Chertov (523131), страница 90
Текст из файла (страница 90)
° Нулевая собственная волновая функция одномерного кван- тового гармонического осциллятора ф,(х) =С, ехр ( — агхЧ2), где параметр а = )' )на4. ° Энергия колебания гармонического осциллятора Е„=йсо(п+ 1!2), где и — колебательное квантовое число (п=О, 1, 2, 3,,).
Для квантового числа п существует правило отбора, согласно которому Ап=--'~1. ° Нулевая энергия Ео — — Ч,4~~. Ф Энергия колебания ангармонического осциллятора Е.=~ ~(+ ~,) — Т(+ ~)~, 434 где о — колебательное квантовое число (о=0, 1, 2,...); у — коэф- фициент ангармоничности; Ло — любое целое число. Для кванто- вого числа о нет правила отбора, поэтому Лп может принимать лю- бые целочисленные значения. ° Разность энергий двух соседних колебательных уровней ЛЕ„„, „.=-6ы ~1 — 2у(п+ 1)).
° Максимальное значение квантового числа и 1 и — -- — — 1. ПЗВХ ° Максимальная энергия колебательного движения Е,„=- 6ы!(4у). ° Энергия диссоциации двухатомной молекулы Е = — (1 — 2у). ЙЮ 4т ° Момент инерции двухатомной молекулы относительно оси, проходящей через ее центр инерции перпендикулярно прямой, соединяющей ядра атомов, 1 =1иР, где и — приведенная масса молекулы; Й вЂ” межъядерное расстоя- ние. ° Вращательная постоянная В = ЬЯ2г). ° Энергия вращательного движения двухатомной молекулы Е~=ВУ(У+1), где ~ — вращательное квантовое число (7=0, 1, 2, ...). ° Спектроскопическое волновое число т — — 1Ь, где Х вЂ” длина волны излучения. ° Энергия е фотона излучения связана с спектроскопическим волновым числом т соотношением е =- 2пЫ, где с — скорость распространения электромагнитного излучения. Примеры решения задач Пример 1.
Собственная угловая частота в колебаний молекулы НС1 равна 5,63 10" с ', коэффициент ангармоничности у=-0,0201. Определить: 1) энергию ЬЕ,, (в электрон-вольтах) перехода молекулы с первого на второй колебательный энергетический уровень; 2) максимальное квантовое число и,„; 3) максимальную колебательную энергию Е,„; 4) энергию диссоциации Е„, Р е ш е н н е. 1. Энергию перехода ЬЕ„; „между двумя соседними уровнями найдем как разность двух значений колебательной энергии: ЬЕ, п,=Е,ь; — Е,. Так как колебательная энергия двухатомной молекулы определяется соотношением то ЬЕ„., =пса ) (о Т) 7(о+ 2 ~ — ~ (о+ — ) — у (о+ — ) ~ 1~ — йм~! — 2у(ой Ц Подставив значения й, ш, у и произведя вычисления, найдем ЛЕ,,=-1,09 10 " Дж, или ЛЕ,, = 0,682 эВ. 2. Максимальное квантовое число о „найдем, приравняв разность соседних энергетических уровней нулю: ЬЕ„ь, =- Ьш ~! — 2у (и,„+ 1)! = О, или 1 — 2у(о,„+1)=0, откуда 1 (2) вах Подставив сюда значение у и округлив до ближайшего (снизу) целого значения найденного и,„, получим о,„= 23.
3. Максимальную колебательную энергию Е,„найдем, если в выражение (1) вместо о подставим о,„„по формуле Етач ггы~( 2 1+ 2 ) у (2 1+ Выполняя простые преобразования и пренебрегая у/4 по сравнению с 1!(4у), получаем Е,„= йш1'(4у). Подставим значения Ь, ы, у и произведем вычисления: Е,„=.7,38 1О "Дж, или Ес Е,„= 4,61 эВ. 4. Энергия диссоциации есть энергия, которую необходимо затратить, чтобы отделить атомы гаш в молекуле друг от друга и удад лить их без сообщения им кине- тической энергии на расстояние, Рис. 48.1 на котором взаимодействие атомов пренебрежимо мало, На рис. 48.1 эта энергия отвечает переходу с нулевого колебательного уровня на самый высокий возбужденный, соответствующий о ,„.
Тогда энергия диссоциации 4с 1.с й(О Е„=-Š— Е,= — — — 'юсз, или Е„= — (! — 2у). 3пах 4т 2 4т Заменив йв!(47) на Е,„, получим Е„= Е.,„(1 27), Произведя вычисления, найдем Еа=-4,43 эВ. Пример 2. Для молекулы НГ определить: 1) момент инерции 7, если межъядерное расстояние д=91,7 пм; 2) вращательную постоянную В; 3) энерппо, необходимую для возбуждения молекулы на первый вращательный уровень.
Р е ш е н и е. 1. Если воспользоваться формулой приведенной массы р молекулы, то ее момент инерции можно выразить соотношением у=,у, ли у тт, р т~ гт„ где т, и ш„.— массы атомов водорода и фтора. Приведенную массу молекулы удобно сначала выразить в а. е, и. (относнтельные атомные массы химических элементов приведены в табл. 30): 1 19 р = —, ',, а. е. м =- 0,95 а. е. м.
Выразив приведенную массу в единицах СИ (9=-0,95 1,67 10 " кг= =1,59 1О '-' кг), найдем момент инерции молекулы НГ: 1 =1,33 10 "кг м'-. 2. Вращательная постоянная В с учетом выражения для Я равна В = Ь(2рвв) . Подставив значения й, р, д и произведя вычисления, получим В = 4,37 10 " Дж или В = 2,73 мэВ. 3. Энергия, необходимая для возбуждения молекулы на первый вращательный уровень, равна разности энергий молекулы на первом и нулевом вращательных уровнях. Так как вращательная энергия двухатомной молекулы выражается соотношением Е~ — В77Я+1), то разность энергий двух соседних вращательных уровней ЛЕ~, ~=Е „— Е~=-((ВР-,— 1)(У+2)) — [ВУ(У+ 1)1), После упрощений получим ЛЕу,, у =-2В(~+ 1). Положив здесь У вЂ” О, найдем значение энергии, необходимое для возбуждения молекулы с нулевого уровня на первый: ЛЕ, а — 2В =5,46 мэВ.
437 Задачи Колебательный спектр двухатомной молекулы 48.1. Изобразить графически зависимость гР„(х) и !гР„(х))* для нулевой собственной волновой функции осциллятора. 48.2. Используя условие нормировки, определить нормировочный множитель С, нулевой собственной волновой функции осциллятора. 48.3. Рассматривая молекулу как квантовый гармонический осциллятор, находящийся в основном состоянии (п=О), найти амплитуду А классических колебаний, выразив ее через параметр а. 48.4. Гармонический осциллятор находится в основном состоянии (п=О).
Какова вероятность йх обнаружения частицы в области ( — А<х<А), где А — амплитуда классических колеоаний? 48.5. Определить среднюю потенциальную энергию (Р(х)) гармонического осциллятора, находящегося в основном состоянии, выразив ее через нулевую энергию Е,. 48.6.
Собственная круговая частота вг колебаний молекулы водорода равна 8,08.10'4 с '. Найти амплитуду А классических колебаний молекулы. 48.7. Зная собственную круговую частоту вг колебаний молекулы СО (го=-4,08 10" с '), найти коэффициент !! квазиупругой силы. 48.8. Определить энергию Е,„,в возбуждения молекулы НС! с нулевого колебательного энергетического уровня на первый, если известны собственная круговая частота вг=5,63 10" с ' и коэффициент ангармоничности 7=-0,0201. 48.9.
Определить число йг колебательных энергетических уровней, которое имеет молекула НВг, если коэффициент ангармоничности 7=0,0208. 48.10. Во сколько раз отличаются максимальная н минимальная (отличная от нуля) разности двух соседних энергетических уровней для молекулы Н,(7=0,0277)? 48.11. Определить максимальную колебательную энергию Е „ молекулы О„для которой известны собственная круговая частота о>=2,98 !Огг с ' и коэффициент ангармоничности 7=-9,46. !О '. 48.12. Определить энергию диссоциации Р (в электрон-вольтах) молекулы СО, если ее собственная частота го =-4,08 10" с ' и коэффициент ангармоничности 7=5,83 10 '.
Изобразить на потенциальной кривой схему колебательных энергетических уровней и отметить на ней энергию диссоциации. 48.13. Найти коэффициент ангармоничности 7 молекулы Уг, если ее энергия диссоциации Р= — 9,80 эВ и собственная круговая частота в=4,45 10" с '.
На потенциальной кривой изобразить схему энергетических уровней молекулы и отметить на ней энергию диссоциации. 48.14. Молекула ХО переходит из низшего возбужденного состояния в основное. Определить длину волны Х испущенного при этом фотона, если собственная круговая частота ы=-3,59 1О" с ' и коэффициент ангармоничности у — 8,73 10 '. На потенциальной кривой изобразить схему колебательных энергетических уровней молекулы и отметить на ней соответствующий энергетический переход. Вращательный спеклгр двухатомной лголекулы 48.15. Найти момент импульса .2' двухатомной молекулы, соответствуюгций низшему возбужденному состоянию. 48.16. Определить изменение Л,.9' момента импульса двухатомной молекулы при переходе ее с первого вращательного уровня на второй.
48.17. Определить угловую скорость аг вращения молекулы Вм находящейся на первом возбужденном вращательном уровне, Межъядерное расстояние д=189 пм. 48.18. Вычислить вращательную постоянную В для молекулы СО, если межъядерное расстояние г)=1!3 пм. Ответ выразить в миллиэлектрон-вольтах. 48.19. Найти момент импульса Я молекучы кислорода, вращательная энергия Еу которой равна 2,16 мэВ. 48.20. Найти момент инерции в' и межъядерное расстояние е! молекулы СО, если интервалы ЛЕ между соседними линиями чисто вращательного спектра испускания молекул СО равны 0,48 мэВ. 48.21. Определить для молекулы НС! вращательные квантовые числа Я двух соседних уровней, разность энергий ЛЕр г у которых равна 7,86 мэВ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
