balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (523124), страница 22
Текст из файла (страница 22)
На рнс. 4.8, а изображены полученные результаты. Аналогично можно найти значения и, и/ и д для двух других рас- смотренных в $ 4.2 задач. Так, для шпангоута постоянной жесткости, изображенного на рис. 4.5, получим г лй ф~ 1 / гР 23 фй о= — 11 — — +лф лф+ — ~ соз ф— 2.~ З 2 2 ~ 3 4 3 — — (л — ф) яп Д 2 — 1 Г 1 / 11 тР фй ~ и/ = — !(л — ф) (соз ф — 1)+ — ~ — — — + л<р — — ) яп ф; 2л 2 ~ 4 3 г л~ 3 4) = — ! — 1+ — — лф+ — — — соз ф+(л — ф) япф 2л 3 2 2 где о = иЕ31(ТКз)' ы = и~Е3~(ТВ2)' д = ЬЕ3!(ТК2). На рис, 4.8, б эти результаты изображены графически.
' . (д,- я1п !р+ !У„соя !р) Я д!р+ ~, Р; я!и <р, + ~~ Т; соя <р; = О; (дд К+ и) К Й!р + ~ ТД + ~ Л:!» = О, (4.55) де !р!, !р~ и !р» — угловые координаты точек приложения сосредоточеных нормальных и касательных сил Р!, Т; и моментов М», суммироваие производится пб всем приложенным к кольцу внешним силам и оментам.
Первые два условия соответственно означают равенство улю суммы проекций всех действую- Е их на кольцо внешних сил на нейодвижные оси г, и у„а третье— '.равенство нулю суммы моментов от' осительно центра кольца. В общем случае нагружения замркнутого кругового кольца функцию .в =- о (!р) можно записать в виде ,~ р яда ОО о=а,+ ~~~~ а„соя пср+ т; ~у ~ ' + ~~~~~ Ь„я!и п(р. (4.56) !! — ! Тогда для кольца с нерастяжимой осью по формулам (4.7), (4.8) и (4.13) находим ы =- ~~' па„я!пщ — ~' пб„соятр; (4.57) и=! л=.1 Э б= — а,— + У (и' — 1)а„сояп!р + ~1' (а' — 1)6„я'.па!р', (4.58) Я в 2 и 2 и — — У и (и' — 1) а„я!и пср + — ~~~' п (а' — 1) Ь„соя и!р.
(4.59) у Я2 ц=т Ц=Д 1Д Рис. 4.9 ф 4.4. Расчет замкнутьп колец с помощью .,тригонометрических-рядов приближенные решения задач изгиба замкнутых круговых колец Ыогда бывает удобно строить в тригонометрических рядах. При этом ажно исходить из дифференциального уравнения изгиба кольца или з условия стационарности его полной потенциальной энергии. Прежде чем излагать схему решения, отметим, что для кругового ольца, нагруженного самоуравновешенной системой внешних сил рис. 4.9), выполняются следующие условия: (д,соя!р — !~„я!и !р) Я!1!р +,~ ЯР;соя !р; —,!,'Т! я!п !р! =О; 2я ОФ У = — 1 Е3 — '~' п(п' — 1)а„ып пф+ 2Яз,3 и=-2 О/ 3 + ~ и (и — 1)Ьосозщ дф. (4.60) Отметим, что для кольца постоянной изгибной жесткости в силу ортогональности тригонометрических функций У= —" ~', и'(п' — 1)'(а„'+ ЬД).
2д~з (4.61) Прн подсчете потенциала внешних сил учтем сосредоточенные силы и моменты и вместо формулы (4.16) запишем П =,— ~ (до о+ у, а — т Ь) й Йр — '~' Т; о; — ~~1~~ Р,и, + "~~ Мод„, (4,62) о 4 1 й где о; = о (б;) и и, = и (6;) — касательные и нормальные перемещения точек приложения сосредоточенных сил Т; и Р;; бо = д (ф„)— угол поворота нормали в точке приложения сосредоточенного момента М», суммирование производится по всем приложенным к.кольцу сосредоточенным силам и моментам. Подставив в последнее выражение ряды (4.56) ... (4.58), получим П = — ~ о„(ао+ а, соз ф+ Ь, ып ф) Я Йр— о — ~ д„(а, ып ф+ Ь, соз ф) Я Йф — ~ тао мар†о о — '~~ Т; (ао+ а, соз ф; + Ь, ып ф,) — ~~~~ Р„(а, ып ф; — (Ь, соя ф;)— Г ! — '~' Мо ао — ~ А „а„— '~' В„Ь„, Ф л о Рассмотрим использование ряда (4,56) для решения задачи изги. ба кольца методом Рэлея — Ритца (см.
$ 3,1). При решении этим ме. тодом координатные функции должны удовлетворять всем гео)метрическим граничным условиям задачи. Для замкнутого колькой геометрические граничные условия сводятся к условиям замкнутости (4.22'); как видно из выражений (4.56) ... (4.58), все эти три условия замкнутости кольца удовлетворяются при любых а„и Ь„. Внутреннюю энергию изгиба кольца подсчитываем по формуле (4.15), используя при этом выражение (4.59): Вл 21и пф п2 (п2 !)2 (4.68) с Ал з!и аф и (и' — 1)' г ОО Ал сов аф и' (а2 — 1) Вл сов аф и (и2 — 1)2 В„Мп пф а2 (п2 — 1) ~ дз Г2! ~ иЕ,! (4.69) Л=2 (4.70) Изгибающий момент М = ЕУм; поэтому, учитывая зависимости (4.59) и (4.66), находим ОО ОО Х Ал 21и пф 1-,1 Вл со2 пф и (и2 — 1) и (п2 — 1) Л 2 л=2 (4.71) Действуя далее формально, из уравнений равновесия (4.1) можно получить выражения для поперечных и нормальных сил: ОО ОО + Ал со2 иф ~ Вл ып пф и' — 1 п2 — 1 и= 2 и=2 ! оМ; 1 Я йр и -(4;72) пАл 21и пф ~~ пВл соя пф и' — 1 а' — 1 и=2 Л=2 д!,"О ..
1 лР= — — +Фа = — -— йф (4.73) Сходимость рядов, входящих в выражения (4.68) ... (4.73), оценим на конкретных примерах. Рассмотрим, например, шпангоут (см. рис. 4.4, а), нагруженный в сечении ф1 — — О сосредоточенным моментом М, М„уравновешенным распределенной касательной силой !7„= М ~(2пя)., По формулам (4.63) находим А„— (П2 — 1) М,; Вл =О Постоянные а„а, и о, остались ненайденными, Как отмечалось в предыдущем параграфе, эти постоянные связаны со смещениями -кольца в своей плоскости как жесткого целого'.
о = по+ а, соз ф+ о,з(п ф; ж = а, мп ф — Ь, соз ф; (4,67) д = — а,И. Функции о = о(<р), в = ы (ф), 6 = д (ф), определяющие только изгиб кольца, выражаются при постоянной изгибной жесткости Е1 = сопз1 рядами: И из выражений (4.68) „. (4.70) полУчаем сРг иРР ЯгМр ~-~ з1и иф Ы = —,Р„ иг (иг — 1) ггЕ1 п (иг — 1) и г ЯгМр '~-~ ггЕ3 ггЕ1 иг и=2 Эти ряды — сходящиеся, а поскольку исходная сустема координат- ных функций (4.56) полная, при л -г- оо приходим к точному решению. Например, используя табличную сумму ряда 1 ггг Х вЂ” = —, иг Б и=1 из полученного решения находим при гр = О )гРМ 1 )ггМ ~ ггг ,Р (О) ° Р 'ч~~ Р пРД ~йаМ иг ггЕ,У ~ Б а=2 А„=Т; В„=О и из выражений (4.68) ... (4.70) получаем Рг7 г-г сОВ ирг Я3,7 ~~ г 51п лф Щ вл- ггЕ3 иг (и' — 1)' ггЕ1 и (и' — 1)г п=г и~2 лЕ'У и' (и' — 1) и 2 что совпадает с результатом замкнутого аналитического решения, полученного в $4.3.
Ряды, входящие в выражения (4.68) ... (4.73), получаются последовательно один из другого с использованием операции дифференцирования по гр, что приводит к нарастающему ухудшению их сходимости. В рассматриваемом примере ряд, входящий в выражение (4.71), уже не пригоден для практических расчетов, а ряды в выражениях (4.72) и (4.73) оказываются расходящимися. В качестве следующего примера возьмем шпангоут (см. рис. 4.5, а), нагруженный в сечении ч = О сосредоточенной касательной силой Тг — — Т и касательной распределенной силой, изменяющейся по закону (4.29). По формулам (4.63) находим В данном примере и для изгибающего момента ряд оказывается достаточно быстро сходящимся: из выражения (4.71) получаем п=2 Наконец, в тех случаях, когда на кольцо действуют только распределенные касательные'силы, а сосредоточенные касательные нагрузки отсутствуют, ряды достаточно хорошо сходятся и в выражениях (4.72) и (4,73), определяющих силы Ц и У.
Для колец постоянной жесткости результаты, полученные методом Рэлея — Ритца, можно получить, интегрируя в тригонометрических рядах уравнение (4.14). При этом правую часть уравнения следует разложить в ряд Фурье и решение искать в виде (4,56). Такой метод решения приводит к тем же самым окончательным зависимостям (4.68) ... (4.73). В заключение отметим, что определять перемещение кругового кольца обычно удобнее с помощью тригонометрических рядов, а не путем аналитического интегрирования уравнений изгиба кольца. Однако внутренние силы и моменты, как правило, надежнее и удобнее находить одним из методов, изложенных в ~ 4.2.
Часть // ОСНОВЫ ТЕОРИИ И РАСЧЕТА ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ Глава 5 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ Теория оболочек лежит в основе расчетов на прочность тонкостенных конструкций, в том числе сложных и ответственных отсеков и агрегатов ракет. Общая теория основывается на гипотезах, позволяющих свести сложные трехмерныс задачи механики к двумерным. Однако уравнения равновесия и геометрические соотношения при этом оказываются весьма громоздкими.
Их можно упростить, если рассматривать наиболее распространенные в ракетной технике оболочки вращения. Тем не менее решить задачи аналитически удается лишь в отдельных частных случаях. Наиболее простой вариант — б е з м оментная теория оболочек. Она широко применяется при расчетах, позволяя в большинстве случаев получить простые решения.
Более сложныс подходы требуют создания численных алгоритмов расчета. В этой главе даются основы безмоментной и и о м е н т н о й т ео р и и оболочек вращения при осесимметричном и несимметричном нагружении. Уделяется внимание пояснению механического смысла каждого из сложных соотношений теории оболочек и возможности построения приближенных решений задач. $5.1. Геометрия оболочек Основными геометрическими понятиями теории оболочек постоянной толщины являются понятия срединной поверхности и слоя оболочки. С р е д и н н о й или средней поверхностью оболочки называется поверхность, равноудаленная от ее внутренней и наружной поверхностей.
Срединная поверхность делит толщину й оболочки пополам. Откладывая по внутренним нормалям к срединной поверхности оболочки отрезки длиной г и соединяя их концы, получим новую поверхность, которую назовем слоем г оболочки. Поверхность г = Й/2 соответствует внутренней поверхности оболочки, а поверхность г = — Ы2— внешней (рис. 5.1, а). Произвольную точку срединной' поверхности вращения определим как точку пересечения параллели и меридиана (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
