balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (523124), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Перемещение и» определяют из уравнения (5.44). Для сферической оболочки л1=яа=я и » (6) (! + (!) (Т1 Т2)> Е»» '~ '» ' ~ .~~Ч." Р 1 т — т и=Сз!пО+ ( +"~ з!пО~ ' ' !(О. Е»» з»и 0 Рассмотрим условия сопряжения двух оболочек вращения иа основе безмоментной Рис. 5.8 теории, Пусть две оболочки, нагруженные осесимметричной нагрузкой, соединяются по параллели радиуса г, (рис. 5.8). В месте стыка угол 6 меняется скачком на величину ЬО = 6, — 8,. Все значения углов и сил для верхней оболочки будем снабжать индексом (1), а для нижней — индексом (2). Спроектировав силы ТР» и Т!1'» вблизи стыка на ось вращения оболочек, получим первое условие сопряжения Т!'» з»п 8, = Т!'» з»п О,.
Проекция этих же сил на плоскость параллели даст погонную нагрузку д„= Т!'» соз О, — Т!2» соз О,. Зга нагрузка не может быть воспринята безмоментными оболочками. Стык должен быть усилен достаточно прочным и жестким шпангоутом. Нагрузка д, будет расчетной сжимающей нагрузкой для этого шпангоута. Сжимающее усилие в шпангоуте Л' = д,г = (Т<,'» соз О, — Т!'» соз 6,) г,. Например, для шпангоута в стыке цилиндрической оболочки со сферическим днищем, нагруженным равномерным гидростатическим давлением р, имеем д„= (рИ/2) соз О„так как в этом случае Т!'» = рИ2, где Й вЂ” радиус кривизны днища, а 8, = й/2.
$5.4. Уравнения моментной теории оболочек Рассмотрим слой оболочки на расстоянии г от срединной поверхности. Произвольной точке А срединной поверхности (рис. 5.9) будет соответствовать точка А, слоя. Обе точки лежат на одной нормали к срединной поверхности и имеют одни и те же координаты 8 и /р. В теории тонких оболочек деформации слоя г определяются г и п оте з о й и р ямы х и о р ма ле й, согласно которой точки, лежащие до деформаиии оболочки на какой-либо нормали к срединной поверхности, будут перемеи(аться вместе с этой нормалью в процессе деформирования оболочки.
Эта гипотеза устанавливает кинематическую связь между перемещениями и, //, и/точки А и перемещениями и„п„и/, точки А „: и, = и+ гд,; (5.50) о, = о + гд,; (5.51) и/, ==- /л/. (5.52) Углы поворота д, и д, нормали к срединной поверхности в точке А определяются формулами (5.14), (5.15). Для определения деформаций е„, е„, 7, слоя г воспользуемся формулами (5.10), (5.12) и (5.13), заменяя в них перемещения и, о перемещениями и„о, и геометрические величины Р1, И„г срединной поверхности геометрическими величинами Й„,,Й„, г, поверхности слоя а.
Получим: /// е„= — ~ — * + н/~; в„= — — '+ — * сов О+ Р/, ~ дО ~ /, дч/ /; Иы (5,53) /'л дч/ 1~/~ дО Подставляя в зти уравнения значения и„и, из выражений (5.50), (5.51) и учитывая, что получаем с точностью до первой степени величины г: 81з = 61+ ях11 в~/ = ад+ ях2~ ти=т с ах/с~ (5.54) где е„е„у — тангенциальные деформации срединнои поверхности, определяемые формулами (5.10), (5,12), (5.13); 1 дд, 1 1 дд, Х1= — — + — в1~ — —; Р~ дО Л~ Р, дО дд~ сов О 1 дд, сов О и,= — '+д,— + — е, ~ ' +д,— '; (5,56) /'д/1/ /' 1~в ' /'д/~ Г 1 /д91, 1 дО М12 — — ~ — '+ —— 2 ~ где Я1 д9 1 до о ~ ! / д91 -+ — — —.— соз 9) ~ — ~ дО Яг ) 2 ~ гд<р соя О, 1 да 1Г2 — + — — -т г ' Я, где 1 дО~ соьО 1 + — — ' — 92 — ) (5.57) К1 д9 г ) — параметры изменения кривизны срединной поверхности. Формулу (5.57) можно представить в другом виде: 1 /д91 1 д92 92 - т 1 до 1 до~ х12= — ~ — + —.
— — — соз9;+ — + 2 1,где Е1 д9 г ' Яц Я1Р~ д9 Щ дО Согласно формулам (5.58) и (5.54) напряжения аа, ор и т линейно изменяются по толщине оболочки. Вместо напряжений можно ввести статически эквивалентные им погонные силы Т„Т, н Я и погонные моменты М,, М„М„. Поскольку радиусы кривизны для слоя г мало отличаются от радиусов кривизны среднего слоя, получим следующие выражения меридианальной погонной силы: + И/2 Е/г Т, = оз !)г = — (е1+ !1е2) > (5.59) р,й — И/2 кольцевой погонной силы + и/2 ЕЬ Т, = о,Рй =- — '(с2+(1е1); !12 — и/2 (5,60) погонной сдвигающей силы + и/2 5 = т!)а= бйу = у, 2 (1+ !1) Ь/2 (5.61) В предлагаемых выражениях для х1, х„х12 иногда пренебрегают деформапиями е„ а, и поворотами т„ у2 элемента поверхности оболоч-ки в его плоскости. Другими словами, параметры н„ х2 и х12 в основном определяются поворотами нормали к срединной поверхности оболочки.
Чтобы определить погонные силы и моменты, слой оболочки считают находящимся в условиях плоского напряженного состояния. Закон Гука для слоя г изотропной оболочки без учета температурных деформаций можно представить в форме Е о0 (и1г + Ре2г)г 1 — р, Е о,Р— -- — (е2, + 1ие„): (5.58) р2 =!/у, = Е 2 (1+р,) погонного изгибающего момента в меридиональной плоскости + Ь/2 Мд= ~ ав газ =- Е1 (х~+ Ркг)1 — й/2 (5.62) погонного окружного изгибающего момента + в/2 М,= ) о~Ыз =П(н,+р,х,)", — й!2 (5.63) погонного крутящего момента + Ь/2 М, = ~ тгс1г=0(1 — 1А) х„. — й/в (5.64) 1 дМ~ , совО дМ,~ Я,= — — '+(М1 — М,) —.+ — ", дО * с где (5.65) З десь Е1 = ЕЬ'/(12 (1 — ~Р)1 — цилиндрическая жесткость оболочки на изгиб. Положительные направления моментов показаны на рис.
5.10. Моменты изображены в виде векторов, перпендикулярных плоскостям их действия; полоу+ — аВ вО жительное направление векторов соответ"твует правилу м!2 Я~ 1и,+— правого винта. В ф5.3 были со- ставлены уравнения Я ~й мента безмоментной М~' ' дО оболочки, т.
е. когда моменты М, = М,= М2 Р~ = М~~ = О. В рассматриваемой лоиентной оболочке при Ц + — ~~> 2 составлении уравнений равновесия элеРис. 5.10 мента А'В'В~ А ~ сре- динной поверхности, к которой отнесены силы Т,, Т„5 и моменты М„М„М„, надо еще учесть погонные перерезывающие силы Я, и Я,. Это чисто статические факторы, определяемые из уравнений равновесия элемента А'В'В(А ~.
На рис. 5.10, чтобы его не усложнять, показаны только силы Я„9, и'моменты М„М„М„. Повторяя рассуждения, которые были подробно изложены в предыдущем параграфе, получим уравнения равновесия элемента А'В'В(А( моментной оболочки. Из равенства нулю суммы моментов относительно линии А( В~ определяют силу :Аналогично из уравнения моментов относительно линии В'В1 опре. деляют силу (5.66) гдср Д1 дО Получим уравнения равновесия в проекции па касательную к ме: ридиану: 1 дТ; созе .
дЯ вЂ” '+(Т,— Т,) + дВ г где то же, для касательной к параллели: дТ 1 дЯ 2Я Р2 '+ + соз — — '+р, =-О; гдгр 1~1 дО г ~2 — '+ р, =- О; (5.67) Р1 (5.68) , и уравнение равновесия в проекции на нормаль: Т, Т, 1 дЦ; „~ созВ + д~, Й1 Йз Р1 дВ г «д~р Здесь, как и в теории безмоментных оболочек, рз, р,р; р„— составляющие внешней нагрузки, отнесенные к площади элемента срединной поверхности. Шестое уравнение равновесия элемента А'В'В1Л ~ — равенство нулю суммы моментов относительно нормали — должно быть следствием парности касательных напряжений и удовлетворяться автоматически при точных выражениях усилий и моментов через деформации и параметры изменения „кривизны.
Для полученных выражений (5.59) ... (5.64) это уравнение точно не удовлетворяется вследствие отождествления радиусов кривизны рассматриваемого слоя и срединной поверхности. Так как система пяти уравнений равновесия в принципе достаточна для полного решения задач о деформации оболочки, шестое уравнение равновесия можно не рассматривать.
ф 5.5. Классификация напряженных состояний Из уравнений (5.65) ... (5.69) можно исключить перерезывающие силы Ц„Я„а в оставшиеся уравнения подставить выражения сил Т„ Т„Я и моментов М„М,, М„через перемещения и, о, в и их производные и получить три дифференциальных уравнения в частных производных для определения перемещений. Однако практическое решение этих уравнений наталкивается на большие математические трудности.
В то же время очевидна специфика уравнений моментной теории оболочек: силы Т1, Т, и 5 пропорциональны первой степени, а моменты М1, М, и ̄— третьей степени толщины оболочки. По предположению толщина й оболочки мала по сравнению с характерными размерами, например Я, или Р„срединной поверхности. Следовательно, можно максимально упростить уравнения с учетом малости толщины оболочки.
Рассмотрим метод упрощения уравнений моментной теории оболочек, основанный на малости толщины оболочки по сравнению с ее радиусами кривизны. Средние по толщине оболочки напряжения можно определить из уравнений (5.59) ... (5.61): Т, Е ов ср = — =.— (е, + ре,); й 1 — 1~ та %ф сР = — = (за+ р е1) > (5.70) й 1 — ф Я Е й 2 (1+р) Моментные (нзгибные) напряжения при г = ~ Ы2 можно определить из уравнений (5.62) ... (5.64): М~ Ей ови= -Е6 — =,-Ь (х,+рх,); й~ 2 (! — ф) М Ей о,р„— — -Ь 6 — ' = -Ь .(х~+рх~); /Р 2 (1 — ф) М~~ Ей т„= -Е6 — "= -1- х~. И 2 (1+р) В этих формулах величина У/6 есть погонный момент сопротивления нормальных сечений оболочки, высота которых равна Ь, а ширина равна единице. Рассмотрим структуру выражений для деформаций е„е„7 и параметров х„х, х, изменений кривизны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
