Chertov (523131), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Ь Групповая скорость волн де Бройля дм и=— ал ' Ь Соотношения де Бройля: Е=йсз; р=Ггк, где Š— энергия движущейся частицы; р — импульс частицы; й— волновой вектор; ~1с ~==А=2л!А; й — постоянная Планка (и= =А)(2п)=1,05.10 " Дж.с). ° Соотношения неопределенностей: а) для координаты и импульса частицы Лр,Лх)Й, где Лр„— неопределешюсть проекции импульса частицы наосьх; Лх — неоп- ределенность ее координаты; б) для энергии и времени ЛЕЛГ)Н, где ЛŠ— неопределенность энергии данного квантового состояния; Л1 — время пребывания системы в этом состоянии. 403 Примеры решения задач Пример 1. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов (/.
Найти длину волны де Бройля Л для двух случаев: !) (/,— 5! В; 2) (/,=— =510 кВ. Р е ш е н и е. Длина волны де Бройля Л частицы зависит от ее импульса р н определяется формулой Л= 2пгг/р, (1) Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетическая энергия Т. Связь импульса с кинетической энергией для не- релятивистского (когда Т«Е,) и для релятивистского (когда Тж мЕ,) случаев соответственно выражается формулами: Р = )/2п1оТ; р== — (Г(2Е,+ Т) Т. (2) (3) 404 Формула (1) с учетом соотношений (2) н (3) запишется соответ- ственно в нерелятивистском и релятивистском случаях: (4) м (5) (1г'с) )/ (2Е, ~- Т)Т Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов (/о=51 В и (/о=-510 кВ, с энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим вопрос, которую из формул (4) и (5) следует применить для вычисления длины волны де Брайля.
Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего ус- коряющую разность потенциалов (/, Т= )е )(/. В первом случае Т,=-)е )(/г=б! эВ=0,5! 10 ' МэВ, что много меньше энергии покоя электрона Е,==гп,ео — 0,51 МэВ. Следователь- но, можно применить формулу (4). Для упрощения расчетов заметим, что Т, 10 ' гп,с'. Подставив это выражение в формулу (4), перепишем ее в виде 2яй 1Оо 2ггй )' 2сго.!О-опгос )' 2 пгос 12пдч Учтя, что ~ — ~ есть комптоновская длина волны Лс, получим по ос Лг=(10 $' 2) Лс. Так как Лс — -2,43 10 " м, то 1О' Л =. = 2,43 10 "м = 172 пм.
Л =- 2п6((гпо) . (1) Дифракционный максимум при дифракции на одной щели наблюдается при условии а з(п ср — (2й+1) (Л!2), (2) где ьь=-О, 1, 2, 3, ...— порядковый номер максимумов; а — ши- рина щели. Для максимумов первого поряд- Рис. 43Л ка (й=1) угол ср заведомо мал, поэтому з(п ьр=ьс, и, следовательно, формула (2) примет вид аьР=о!оЛ, а искомая величина х, как следует из рис. 45.1, х=2Е 1я ьс=2Лс)ь, так как 1д гр=~р. Подставив значение ь)ь из соотношения (3) в формулу (4), получим х = 25 — — =3 —. 3 Л И, 2 а а' Подстановка в последнее равенство длины волны де Бройля по формуле (1) дает х=б —. (5) (3) После вычисления по формуле (5) получим х =- 6 10 "' м = 60 мкм.
Во втором случае кинетическая энергия То=- (е ((ьо.=510 кэВ— =0,51 МэВ, т. е. равна энергии покоя электрона. Следовательно, необходимо применить релятивистскую формулу (5). Учтя, что То= — 0,51 МэВ=-т,с', по формуле (5) найдем 2яьо 2па Лс —, илн Л,==. — У(2тосо-ьтосо) тось 1 атос 1 3 с о ~ О Подставив значение Лс в последнюю формулу и произведя вычисления, получим Л,=1,4 пм.
Пример 2. На узкую щель шириной а=1 мкм направлен параллельный пучок электронов, имеющих скорость п=-3,65 Мм,'с. Учитывая волновые свойства электронов, определить расстояние х между двумя максимумами интенсивности первого порядка в дифракционной картине, полученной на экране, отстоящем на 1== 10 см от щели. Р е ш е н и е. Согласно гипотезе де Бройля, длина волны Л, соответствующая частице массой и, движущейся со скоростью и, выражается формулой 403 Пример 3. На грань кристалла никеля падает параллельный пучок электронов. Кристалл поворачивают так, что угол скольже- ния 6 изменяется.
Когда этот угол делается равным 64', наблюдается максимальное отражение электронов, соответствующее дифракцион- ному максимуму первого порядка. Принимая расстояние с( между атомными плоскостями кристалла равным 200 пм, определить длину волны де Бройля Х электронов и их скорость и. Р е ш е н и е. К расчету дифракции электронов от кристалли- ческой решетки применяется то же уравнение Вульфа — Брэгга, которое используется в случае рентгеновского излучения (см. 3 31): 2 д ып 6=-Ы, где й — расстояние между атомными плоскостями кристалла; 6— угол скольжения; Й вЂ” порядковый номер дифракционного макси- мума; Х вЂ” длина волны де Бройля.
Очевидно, что Х= (2 д ейп О)!й. Подставив в эту формулу значения величин и вычислив, получим Х=-360 пм. Из формулы длины волны де Бройля Х=2яЫ(то) выразим ско- рость электрона: о = 2пй/(тХ) . Подставив в эту формулу значения я, Й, гп (масса электрона), ), и произведя вычисления, найдем о=2 Мм!с. Пример 4. Кинетическая энергия Т электрона в атоме водорода составляет величину порядка 10 эВ. Используя соотношение неопре- деленностей, оценить минимальные линейные размеры атома.
Р е ш е н и е. Неопределенность координаты и импульса элект- рона связаны соотношением Лхбр)Й, (1) где Лх — неопределенность координаты электрона; Лр — неопреде- ленность его импульса. Из этого соотношения следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, а следовательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры 1, тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределенностью: Лх= — 1!2. Соотноше- ние неопределенностей (1) можно записать в этом случае в виде (102) Лр)Ф, откуда 1) 2111(Лр).
(2) Физически разумная неопределенность импульса Лр, во всяком случае, не должна превышать значения самого импульса р, т. е. Лр~и. Импульс р связан с кинетической энергией Т соотношением Р=~Г2тТ. Заменим Лр значением ~l 2шТ (такая замена не увели- 406 чит !). Переходя от неравенства (2) к равенству, получим 1,„= 254'2тТ. Подставив числовые значения и произведя вычисления, найдем 1„,;„=- 124 пм. Пример 5. Используя соотношение неопределенностей энергии и времени, определи~ь естественную ширину ЛЛ спектральной линии излучения атома при переходе его из возбужденного состояния в основное. Среднее время т жизни атома в возбужденном состоянии принять равным 10 ' с, а дли- г ну волны Х излучения — равной 600 нм.
Р е ш е н и е. При переходе атомов пз возбужденного состояния в основное су- $Ъ ществует некоторый разброс (неопределенность) в энергии испускаемых фотонов. 6 Загдгиг Это связано с тем, что энергия возбужден- Рнс. 4В.2 ного состояния не является точно определенной, а имеет конечную ширину Г (рис. 45.2). Согласно соотношению неопределенностей энергии и времени, ширина Г энергетического уровня возбужденного состояния связана со средним временем т жизни атомов в этом состоянии соотношением Гт гг.
Тогда ширина энергетического уровня определяется выражением Г = гг!т. Вследствие конечной ширины уровня энергии возбужденного состояния энергия фотонов, испускаемых атомами, также имеет разброс, равный ширине энергетического уровня, т. е.
Ле= — Г. Тогда Ле = Ь!т. (1) Поскольку энергия е фотона связана с длиной волны ) соотношением е =. 2яг+гсгХ, то разбросу Ьз(Ле«е) энергии соответствует разброс Ы длин волн (Л7 «Х): 2ггтгс (2) (знак минус опущен). Входящий в это выражение конечный интервал длин волн Л),и есть естественная ширина спектральной линии.
Выразив Л) нз формулы (2) и заменив Ле согласно (1), получим ЛХ =-— Произведем вычисления: ЛХ=2 10 "м= — 20 фм. 407 Вопросы и задачи Волны де Бройля 45.1. Определить длину волны де Бройля Л, характеризующую волновые свойства электрона, если его скорость о — 1 Мм1с. Сделать такой же подсчет для протона. 45.2. Электрон движется со скоростью о= — 200 Мм1с. Определить длину волны де Бройля Л, учитывая изменение массы элктрона в зависимости от скорости.
45.3. Какую ускоряющую разность потенциалов 11 должен пройти электрон, чтобы длина волны де Бройля Л была равна О,! пмй 45.4. Определить длину волны де Бройля Л электрона, если его кинетическая энергия Т:=-1 кэВ. 45.5. Найти длину волны де Бройля Л протона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов (/: 1) 1 кВ; 2) 1 МВ. 45.6. Найти длину волны де Бройля Л для электрона, движущегася по круговой орбите атома водорода, находящегося в основном состоянии.
45.7. Определить длину волны де Бройля Л электрона, находящегося на второй орбите атома водорода. 45.8. С какой скоростью движется электрон, если длина волны де Бройля Л электрона равна его комптоновской длине волны Лс? 45.9. Определить длину волны де Бройля Л электронов, бомбардирующих антикатод рентгеновской трубки, если граница сплошного рентгеновского спектра приходится на длину волны Л=.З нм.
45.10. Электрон движется по окружности радиусом г=0,5 см в однородном магнитном поле с индукцией В=8 мТл. Определить длину волны де Бройля Л электрона. 45.11. На грань некоторого кристалла под углом а 60' к ее поверхности падает параллельный пучок электронов, движущихся с одинаковой скоростью. Определить скорость и электронов, если они испытывают интерференционное отражение первого порядка.
Расстояние й между атомными плоскостями кристаллов равно 0,2 нм. 45.12. Параллельный пучок электронов, движущихся с одинаковой скоростью в=! Мм1с, падает нормально на диафрагму с длинной щелью шириной а=-1 мкм. Проходя через щель, электроны рассеиваются и образуют дифракционную картину на экране, расположенном на расстоянии 1=50 см от щели и параллельном плоскости диафрагмы. Определить линейное расстояние х между первыми дифракционными минимумами. 45.13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
