Chertov (523131), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Узкий пучок электронов, прошедших ускоряющую разность потенциалов У=30 кВ, падает нормально на тонкий листок золота, проходит через него и рассеивается. На фотопластинке, расположенной за листком на расстоянии 1=20 см от него, получена дифракционная картина, состоящая из круглого центрального пятна н ряда концентрических окружностей. Радиус первой окружности г==-3,4 мм. Определить: 1) угол 6 отражения электронов от мик- 408 рокристаллов золота, соответствующий первой окружности (угол измеряется от поверхности кристалла); 2) длину волны де Бройля ?, электронов; 3) постоянную а кристаллической решетки золота. Фазовая и групповая скорости 45.14. Прибор зарегистрировал скорость распространения электромагнитного импульса. Какую скорость зарегистрировал прпбор— фазовую или групповую? 45.15.
Можно ли измерить фазовую скорость? 45.16. Волновой «пакет» образован двумя плоскими монохроматическими волнами: К,(х, 1)=сов(1002 1 — Зх); $,(х, 1)=сов(1003 1 — 3,01 х). Определить фазовые скорости о, и о, каждой волны и групповую скорость и волнового «пакетам 45.17.
Известно, что фазовая скорость о=о»!й. Найти выражения фазовой скорости волн де Бройля в нерелятивистском и релятивистском случаях. 45.18. Фазовая скорость волн де Бройля больше скорости света в вакууме (в релятивистском случае). Не противоречит ли это постулатам теории относительности? 45.19. Зная общее выражение групповой скорости, найти групповую скорость и волн де Бройля в нерелятивистском и релятивистском случаях. 45.20. Написать закон дисперсии (т.
е, формулу, выражающую зависимость фазовой скорости от длины волны) волн де Бройля в нерелятивистском и релятивистском случаях. 45.21. Будут ли расплываться в вакууме волновые пакеты, образованные из волн: 1) электромагнитных; 2) де Бройля? Соотношение неопределенностей 45.22. Определить неточность Лх в определении координаты электрона, движущегося в атоме водорода со скоростью о — 1,5;; х10' м!с, если допускаемая неточность Лов определении скорости составляет 10% от ее величины. Сравнить полученную неточность с диаметром г( атома водорода, вычисленным по теории Бора для основного состояния, и указать, применимо ли понятие траектории в данном случае.
45.23. Электрон с кинетической энергией Т=- 15 эВ находится в металлической пылинке диаметром д= 1 мкм. Оценить относительную неточность Ло. с которой может быть определена скорость электрона. 45.24. Во сколько раз дебройлевская дтина волны?. частицы меньше неопределенности с»х ее координаты, которая соответ. ствует относительной неопредетенности импульса в 1 ",г«? 45.25. Предполагая, что неопределенность координаты движущейся частицы равна деоройлевской длине волны, определить относительную неточность Лр р импульса этой частицы. 409 45.26. Используя соотношение неопределенностей ЛхЛр )й, найти выражение, позволяющее оценить минимальную энергию Е электрона, находящегося в одномерном потенциальном ящике шириной !. 45.27. Используя соотношение неопределенностей ЛхЛр„)11, оценить низший энергетический уровень электрона в атоме водорода.
Принять линейные размеры атома ! 0„1 нм. 45.28. Приняв, что минимальная энергия Е нуклона в ядре равна ! 0 МэВ, оценить, исходя из соотношения неопределенностей, линейные размеры ядра. 45.29. Показать, используя соотношение неопределенностей, что в ядре не могут находиться электроны. Линейные размеры ядра принять равными 5 фм. 45.30. Рассмотрим следующий мысленный эксперимент. Пусть моноэнергетический пучок электронов (Т=!О эВ) падает на щель шириной а. Можно считать, что если электрон прошел через щель, то его координата известна с неточностью Лх=-а.
Оценить получаемую при этом относительную неточность в определении импульса Лр'р электрона в двух случаях: 1) а=10 нм; 2) а=0,1 нм. 45.31. Пылинки массой и=!О " г взвешены в воздухе и находятся в тепловом равновесии. Можно ли установить, наблюдая за движением пылинок, отклонение от законов классической механики? Принять, что воздух находится при нормальных условиях, пылинки имеют сферическую форму. Плотность вещества, из которого состоят пылинки, равна 2 10' кг!м'. 45.32. Какой смысл вкладывается в соотношение неопределенностей ЛЕЛГ=Ь2 45.33.
Используя соотношение неопределенности ЛЕЛ1=эй, оценить ширину Г энергетического уровня в атоме водорода, находящегося: 1) в основном состоянии; 2) в возбужденном состоянии (время т жизни атома в возбужденном состоянии равно !О ' с). 45.34. Оценить относительную ширину Лаям спектральной линии, если известны время жизни атома в возбужденном состоянии (т 10 ' с) и длина волны излучаемого фотона (Х 0,6 мкм). 45.35. В потенциальном бесконечно глубоком одномерном ящике энергия Е электрона точно определена. Значит, точно определено и значение квадрата импульса электрона (р'=-=2 тЕ). С другой стороны, электрон заперт в ограниченной области с линейными размерами 1.
Не противоречит ли это соотношению неопределенностей? $ 46. ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ХЧИКРОЧАСТИЦ Основные формулы ° Одномерное временнбе уравнение Шредингера ,х ДЧс фз даЧ~ чя 2т дх'"' ' где ! — мнимая единица (! — !); и — масса частицы; Ч'(х, !)— волновая функция, описывающая состояние частицы. 4!О Волновая функция, описывающая одномерное движение свобод- ной частицы, аг (х, 1) = Аехр — (рх — Е1 ), $ где А — амплитуда волны де Бройля; р — импульс частицы; Е— энергия частицы.
Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состоя- ний —,„,, +Г(Š— Ц) ф=о, 4аа)а 2т где Š— полная энергия частицы; У(х) — потенциальная энергия; ф(х) — координатная (или амплитудная) часть волновой функции. Для случая трех измерений ар(х, у, г) уравнение Шредингера записывается в виде даат даат даф 2т д а + д а +,у а + — (Š— У) а(а = О, или в операторной форме Лар+ т(Š— И) ф = О, да да да где аа = — + — + —.— оператор Лапласа.
дха дуа дга При решении уравнения Шредингера следует иметь в виду стан- дартные условия, которым должна удовлетворять волновая функ- ция: конечность (во всем пространстве), однозначность, непрерыв- ность самой ар-функции и ее первой производной. ° Вероятность б)Р' обнаружить частицу в интервале от х до х+бх (в одномерном случае) выражается формулой н)у' = ! ар (х) 1а Йх, где 1ар (х) 1а — плотность вероятности. Вероятность )Р' обнаружить частицу в интервале от х, до х, находится интегрированием ЙВ' в указанных пределах: а, Я7= ~ (ф(х) (абх, а, ° Собственное значение энергии Е„частицы, находящейся на п-м энергетическом уровне в бесконечно глубоком одномерном прямоугольном потенциальном ящике, определяется формулой л4' Е„= — ап' (п=1,2, 3, ...), где а — ширина потенциального ящика.
Соответствующая этой энергии собстненная волновая функция имеет вид яп ф. (х) = ~/ — з1п 1 х. 41! Ф Коэффициент преломления и волн де Бройля на границе низкого потенциального барьера бесконечной ширины * (рис. 46.1) т„т Аа п=~„=й, где )с, и 1.,— длины волн де Бройля в областях 1 и П (частица дви- жется из области ! во П); й,— й,— !г!а! соответствующие значения волновых чисел. Ф Коэффициенты отражения р и Е пропускания т волн де Бройля через !г низкий (У(Е) потенциальный барь- х ер бесконечной ширины д !уяллца барлетт — =.,+," где й, и А, — волновые числа волн де Бройля в областях ! и П. © Коэффициент прозрачности й прямоугольного потенциального барьера конечной ширины !! = ехр ~ — — )г 2лт ((/ — Е) с(~, Ь где 1! — высота потенциального барьера; Š— энергия частицы; д — ширина барьера, Примеры решения задач Пример 1.
Электрон находится в бесконечно глубоком одно- мерном прямоугольном потенциальном ящике шириной 1. Вычис- лить вероятность того, что электрон, находящийся в возбужденном состоянии (и=-2), будет обнаружен в средней трети ящика. Р е ш е н и е. Вероятность )1т обнаружить частицу в интервале хг(х(хя определяется равенством к. 1г'= ~ )ф„(х) )Ядх, (1) к, где арч(х) — нормированная собственная волновая функция, отве- чающая данному состоянию, Нормированная собственная волновая функция, описывающая состояние электрона в потенциальном ящике, имеет вид тра (х) = )l — з1п †' х.
Возбужденному состоянию (и= — 2) отвечает собственная функция фа(х) =- ~гг — з1п — х. (2) такой барьер называют также потенциальной ступенью, если при переколе нз области ! а область !! потенциальная энергия частицы уменьюасася. 412 Подставив фа(х) в подынтегральное выражение формулы (1) и вынося постоянные величины за знак интеграла, получим к, )и'= — л! з!п' — 'хдх. 2Г.,2л (3) к, Согласно условию задачи, хт=г!,! и х,==ту,! (рис, 46.2). Подставим эти пределы интегрирования в формулу (3), произведем замену 2л ! !' 4л з!и' — 'х= — (1 — соз — х) и разобьем интеграл на два: 2 и,з г и~з зрз !а«= — ~ з1п — хг(х=- — т ~ г(х — ~ соз — хпх~ = Гтэ тз !1з ! !1 1 . 4л Роз! ! ! 1 .
8л . 4л'! = — с — — 3!и — х ~ у —.= — — — ( ейп —" — з!и — ' 1 ( 3 4л 1 !цз 1 3 4л (, 3 3 8л . л 4л . л Заметив, что з!и — = 3!п —, а ейп — = — зш —, получим 3 3 ' 3 3 ' )ее == 0,195. 1 2 «,=-1 «г=-1 5 Рис. 46.2 * Прямоугольный потенциальный барьер называется нвзким, если энергия Е частицы больше высоты 1/ потенциального барьера, в противном случае барьер называется высоким. 4!3 Пример 2. Моноэнергетический поток электронов (Е=-100 эВ) падает на низкий " прямоугольный потенциальный барьер бесконечной ширины (рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
