balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (523124), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Полученный результат можно трактовать ~а так-"15]: изгибающий момент ° щ. ~рр ~р в замкнутом и произвольно нагруженном в своей ~ -Ог плоскости круговом коль,~ -РЯ це равен, моменту Мр (~р) -а~ от внешних сил за вычетом 'ъ у -45 трех первых членов рыложения Ми (ср) в ряд Фурье по окружной координате, причем выражение (4.33) инвариантно по отношению к выбору основной системы.
Аналогично можно трактовать и выражения (4.34). В качестве примера определим внутренние силовые факторы в замкнутом кольце постоянной изгибной жесткости ЕУ (рис, 4.5, а), нагруженном сосредоточенной силой Е, уравновешенной касательными распределенными силами: (4,34) МОа аг Пф о,т и -о~ Рис. 4.6 ~ -.~5) Р Д, = — — з~п ~р. лД : (Такие касательные распределенные силы уравновеши~ от сосред .
точенную силу в жестком шпангоуте, связанном с тонкой обшивкои) 1И Выберем основную систему, разрезав кольцо по сечению у = О (рис. 4.6, а). Как и в примере на рис. 4.4, для подсчета внутреннего изгибающего момента Мр в разрезанном кольце введем вспомогательный угол а. Тогда ЕР РЯ Мр — — — — я'пгр — 1 д (1 — соза) Я'-да= — — з1п~р— 2 о — — ~ з1п(~р — а)(1 — соза) с1а = РР г о ГР Г. 2 1 =. — — 1з1п (у+ — (1 — соз ~р) — — ~р з1п «р л л.
Из зависимостей (4.32) ... (4.34) после интегрирования получаем: М= — 11 + — созе — ляп~р+суяпю; РЛ ( 1 2л ~ 2 Р / 1 Я = — ~ — яп с~ — л соыр+ с~ соз с~ 2л ~2 Г /3 У = — — ~ — соз <р + л з1п ~ — ~р яп ~р . 2л ~2 На рис. 4.6, б приведено изменение безразмерных величин, где М = М/(РР), ф = (~/Р, У = Л//Р. Заметим, что выбор места разреза в замкнутом кольце совершенно произволен и, конечно, никак не отражаетея на окончательном результате.
Так, в рассмотренном примере разрез был произведен по силе Р, и в основной системе на каждом из краев разрезанного кольца действовали силы Р/2. Можно поступить иначе, разрезав кольцо, например, чуть правее точки приложения силы Р. Это приведет к изменению функции Мр =- Мр (ср), и вместо найденного выше выражения получим РР Г 1 Мр = — — ~ (1 — соз ~р) — — <р яп <р, л 2 Но окончательные зависимости для величин М, Я и И остаются теми же самыми.
При решении методом сил основную систему целесообразно выбирать таким образом, чтобы максимально использовать свойства.симметрии исходной задачи. При решении задач изгиба колец постоянной изгибной жесткости изложенным методом свойства симметрии существенной роли не играют и основную систему следует выбирать так, чтобы по возможности упростить функцию Мр (~). С этой точки зрения вторая основная система в рассмотренном примере предпочтительнее, поскольку она приводит к более простому виду функции Мр (ф.
ИБ $4.3. Определение переме«ценнй Рассмотрим сначала перемещения кругового кольца в своей плоскости как жесткого целого. Если кольцо (рис. 4.7, а) сместить относительно неподвижной системы координат у,г, на расстояние И по на. правлению оси у„то перемещения о и в точек его оси и угол поворота д нормали соответственно будут; и = д соз «р; в = й ып «р; д = О. Аналогично, смещение по направлению оси г, на расстояние Ь даст о = — Ь ы'и «р; в = Ь соз «р; д =- О. о = а, + а, соз «р + а, ып ф; (4.36) (4.37) (4.38) в = а,ып «р — а, соз «р; д = — а0/Р, где а„а„а, — произвольные постоянные.
При этом удлинение е оси кольца, определяемое зависимостью (4.4), и изменение кривизны н, определяемое любой из зависимостей (4.7), тождественно равны нулю. Перейдем к определению перемещений, связанных с изгибом кольца в своей плоскости, пренебрегая при этом растяжением его оси. В тех случаях, когда статическая неопределимость замкнутого кольца уже раскрыта и изгибающий момент М = М («р), удовлетворяющий интегральным условиям (4.22), найден, перемещения о = о (ф) и в= Рис. 4.7 Поворот кольца относительно неподвижной системы координат на угол р (рис. 4.7, б) дает о = К ып ~; в = — Я (1 — соз ~); д = — (3. При малых углах р, оставляя в разложениях функций ып р и соз р первые степени р, можно записать о=Щ в=О; О= — р.
Поэтому перемещение кольца как жесткого целого в своей плоскости в общем случае описывается формулами =- «о(ф), а такжеугол поворота д = 6 («р) нормали можно найти из системы уравнений 4«рз Йр ЕУ (4.39) — Ьр ' -«-о . ' Эта система следует из выражений (4.8), (4.12) и условия нерастяжи' мости оси кольца (4.13). Решение первого уравнения запишем в виде суммы частного реше: ния о* = о* (ф) и решения однородного уравнения: о = о' + С, + С1 соз ф + С, з1п «р, (4.40) где С; — произвольные постоянные. Из двух оставшихся уравнений (4.39) находим до*~ «о= — — +С, з1п«р — С, соз«р «1«р (4А1) + о«4 д~аф НА2) !37 Произвольные постоянные С; найти из условий замкнутости кольца нельзя: решение однородного уравнения о«01 С, + С, соз «р + + С, з(п «р тождественно удовлетворяет условиям (4.22') при любых С;.
Заметим, кроме того, что условия замкнутости, использованныепри раскрытии статической неопределимости, использовать снова было бы незаконным. Когда закрепление кольца полностью исключает его перемещение как жесткого целого, могут быть найдены все произвольные постоянные С; и однозначно определены все функции о = о (ф), «о = «о («р) и д = 6 (ф). Если же кольцо не закреплено относительно перемещения в своей плоскости, то значения величин о, «о и О можно определить только с точностью до произвольного смещения кольца как жесткого целого.
Обычно наибольший практический интерес представляют перемещения о, и'и угол д поворота нормали, непосредственно вызванные изгибом кольца, а не перемещением его как жесткого целого. Выделить такие функции о, «о и д можно, потребовав,.чтобы функция (4.40) была ортогональна функции (4.36), описывающей касательные пе смещения кольца при произвольном его смещении как жесткого цепр лого, т. е. потребовав, чтобы при произвольных а,, а„а, выполня ос л ь условие ~ (о"'+ С, + С,созф + С, з(п «р) (а, + а,соз «р+ а, з1пф) бр=0.
,О (4.43) г с05 ~Щ д- и С ~д. о д- а,[ 2л ~ о'дд д-2лор ~ о а,[ (4.44) Для того чтобы последнее равенство выполнялось при любых а„а„ а„должны обращаться в нуль выражения, стоящие в квадратных скобках. Следовательно, произвольные постоянные определяются фор- мулами С, = — — ( о' д«р; С, = — — ( ол соз «р йр; 2л «л о 2л Сг = — — (' ол з«п «рйр.
о Подставив значения произвольных постоянных С«в выражения (4.40) ... (4.42), получим окончательные расчетные зависимости: 2л о = о' — — ( Ф йр — ~' Р ( о* соя «р йр — — "Р о" яп «р д«р; [4.45) 2л л Я 2л 2л «о= — — — — [ о*соя«рйр + — ~ о*э!п«рйр; (4А6) до* о"«и «р о соя «р о«р л л ,б, + ол + о3В «««р (4.47) Я ~ «««рг ) 2лР Отметим, что условие ортогональности (4.431 можно трактовать как три независимых интегральных условия,.Которым должна удовлетворять функция о = о («р), описывающая пеРемещения, непосредственно связанные с изгибом нерастяжимого кольца: 2л 2л 2л ~ од«р=О, ~ осоз«рд«р=О, ~ оз!п«рд«р=О.
(4,48) о о о Следствием условиями) 2л ~ ыд«««р =О; о этих интегральных условий (но не новыми независимыми являются еще четыре интегральных условия 2л 2л гл [ сысоя«р«Бр=О; ~ «оз«п«рй«р=О; ~ д«Ьр=О. (4.49) о о о Эти интегральные условия можно использовать для проверки пРа- вильности найденных функций о = о («р); н« = и«(«р); 6 = «д («р). пв Учитывая равенства (4.31), условие ортогональности можно записать так: Найдем по изложенной схеме перемещения о, и/ и угол поворота д нормали в кольце постоянной жесткости, изображенном на рис.
4.4. Учитывая зависимость (4.25) для изгибающего момента М, запишем первое уравнение системы (4.39) в следующем безразмерном виде: = — — ! 1 — — (ф + 2 Мп <р), (4,50) д<ра д~р 2 ~ л где и = иЕ3!(М,Ю. Подбором находим частное решение Ф= — — ф+ — ф — — — япф. 2 ! ф 2 4л 2 л 1 (2л)2 1 (2л)з 2 2 4л 3 Зная частное решение, подсчитываем определенные интегралы: Фд<у— ( 2л) = — — +1; о 2л з 1 1/ л1 3 о~ соз ф Йф = О+ — (4л) — — ( — — ) = —; О 4л ' 2л , 2 ) 4 2л 1 1 2 ! 2 о~ з1п(р(Ьр = — — ( — 2л)+ — ( — 4л2) — — (л') = 2 4л 2л 2 о :: и по расчетным зависимостям (4.45) ...
(4.47) получаем 1 1 1 ф . 1 /л' ~ 3 со2ф ! ., о= — — <р+ — ф' — — — япф+ — ~ — — 1) — — — + — япф', 2 4л 2 л 2л1,3)4л2 1 ! з . ! р Я1 — — ф — — З1П !Р+ — — СОЯ ф + — СОВ ф; 2 2л 4л 2 л 2 л ф ф' 1 6 — — — + + созф, 6 2 4л л где в = ~оЕ3((Мо~к), б = д Е3((МоЯ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
