 1 времени [т. е. Ч'(х,1) =-ехр( — — Е1)ф(х)~, то плотность вероят- Ф ности есть функция только координаты.
Одномерный бесконечно глубокий нотении льный яи(ик 46.11. Электрон находится в бесконечно глубоком прямоугольном одномерном потенциальном ящике шириной 1(рис. 45.4). Написать уравнение Шредингера и его решение (в тригонометрической форме) для области П (0(х(1). 415 46.12. Известна волновая функция, описывающая состояние электрона в потенциальном ящике шириной 1: ~р(х)= — С, гйп йх+ +С. ,соз йх. Используя граничные условия ~р(0)=0 н ~р(1)=-0, определить коэффициент С, и возможные значения волнового вектора и, при котором существуют нетривиальные 1 1 решения. 46.13.
Электрону в потенциальном ящи- Х .2г,4Г ке шириной 1 отвечает волновое число й= =-ппЛ (п=-1, 2, 3,...). Используя связь энергии Е электрона с волновым числом й, д . п=п гг получить выражение для собственных знах чений энергии Е„. 46.14. Частица находится в потенциальРис. 46.4 ном ящике. Найти отношение разности соседних энергетических уровней КЕ,, „ к энергии Е„частицы в трех случаях: 1) п=-3; 2) и=10; 3) и -+.оо. Пояснить полученные результаты. 46.15. Электрон находится в потенциальном ящике шириной 1= — 0,5 нм.
Определить наименьшую разность ХЕ энергетических уровней электрона. Ответ выразить в электрон-вольтах. 46.16. Собственная функция, описывающая состояние частицы в потенциальном ящике, имеет вид ф„(х) =Сз1п — х. Используя условия нормировки, определить постоянную С. 46.17. Решение уравнения Шредингера для бесконечно глубокого одномерного прямоугольного потенциального ящика можно записать в виде зр(х)=-С,есх +С,е "", где й=$' 2тЕ(й.
Используя граничные условия и нормировку ~р-функции, определить: 1) коэффициенты С, и С,; 2) собственные значения энергии Е„. Найти выражение для собственной нормированной ф-функции. 46.18. Изобразить на графике вид первых трех собственных функций ф„(х), описывающих состояние электрона в потенциальном ящике ширинои 1, а также вид Пр„(х)р. Установить соответствие между числом М узлов волновой функции (т. е. числом точек, где волновая функция обращается в нуль в интервале 0<х<1) и квантовым числом п. Функцию считать нормированной на единицу. 46.19. Частица в потенциальном ящике шириной 1 находится в возбужденном состоянии (и 2).
Определить, в каких точках интервала (О» х<1) плотность вероятности Я~.,(х)~с нахождения частицы максимальна и минимальна. 46.20. Электрон находится в потенциальном ящике шириной 1. В каких точках в интервале (0<х<1) плотность вероятности нахождения электрона на первом и втором энергетических уровнях одинакова? Вычислить плотность вероятности для этих точек. Решение пояснить графически. 46.21. Частица в потенциальном ящике находится в основном состоянии.
Какова вероятность (Р' нахождения частицы: 1) в средней трети ящика; 2) в крайней трети ящика? 4Щ 46.22. В одномерном потенциальном ящике шириной ! находится электрон. Вычислить вероятность )г' нахождения электрона на первом энергетическом уровне в интервале 1~4, равноудаленном от стенок ящика. 46.23. Частица в потенциальном ящике шириной ! находится в низшем возбужденном состоянии. Определить вероятность Ж' нахождения частицы в интервале 1!4, равноудаленном от стенок ящика. 46.24. Вычислить отнсппение вероятностей )г!!)Р'б нахождения электрона на первом и втором энергетических уровнях в интервале 1'4, равноудаленном от стенок одномервой потенциальной ямы шириной /2 . ян 46.26. Показать, чтособственныефункции ф„(х) = ь' — з!и — х /2 .
ят и !!;,„(х) = )~ — з!и — 'х, описывающие состояние частицы в потенциальном ящике, удовлетворяют условию ортогональности, т. е. ! ~ ф„(х) ф (х) дх = 46.26. Электрон находится в одномерном потенциальном ящике шириной 1. Определить среднее значение координаты <х) электрона (О х<1). 46.27. Используя выражевие энергии Е,=пФРп'!(2т(') частицы, находящейся в потенциальном ящике, получить приближенное выражение энергии: 1) гармонического осциллятора; 2) водородоподобного атома. Сравнить полученные результаты с истинными значениями эвергий. Двух- и трехмерный потенциальный яи!ин 46.28.
Считая, что нуклоны в ядре находятся в трехмерном потенциальном ящике кубической нормы с линейными размерами 1=-10 фм, оцепить низший энергетический уровень нуклонов в ядре, 46.29. Определить из условия нормировки коэффициент С собстлт, ян„ венной бР-функции !Рт„(х, у) = С з!и — х з!п — у, описывающей Ф !б состояние электрона в двухмерном бесконечно глубоком потенциальном ящике со сторонами 1, и 46.30. Электрон находится в основном состоянии в двухмерном квадратном бесконечно глубоком потенциальном ящике со стороной 1.
Определить вероятность В' нахождения электрона в области, ограниченной квадратом, который равноудален от стенок ящика и площадь которого составляет '1, площади ящика. 46.31. Определить из условия нормировки коэффициент собственной !рфункции !рт„,,ь(х, у, г) = С з!и — 'хз)п — *уз1п"— 'г, опи!б !2 !3 сывающей состояние электрона в трсхмервом потенциальном бесконечно глубоком ящике со сторонами 1„ 4!7 14 ьэ !ббб Низкий * потенл(иальный барьер бесконечной ширины 46.32. Написать уравнение Шредингера для электрона с энергией Е, движущегося в положительном направлении оси Х для областей ! и !! (см, рис, 46.1), если иа границе этих областей имеется низкий потенциальный барьер высотой (!.
46.33. Написать решения уравнений Шредингера (см. предыдущую задачу) для областей ! и !!. Какой смысл имеют коэффициенты А„и В, для лр,(х) и А, и В, для лрл!(х)? Чему равен коэффициент В,? 46.34. Зная решение уравнений Шредингера для областей 1 и ?! потенциального барьера лр!(х)=-А,е" '+В,е —" *, фи(х)=А,е'"", определить из условий непрерывности лр-функций и их первых производных иа границе барьера отношение амплитуд вероятности В,!А, и Ал!А,, В, Ф,— Фл 46.35. Зная отношение амплитуд вероятности — =е „для 1 1+2 Ал 2ал волны, отраженной от барьера, и — = — для проходящей вол- А! ил+а, ны, найти выражение для коэффициента отражения р и коэффициента прохождения т. 46.36.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
