balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (523124), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Процедура расчета здесь принципиально та же, что и в $ 3.3. Раз,':. ница лишь в том, что функции должны быть заменены векторами, а '," прогоночные коэффициенты — матрицами. При расчете необходимо ':-осуществить прямой ход, когда определяют прогоночные матрицы из Г,::.' рекуррентных соотношений, и после удовлетворения условий на пра- $?„. вой границе находят искомые векторы при обратном ходе. ~~' $3.$. Метод конечных элементов Ф:: ~,.." Наиболее распространенным методом расчета сложных конструкции является метод конечных элементов (МКЭ). Его К, особенность состоит в том, что конструкция, представляющая собой непрерывную среду, заменяется ее аналогом, составленным, как нз кубиков, из конечного числа блоков — э л е м е н то в, поведение у::- каждого из которых может быть определено заранее.
Взаимодействие я::.: элементов позволяет представить общую картину деформирования си. [1'-. Стемы, На рис. 3.9 изображена оболочка так называемого вафельного бака, состоящая из гладкой панели и кольцевых и продольных подкреплений. Конструкция оболочки может быть составлена из набора простых элементов: цилиндрической прямоугольной панели 1, прямого ;,'-, ' стержня 2, криволинейного стержня 8. Характеристики жесткости ~.", .
каждого из этих элементов определяются заранее. На рисунке обозначены узловые точки А, В, С, .О, по которым элементы собираются в общую систему. Напряженное состояние такой сложной конструкции может быть определено с помощью МКЭ с единых позиций. 87 Методом конечных элементов решено большое количество задач прочности, устойчивости и динамики конструкций. Он используется для анализа нелинейных явлений, с его помощью удается решить сложные многомерные задачи оптимизации и др. Достоинства метода в его универсальности: возможности использовать элементы различных типов, произвольности рассматриваемой области, простоте приемов построения элементов высокой точности.
В варианте метода, рассматриваемом ниже — методе не ре мещ е и и й, — при стыковке элементов требование удовлетворения Ряс. 3,9 естественных краевых условий необязательно. Этот наиболее известный вариант МКЭ использует формулировку принципа возможных перемещений (1.29).
В матричной форме для трехмерного тела ее можно представить следующим образом: 111' (р)т (бе) с1хс1уй = 11'1" Ят (би) с1хс1уй + +11 (р)т (би) с15. Это же соотношение может иметь вид Я (бе)т (о) с)хс)уй =- Я (би)т ® с)хс)уй + +0(б) (р)Ы, (3.77) где векторы напряжений и деформаций соответственно равны: )т. (3.78) (е) = (ехе„е,т„ц7д у „.)т.
векторы объемных, поверхностных сил и перемещений следующие: (у) = (х) 7) (3.79) (р) (р ррр )т. (и) (иии)т Условие равновесия (3.77) не зависит от свойств материала и справедливо как для линейной, так и для нелинейной системы. Для линейно-упругого тела, имеющего начальные деформации, физические соотношения, принимают вид (о) = Р1 (е) — И! (е„), (3.80) 88 Рассмотрим отдельно левую и правую части условия равновесия (3.81). После подстановки вектора деформаций (3.85) в левую часть уравнения (3.81) оно будет выражено через узловые перемещения и некоторый интеграл, обозначенный символом [К1: Ц [ (6е)т [п1 (е) 'Дхфй = = 6 (и)~ Щ[В1~ [Ы [В1 дхдудг (и)„= 6 (и)~ [К[ (и)„.
(3.87) Здесь [К1 матрица, содержащая основную информацию о поведении малого участка деформируемой системы. Она называется м а т р и ц е й жесткости элемента и является основной характеристикой системы в МКЭ. В правой части уравнения (3.81) интегралы по объему и по поверхности можно представить следующим образом: ПУ((6е)г Ц)1 (е0) + (6и)т (ч)) дхдудг + Д1 (6и)г (Р) Ю~ =- = 6 (и)г Щ [В[г В1 (е,) дхдудг + + 6 (и)" Щ[Ф[г ® дхдудг+ 6 (и)г Д [Ф[г (р) о5.
(3.88) Этими соотношениями определяется вектор (Р) приведенных к узлам внешних сил. Таким образом, считая известными матрицу [Ф1, связывающую перемещения в любой точке элемента с узловыми перемещениями (3.84), и матрицу [В1, соответствующую соотношениям между деформациями и перемещениями узлов элемента по формуле (3.85), определяютматрицу жесткости [К1 и вектор внешних узловых сил (Р): [К1 = Щ[В)т [И [В1 с1хдуй; (3.89) (Р) = Щ [В)г [01 (ео) охоуог + Щ [Ф)г ® охоуог + Ц [Ф)т (р) <[с (3.90) Для каждого элемента условие равновесия теперь принимает вид [К1 (и)„= (Р) (3.91) К такой же форме приводятся соотношения для всей системы.
Но вместо вектора узловых перемещений (и)„и матрицы жесткости [К1 элемента будут вектор узловых перемещений всей системы (и)„ и соответствующая матрица, называемая о б щ е й . или г л о б а л ь н о й матрнцей жесткости [К1: [К1 (и). — (Р) (3.91') Это уравнение является основным при расчете конструкций с помощью МКЭ, Оно позволяет найти перемещения и, воспользовавшись соотношением (3.8б), определить напряженное состояние в каждом элементе системы. Основная задача расчета конструкций методом конечных элементов состоит в определении матриц жесткости элементов, общей матрицы жесткости [К[ и вектора узловых сил (Р). Рассмотрим на примерах, как -определять эти .матрицы и векто'ры.
На рис. 3.10 изображен элемент стержня, изгибаемого поперечной распределенной нагрузкой д (х). Положение элемента опреде:„,ляется вектором (и)„=- (ю,д,и!р92)", (3.92) состоящим из двух узловых пере:мещений и„и, и двух углов пово"рота д,, д,. Положим, что поле :вается алгебраическим полиномом, и = [[ х х' хз1 Рис.
3.10 (3.93) перемещений в элементе описы- имеющим четыре коэффициента: а, ~' =- [А1(а). ~з а4 ;,'Имея в виду, что сечение х поворачивается на угол д = йы/дх, а [также, что при х = 0 имеем в = и~,; д = б,, а при х = 1 имеем Ьи = и;, д = д„находим вектор узловых перемещений (и), = [С1 (а), (3.94) ,'.где 1 0 О О [С1 = р уз 0 Р 2Р ЗР $Вектор коэффициентов (а) с узловыми перемещениями связан обрат!'ной матрицей [С1-'.
(с~) = [С1-1 (и)„. '„Подставив это соотношение в формулу [3.93), получим = [А1 [С1-' (и)„= Щ ( )„. (3.95) ,,Отсюда можно найти матрицу [Ф1. Для рассматриваемой задачи это :; будет матрица-строка 3 —" — 2 ~ — — "+ ~ ~ ° (3.96) ; Относительное удлинение волокна, находящегося на расстоянии г .',ат нейтральной оси стержня, определяется соотношением й'и Интегрирование каждой составляющей матрицы в последнем соотношении для нагрузки д (х) = — д, не меняющейся в пределах элемента, позволяет найти для элемента вектор узловых сил; Ч1з ~1 Чр 1т (3.98) 1. 2 12 2 12 ) Этими узловыми силами заменяется распределенная нагрузка, действующая на балку.
Рассмотрим случай, когда задача о поперечном изгибе балки решается с помощью МКЭ и вся длина ее — один конечный элемент. Для консольной балки длиной Ь = 1 (рис. 3.11, а) нагрузка д замене- дЕ ~Е гуЕг — ф 5 — 12 12 ~~ Ег 2 ~Ег 1 12 Рис. 3.11 на силой Рз = 01/2 и моментом М, = — фз/12. Для этой эквивалентной системы с учетом условий закрепления левого края перемещения мо- гут быть определены из соотношения 61 — 12 61 41з — 61 21з 12 — 61 Симм.
41з 12 й'1 О О а~2 62 Перемещения и угол поворота конца стержня соответственно равны 14 '(6/." /).,6, 1з/(6/ /) Точные выражения для перемещения и угла поворота какой-либо точки балки имеют вид Ч1з Г хз хз Ч/з т хз хз х1 и.= — ~ — — 4 — +6 — р д= — ~ — — 3 — +3 — ). 24Е / ~ 1з 1з 1з )' 6Е1 ~ Р 1з Для узловой точки х = 1 перемещение и угол поворота, определенные по методу конечных элементов, дают точные значения. На рис. 3.11, б построены точные и приближенные по МКЭ (с вертикальной штриховкой) эпюры изгибающих моментов М (х) н перерезывающих сил Я(х) для балки.
Из графиков видно, что они существенно отличаются при нахождении решения только для одного элемента. 12 61 — 12 61 4Р— 61 — 12 — 61 1 12+ 12 61 21з ~ — 61+ 61 2Р !К1 =- —— Е1 1з — 61+61 ~ — 12 61 41з+41з ~~ — 61 21' — 61 12 — 61 2(а — 61 41'. — 12 Оиа складывается из двух частей, каждая из которых соответствует выражению (3.97), смещенных относительно друг друга падве строки и два столбца. Векторы перемещений и сил всей системы, связываемые матрицей Й), следующие: (и)и = (ООи>ада~а»здз)~» (Р) = (Ра М~ 4 О >11>2 — Ч1'>12)Г Решение уравнений дает точные значения для узловых перемещений п>а; дз; из; дз» Эпюры моментов и перерезывающих сил, изображен- Я ные на рис.
3,13, показывают, что в этом варианте расчета определенные по МКЭ усилия и моменты ближе к точным. Очевидно, что при большем числе элементов усилия и перемещения будут еще точнее. гад~' Р1~ ФР Рис. 3.13 Рис. 3.12 При расчленении балки на несколько элементов разница в эйюрах, очевидно, должна быть меньше. Рассмотрим ту же балку, но состоящую из двух элементов (рис. 3.12). Длина каждого элемента 1 = Ы2, Общий вектор перемещений и вектор сил имеют вид (и)а = (и»т Оа п»а оа ~а>а оа)' (7) = (Г, и, Г,Мз Гзя,)т.
Составляющие вектора (Г) равны ~'а= + > Мз= + =О ~'з= > '44з= д1 д1 Ч1з д1з 41 . дР 2 2 12 12 2 12 * Составим матрицу жесткости всей системы г Существует много вариантов метода конечных элементов. Наиболее распространенная схема представлена выше. Значительно реже ' используется вариант, основанный на процедуре Галеркина. Он особенно эффективен при расчете таких систем, для которых затруднительно записать соотношение для полной потенциальной энергии. Рассмотрим особенности применения метода на примере поперечного изгиба балки. Дифференциальное уравнение изгиба балки постоянной жесткости имеет вид ы~Р' — су (х)/(Е/) = О. В рассматриваемой постановке вектор, аналогичный вектору узловых перемещений, должен иметь восьмой порядок, поскольку на каждом конце элемента в качестве степеней свободы необходимо принять не только перемещение и угол поворота, но и изгибающий момент и пере.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
