balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (523124), страница 14
Текст из файла (страница 14)
— частные решения однородного уравнения (3.19). Подставляя выражение (3.21) в формулы (3.20), получаем [Л), (а), +[И,[И,(С) = (~),; И! (~)1+ [13),' [1'), (С) =- (О)1, откуда определяют вектор констант: ~[В[. [1 [.1=' ! Р).— [В). (з).1 [[В[,[11, ~ ~ (О), [В[,(г),~ ' (3.23) Таким образом, для нахождения констант в решении (3.21) необходи- мо иметь значения матрицы общего решения однородного уравнения и векторов частного решения в начале и копие интервала интегрирова- ния. Вектор (г) определяется любым частным решением, например найденным путем интегрирования системы (3.19) при начальном значении (г), = (ООО ... О)г.
(3.24) Матрица однородных решений может быть подсчитана с помощью численного интегрирования системы (3.19) при (Р) = О для начальных значений 1 О О ... О О 1 О ... О (3.25) О О 1 ... О О О О ... 1 Вектор (г), и каждый вектор-столбец, составляющий матрицу [1'1„, играют роль начальных параметров, позволяющих получить и линейно независимых частных решений. Значения матрицы [И~ и вектора (г), соответствуют концу интервала интегрирования. При решении краевой задачи, описываемой системой уравнений четного порядка п, пl2 граничных условий должны быть удовлетворены на одной из границ, а оставшиеся л/2 — на другой.
Если перед интегрированием системы уравнений выбрать начальные параметры определенным образом, то решение можно упростить. Представим решение в той же форме (3.21), но вектор констант (С) пусть имеет размер а~2. Построим решение (3.21) так, чтобы оно удовлетворяло начальным условиям при любых значениях вектора констант. Тогда вектор (С) может быть определен из половины полученных уравнений, тех, которые удовлетворяют граничным условиям в конце интервала интегрирования: (С) = [[В1, [1'1~1-' ((В), — [В1, (з),). (3.26) Рассмотрим пример описанного метода применительно к расчету балки.
Дифференциальное уравнение поперечного изгиба балки имеет вид где и~ — перемещение; д — распределенная нагрузка; изгибная жест- кость Е1 балки может быть переменив вдоль оси х. Запишем уравнение поперечного изгиба балки в виде ЫЯх — д =-- О, ЮЯх 1- М1(Е3) — — О, дМЯх — Я = О, г[ЯЯх =- — д. Здесь ы, д, М, Я вЂ” соответственно перемещение, угол поворота сечения, изгибающий момент и перерезывающая сила в балке. Найдем~ решение этой системы уравнений при граничных условиях: при х = О ш=Оид= О;прих=1 и= ОиМ = О.
г1а левом конце из всех искомых функций известны две: ~а, и д,. Начать интегрирование уравнений (3.27) можно, задавшись значениями начальных параметров М0, ф,. Чтобы найти выражения для ы, д, М, Я при любых х, воспользуемся одним из методов численного интегрирования. Например, в соответствии с методом Эйлера уравнения (3.27) представим в виде в; ~ 1 =- ю, + д, А; М;+1 =- М, + ~, Л; д;,, = 11,. — — ' Л; Я; ь ~ == Р; — у, ~ М; (3.28) ЕХ где Л = Мп — шаг интегрирования; и — число участков, на которые делится интервал 0 — 1; ~ — номер промежуточной точки.
Из формул (3.28)„имея значения перемещений и усилий для (1 = 0), можно найти их в точке (~ =- 1). Затем последовательно для ~ = 2, 3, ... определяют значения а~, О, М, Я во всех точках вплоть до 1 = и (х =- 1). Так как начальные значения М, и 1~, произвольны, полученныезначения искомых функций в конце интервала интегрирования не удовлетворяют граничным условиям при х = 1. Расчет нужно повторить и вести его, подбирая М, и ф, до тех пор, пока условия при х =- 1 не будут удовлетворены. Этот подчас сложный поиск может быть упрощен. Рассмотрим подробнее решение данной задачи, используя матричную процедуру, описанную выше.
Введем вектор состояния (у) = (ид М ®г (3.29) и вектор нагрузки (Е) = (ООΠ— д)г. (3.30) Система (3,27) в матричной форме примет вид уравнения (3.19) — „„(У)+1Л (У) =Г) где Π— 1 0 О 0 О 1!Е3 0 0 0 0 — 1 О О 0 О Матрицы граничных условий (3.20) 1 О 1 0 1В)0 = 0 1 0 0 О О 0 1 , (в],= 0 О 0 О (З.зц и Все составляющие векторов (В), и (О), — нулевые. Общее решение матричного уравнения (3.19) в нашем случае можно представить так:' (у) = С, (у,) + С, (у,) + (г). (3. 32) Значения векторов (у1), (у,), (г) при х = 0 выбирают так, чтобы граничные условия удовлетворялись прп произвольных С, и С,: (у,), = (0010)г, (у,), = (0001)г, (г)о = (0000)г.
(3.33) При начальных значениях (у,), и (у,), нужно проинтегрировать однородную часть уравнения (3.19), а при (г) — уравнение (3.19) с правой частью. В результате получим значения векторов при х = 1: (у1)1 = (н~ 01М1О~)~ (у»)~ = (~«'.0лЛ4 Ю; (е)1. (и о 0о МоЯо)1 ° В соответствии с выражением (3.32) вектор состояния при х = 1 (у)1 = С (у1) + Со(уо)1 + И (3.34) и каждая составляющая векторов (д,)„(у,)„(г), теперь известна. Первые два вектора образуют матрицу [1'1,„которая вместе с матрицсй [В1, из выражений (3,31) позволяет найти вектор констант (С): (С) =- — [ [В1, [1 ),1-' [В[, (г),. (3.35) В случае неоднородных граничных условий для нахождения вектора (С) нужно воспользоваться соотношением (3.26).
Известные теперь С1 и С, соответствуют изгибающему моменту и перерезывающей силе в начале интервала интегрирования, Зная их и вектор (у)„систему (3.27) в матричной форме (3.19) можно проинтегрировать еще раз, тем самым определив все составляющие вектора состояния (у) от х = 0 до х=1. При интегрировании систем уравнений вида (3.19) применяют различные численные процедуры. Кроме метода Эйлера широко используются методы повышенной точности, такие, как метод Рунге— Кутта, Кутта — Мерсона и др.
Отметим, что большинство вычислительных машин снабжены стандартными программами, реализующими эти методы. Рассмотренная последовательность решения задач используется для расчета различных стержневых систем, пластин, оболочек, состояние которых может быть описано обыкновенными дифференциальными уравнениями. Метод начальных параметров обладает определенными преимуществами перед другими численнымп методами, но имеет и существенный недостаток. При большой длине интервала интегрирования и больших коэффициентах в матрице [А) не всегда удается получить достаточно точное решение задачи.
Оказывается, что значения векторов (г)„(у1)„ (уо), и других в конце интервала интегрирования мало чувствительны к изменению начальных параметров. Приходится иметь дело с так называемой «плохо обусловленной» задачей, когда обратная матрица, существенно влияющая на составляющие вектора констант (3.26), оказывается очень неточной.
Это, в свою очередь, ведет к неточному определению вектора состояния. Существует возможность уточниуь решение. Для этого весь интервал интегрирования делится да несколько участков. Интегрирование проводится отдельно для каждого участка и затем участки стыкуют друг с другом. (3.37) Найдем решение рассмотренной выше задачи, описанной обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями, число которых и, и граничными условиями, число которых и/2, на каждом конце интервала. Разделим всю длину вначале на два участка и обозначим граничные точки 0 и 2, а промежуточную — 1.
Решение для первого участка 0 — 1 имеет вид (д) = С (д ) + С„(д„.) + ... + (з,), (3.36) для второго участка 1 — 2 (д) = С,~ (у,~) + С„(ды) + ." + (~,), Число частных решений однородной системы (3.19) для первого участка равно п/2, для второго — и. Суммарному числу (и + и/2) соответствует количество неизвестных констант, которые нужно определить. Их находят из условия стыковки векторов (д) первого и второго участков в точке 1 и из граничных условий в точке 2: С„(д„), + С„(д„), + ...
+ (г )~ = С~ (ды) + + С22(У22)1 + ''' + (~2)1! (3.38) (д)~ = Сы (уы)з+ Сы (дмЬ+ "+ (г~)~. (3.39) Векторы (у,,)„(д,,.), и т. д. выбирают так, чтобы граничные условия в точке 0 удовлетворялись тождественно; составляющие (гДО принимаются равными нулю. Интегрирование на участке 0 — 1 позволяет найти значения этих векторов в точке 1. Векторы правой части соотношения (3.38) в точке 1 (начало интервала 1 — 2) выбирают следующим образом: (д,,), = (100 ... 0)~; (у,,), = (010 ...
0)~, (д„)~ = (001 ... 0)"; (г,), = (000 ... 0)г. Вектор (у,.) в формуле (3.39) определяет граничные условия в точке 2. Их всего п/2, поэтому из всех уравнений (3.39) нужно оставить только те, которые соответствуют известным условиям на границе. Векторы (д д),; (у~з), и т. д. находят интегрированием уравнений на участке 1 — 2 при начальных условиях (3.40). Из уравнений (3.38), (3.39) определяют неизвестные константы См, С,~ ит.д., позволяющие, еще раз проинтегрировав систему (3.19), найти искомые значения вектора (у) на участках 0 — 1 и 1 — 2. Рассмотренная процедура может быть обобщена на случай, когда во всей области имеется большее число участков.
Положим, весь интервал интегрирования разделен на т участков. Число уравнений (3.38) и (3.39) будет равно т. Порядок всех уравнений, кроме последнего, равен и; последнее, соответствующее граничному участку, имеет порядок и/2. Количество неизвестных констант равно (т — 1) и + и/2 = = тп — а/2. Нужно иметь в виду, что и/2 граничных условий удовлетворены на границе в точке О. Для определения составляющих векторов в конце каждого участка нужно численно интегрировать уравнения (3.19) (та — а/2+ и) раз, т, е. столько раз решать задачу Коши. Процесс этот довольно громозд- кий, но если он выполнен, можно переходить к нахождению констант Сд„С„и т.
д. Константы определяют из (тп — п/2) неоднородных линейных алгебраических уравнений. Решение уравнений может быть получено с использованием, например, метода Гаусса. Для определения составляющих вектора (у) необходимо еще раз проинтегрировать уравнения (3.19) при найденных константах Сд, С„...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
