balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (523124), страница 19
Текст из файла (страница 19)
На рис. 3.17 изображен элемент, имеющий не три, а шесть узловых точек. Компоненты ,'перемещений для него определяются соотношениями и = И х у х' ху уЧ (а); о = П х ух'ху уЧ (р), где векторы констант (а) =. (а~а,а,ааа,а,)г; Ф ) 61121 3ЫФ6) Описанная выше процедура позволяет построить матрицы жесткости и этого элемента.
Подобным же образом определяют общую матрицу жесткости и находят напряжения. При аппроксимации поля перемещений полиномами второй степени (3.109) напряжения на границе элементов не будут иметь разрывов. Имеется возможность еще более уточнить решение, приняв на грани не одну, а две или более промежуточных точек. Матрицы жесткости элемента при этом становятся более громоздкими, но так как поле перемещений и напряжений более точно,.
то можно значительно уменьшить число элементов во всей системе. Рассмотрим еще один двумерный конечный элемент применительно к задаче поперечного изгиба пластин (рис. 3.18). Деформация жест- 101 кой пластины определяется нормальными перемещениями и поворотами ее срединной поверхности (см.
~ 2.5). Прямоугольный элемент имеет. в углах на срединной поверхности четыре узловые точки. Каждая -точка может получить независимое перемещение ж, а нормаль к срединной поверхности иметь две составляющие поворота: д„и 0„. Таким образом, общее число степеней свободы элемента равно 3 х 4 = 12, а вектор узловых перемещений имеет вид (п)п (сз101х61усз(здззбзз~(здз~бззизОззбзз) . (3.110) Поле перемещений можно представить полиномом с двенадцатью коэффициентами [1 хухзхууз хзхзу хуз уз хзу хуз] (а) [А[ (а) (3 111) "де (а) = (сс,а,и,а,и,аза,азссзссзосс„ссзз)" Углы поворота пластины при поперечном изгибе определяются соот- ношениями (3.112) дх ™ ду Имея в виду, что 1) при х=Ои у=О э=а~,; д„=б,„; бз 2) при х = а и у = 0 в = сс>,; д„= 6 „.; дз 3) при х=аи д=Ь и=ы~з; 6,.=6з,,;бз 4) при х = О и д Ь сз~ сз~4', д~ = дзх', ~з а также принимая во внимание соотношения (3.110) получаем (и)„= [С[ (и). Поле перемещений в элементе через узловые перемещения теперь оп- ределяется соотношением я = [А1 [С]-' (и)„= [Ф[ (д)„.
(3,113) д~в дхз дз,„ дуз еу 7ху дзы 2— дхду Подставив сюда выражение (3.113), получим (з) = [В[ (и)„, 102 Матрица [Ф[ имеет размер 1 х 12. Деформации слоя пластины, отстоящего от срединной поверхности на расстояние г, где д'ф дуз д'Ф 2— дхду 1 [В1 — г (3.114) Для анизотропной пластины, свойства которой по толщине не меняютсяя, 013 023 Рз Р„ Р„ ~а[01 й=О; ~г'[01й — [031 = Р„Р, 031 032 Коэффициенты 013 = Р„= О, когда оси х и у совпадают с осями симметрии упругих свойств (ортотропный материал). Для пластины из изотропного материала Ейз Еаз Е ~Р Р„= Р„= > 012 021 ) > 033 12 (1 — 112) 12 (1 — Р2) 24 (1+)1) Используя общее соотношение (3.89) для матрицы жесткости конечного элемента и учитывая вышеприведенные соотношения, матрицу жест. кости пластины представляем в виде [Я = Ц[В1т [0,1 [В1 1[хну, (3.116) или, развернув матричную запись и имея в виду выражения (3.114) и (3.115), получим дзфт д,ф д'Фт д'Ф [1~1 011 + 022 + дхз дхз ду' ду' д,фт дзф д2ФТ д2ф дзфт д'Ф + 40зз + 012 + 013, + дхду дхду дх2 дуз дуз дх2 д'Фт д'Ф д'Фт д'Ф + 201з — — + 201з — — + 202з — + дхз дхду дхду дхз дуз дхду дзфт +20„— — ) дхг[у.
дхду ду' ) Отсюда по известной матрице-строке [Ф1 из формулы (3.113) и по имеющимся характеристикам изгибной жесткости пластины находят матрицу жесткости конечного элемента, имеющую размер 12 х 12. Для решения задачи необходимо знать еще вектор узловых сил„ Из общей зависимости (3.90) для распределенной нагрузки р, нормальной к срединной поверхности, вектор (г') определяется соотношением (Р) =- Д[ф)т рг)хг)у Рассмотренный случай конечного элемента пластины соответствует минимальному числу степеней свободы. Как и для рассмотренной Ранее плоской задачи, здесь можно построить элемент повышенной точности. Для этого нужно добавить количество узловых точек в элементе и в соответствии с этим повысить степень полинома, аппроксимирующего поле перемещений (3.111). Глава 4 РАСЧЕТ КРУГОВЫХ КОЛЕЦ Прежде чем перейти к изучению тонких упругих оболочек вращения, чему будет посвящена 11 часть данной книги, получим основные уравнения изгиба и рассмотрим некоторые методы расчета упругих круговых колец.
Изложенный в настоящей главе материал имеет большое пРактическое значение, поскольку упругое круговое кольцо является типичной расчетной схемой весьма распространенного элемента силовой конструкции ракет — шпангоута. Приводимые в главе уравнения могут быть использованы для расчета как изолированных шпангоутов, так и шпангоутов, подкрепляющих тонкую обшивку. Кроме того, задача изгиба кругового кольца имеет методическое значение: сравнительно простые уравнения равновесия элемента кольца и зависимости, связывающие перемещения и деформации, весьма полезны для облегчения понимания вывода уравнений теории оболочек вращения.
В общем случае нагружения кольцо испытывает изгиб в своей пло скости, кручение и изгиб из плоскости (7,20). Однако для простоты изложения в главе рассмотрена только наибочее важная задача — изгиб кольца в своей плоскости. В 4Л. Уравнения изгиба кольца в своей плоскости Чтобы получить общие уравнения изгиба кольца, используем гипотезы технической теории изгиба тонких стержней: гипотезу плоских сечений и гипотезу ненадавливаиия слоев. Эти гипотезы (см. ~1.5) применимы для расчета не только йрямых стержней, но и стержней, у которых размеры поперечного сечения малы по сравнению с Радиусом кривизны оси. Рассмотрим круговое кольцо (рис, 4.1, а), нагруженное в своей плоскости переменными радиальными и касательными погонными силами д, = 0, (ср) и дд — — д„(ср) и распределенным моментом т и (~р).
Если одна из главных осей поперечного сечения кольца лежит в плоскости кольца, то такое кольцо после деформирования останется пло ским и в нем возникнут только изгибающие моменты М = М (~р), нормальные У = У (~р) и поперечные Я = Я (Ч) силы, Уравнения равновесия элемента кольца составим в линейной постановке, не учитывая изменение его геометрии (рис. 4.1, б). Приравняв нулю сумму проекций всех приложенных к элементу сил на на- Рис. 4.1 правления касательной и нормали к оси кольца в точке А и сумму моментов, получим, отбросив слагаемые высших порядков малости, три уравнения (4А) где Я вЂ” радиус кривизны оси кольца. Иенлючаи иа пераих двух уравнений нормальную еилу У~йрахол дим к системе двух уравнений Й~Я + ~ )~ д(~, — = Яй+ Вл.
дМ Иф Исключая из этой, системы уравнений поперечную силу Я, получаем дифференциальное уравнение относительно изгибающего момента: — + =-й' ~* +д„+ Я вЂ” ~+ и . (4.3) Теперь рассмотрим изменение геометрии. кольца, связанное с его изгибом (рис. 4,2). Материальное волокно АВ, совпадающее с элементом оси кольца, в результате изгиба кольца займет положение А,В,. Радиальные и касательные перемещения точки А этого волокна обозначим соответственно через иу. и и, а угол поворота касательной в этой точке — через ф.
Введем подвижную ортогональную систему координат, направив ось у по касательной к оси кольца в точке А, а ось Я1" 4 Я Рис. 4.2 г — по нормали к оси кольца в этой точке (рис. 4.2, а). В такой систе- ме точки А; В; А,; В, имеют (с точностью до величин высших поряд- ков малости) следующие координаты: Используя формулу разложения р'1+ я = 1+ — а — — а ..., 1 1 подсчитаем длину элемента А,В;.
АВ1 =У(УВ,— УА,) +БАЯВ,— 2А,) =Иф 1+ — ы+ — + — — ~ — и =Иф 1+ — в+ — + — —, — — о +... где ул„ув„гл, гв, — координаты соответствующих точек. Поскольку АВ = Яйр, то удлинение элемента АВ Ограничившись слагаемыми, линейными относительно перемещений, получим е= — и+в (4.4) Для определения угла поворота ф касательной подсчитаем проекцию элемента А,В, на ось г. При малых е и ф, пренебрегая величинами высших порядков малости, имеем: А,В~ з1п ф = Яфдф.
В то же вре- лю А д...О г...О в А, в, Яйр 6 Яйр+ о+ йо+ вакф О Ю и+йю — олаф мя эта проекция равна разности соответствующих координатточек В, и А„т. е. (гв, — гл,) = Ы вЂ” од~р, Сравнивая два последних выражения, находим ~(4.5) До деформации кривизна оси кольца была равна 1Я. Изменение кривизны оси кольца, связанное с изгибом, обозначим х; по определению величина х равна скорости изменения угла поворота касательной по дуге деформированного кольца: х=— д$ (4.6) дя~ где й~ — — Лйу (1 + е) — элемент деформированной оси кольца. Обычно при подсчете изменения кривизны к можно пренебречь растяжением оси кольца, т.
е. положить е т О, откуда в ~ — —. <Ь йр' Тогда величину х можно подсчитать по любой из следующих формул: (4.7) Найдем удлинение в слое кольца, отстоящем на расстоянии г от оси (рис. 4.2, б). Гипотеза плоских сечений позволяет установить кинематическую связь между перемещениями и и ы точки А оси кольца и перемещениями ос*~ и аМ точки Аоо рассматриваемого слоя.
В силу этой гипотезы угол поворота д нормали равен углу поворота ф касательной: (4.8) В силу той же гипотезы перемещения точки А~4 в~') = ы ! о<'> = о — гд, (4.9) Для определения деформации з~'> рассматриваемого слоя достаточно в формуле (4.4) заменить перемещение о перемещением с<') и Радиус Р радиусом Я~'~ = й+ г. В результате получаем з(г)— 1 ~ «Ь дб~ ~го + — — г — ~. Р (1+гИ) ~ дар дф,~ ' Отсюда, учитывая формулы (4.4), (4.6) и (4.8) и считая для тонких колец г< Я, приходим к формуле з<'~ = в — гх. (4.10) 107 (4,11) где Я вЂ” площадь поперечного сечения.
Изгибающий момент определяется выражением М = — ~ а">гд5 = Е3х, (4.12) где 1 — момент инерции поперечного сечения. Здесь знак момента выбран так, что положительное направление момента соответствует положительному значению величин сРыйф' и в. Внутреннюю поперечную силу Я нельзя выразить через перемещения непосредственно с помощью закона Гука, поскольку в силу гипотезы плоских сечений угол сдвига у, = О. Аналогично, если при решении задачи используется дополнительное допущение о нерастяжимости оси кольца, то для определения внутренней нормальной силы 1Ч 'нельзя использовать формулу (4.11). При дополнительном допущении з = 0 из формулы (4.4) следует зависимость (4.13) При постоянной изгибной жесткости кольца (Е7 = сопз1)', использо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
