balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (523124), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Для дальнейшего расчета нужно воспользоваться той последова* тельностью решения задачи, которая была применена ранее. Граничные условия (3.59) в разностной форме можно записать, не используя законтурные точки. Сохраняя точность аппроксимации про~ изводной 0 (Л'), рассмотрим первое соотношение (3.49'). Для левого края стержня граничное условие примет вид ( — ЗА + 2ЛВ) а>о + 4Аа~1 — Агоя — 2ЛС = 0 (3 59) Отсюда и из первого уравнения (3.52) нетрудно найти начальные значения коэффициентов прогонки а,; р,. Для правого края стержня при расчете нужно воспользоваться аппроксимацией первой производной влево с точностью 0 (Л') (ЗР + 2ЛЕ) са„— 4Рю„, + Рв„, — 2ЛР = О.
(3.60) Это соотношение позволяет при обратном ходе начать определение всех значений перемещений ю;. Аппроксимация граничных условий (3.59) и (3,60) избавляет от необходимости рассматривать законтурные точки и уменьшает число точек массива, $3А. Применение метода конечных разностей для решения двумерных задач Задачи расчета конструкций, описываемые дифференциальными уравнениями в частных производных, могут быть решены м е т о д о м к он е ч н ы х р а з и о с т е й. Более громоздкие по сравнению с одномерными задачами они предполагают использование аппаратаматричной алгебры и ЭВМ. Общий случай напряженно-деформированного состояния двумерных систем может быть сведен к матричному уравнению: (3,62) [А1 = ИА,1 [А,] [А ~1 [А,] [А,1 [А,И. Тогда уравнение (3.61) может быть представлено в виде [А1 (Ф) = (Р). (3.64) Уравнение (3.64) является достаточно общим — им может быть описано поведение таких двумерных систем, как тонкие пластины, мембраны, оболочки и др.
Например, для мембраны, нагруженной нормальной к поверхности нагрузкой р (х, у), имеющей предварительные усилия Т, вектор (Д нмеет только первую составляющую, отличную от нуля. Она соответствует нормальному к поверхности прогибу и/. Матрица [А] имеет все нулевые члены, кроме первых двух, равных единице, а вектор нагрузки (Р) = р (х, у)(Т. Уравнение (3.64) принимает вид (3.65) дх ду~ т [Ах] —, Щ+ [Аа] — Щ+ [Аз1 (Д+ [Аа] — ®+ +[А,1 — (О+[Аа] В =ГЬ (3.61) где Я вЂ” вектор, содержащий компоненты усилий и перемещений; [А,1 ... [А,] — квадратные матрицы; (Р) — вектор нагрузки. Необходимо получить решение этой системы уравнений при граничных условиях, заданных в каждой точке граничного контура и выраженных через компоненты вектора Я и его первые производные похиу.
Представим уравнение (3.61) в более компактном виде, для чего введем вектор производных д/ д/ д/ д/ д/ ]. дх~ ду~ дх ду дх ду н матрицу, состоящую из блоков ври решении задач методом конечных разностей на область инте* грирования наносится сетка, состоящая из четырехугольных (рис. 3 4, а) или треугольных (рис. 3 4, б) элементов. Выделяют несколько элементов, имеющих центральную узловую точку О. а) Рис. Э.4 1~ —— ' 1+ Лх~ — + Лу3 — + — Лх,' — + д1 Ц 1 д~1 дх дд 2 дхх +1ЛУ,' а' +Лх;ЛУ; д~ 2 ду' дх ду (3.66) Здесь все производные и сама функция ~ соответствуют точке О; Лх;, Лу, — расстояния по осям х и у от точки О до точки ~ (рис, 3.4, а). Число соотношений (3.66) зависит от количества точек, расположенных вокруг центральной точки.
Например, для четырехэлементной прямоугольной девятиточечной разностиой схемы (рис. 3,5), где Лх~ = Лхв Лхх = Лх1 Лх3 = ЛХ1 Лх4 01 Лх5 Лх1 Лхи = Лх1 ЛХ7 Л~хз ЛХВ О1 у1 Лу1 уи 1)1 Л~ух Лу1 Лух = — Лу; Лу, = — Лу; Лу, = О; Лу, = Лу; Лу, = Лу, запишем соотношения (3.66) для каждой из восьми точек. Из всех этих уравнений можно получить несколько вариантов записи производных. Один~из них следующий: (1а 14)+О(ЛХ ); д~ 1 дх 2Лх - — (~,— Р,)+О(Лу ); д~ 1 Я ° ду 2Лд — = — Д вЂ” 2~, + ~~~ + О (Лх~); а1 ах Лх а~1 — ~ = — Вв — 2$о+ 1а! -1'- О (ЛУ'Б Лух — - — а — ! <-1 — ~,~~-о~~к)~оЮН) ф~ дх дд 4Лх Лу (3.67) Частные производные функции 1'(х, у) нли вектора Я в точке О с помощью ряда Тейлора могут быть представлены через значения функции или вектора в соседних точках 1, 2, 8 ...: Точность аппроксимации производных здесь соответствует квадрату шагов Лх и Лу.
Представим (3.67) в матричной форме. Введем вектор узловых точек разностной схемы И ) (Ы4 ИоЫЛ~У Связь между векторами (Ф) и (~р) определяется матрицей (Ф) = [С1 '(И, (3.69) где 1 0 Ьх' 0 О 2 0 0 Ьхз 1 О 2 Ьу~ Ьу~ — 0 Ьх' 0 . 0 О 0 0 1 — 0 4ЬхЬу ! 0 2Ьх 0 0 О 4 ЬхЬу 0 1 0 4ЬхЬу 1 — — 0 2Ьх 0 0 [С1 = 4ЬхЬу 0 0 0 0 0 Π— 0 2Ьу 0 0 1 2Ьу 0 О 0 0 0 0 Подставив выражение вектора (Ф) в уравнение (3.64), получим соотношение И1 (р) = (Л (3,70) соответствующее разностной форме общего уравнения (3.61), где [Я = = [А1[С1. Разностиая схема (матрица [С1) содержит девять точек.
Как уже отмечалось, формулы для разностной аппроксимации производных (3.67) могут иметь и иной вид. Если требуется более высокая точность у решения формулы должны быть значительно сложнее. В первую очередь это отражается матрицей [С1. Что касается физической стороны соотношения (3.70), то когда задача решается в перемещениях и узловые функ, ции или векторы (3.69) выбраны так, что 'они соответствуют узловым перемещениям, матрица [К1 является матрицей х жесткости метода конечных разностей. Рас. з.з Она устанавливает связь между усилиями и перемещениями в узлах сетки и, можно сказать, оказывается некоторым аналогом матрицы жесткости метода конечных злементов, Рассмотренный вариант прямоугольной сетки не единственный, Для областей сложной конфигурации сетку удобно выбирать так, чтобы она совпадала с граничным контуром.
В этом случае треугольные элементы оказываются более рациональными — их можно лучше расположить вдоль криволинейной границы. Такая сетка с элементами разных размеров может применяться при расчете конструкций, имеющих отверстия, включения сложной формы, при нагружении тела локальными силами и т. д. Рассмотрим, как записываются производные функции в точке О через значения функций в окружающих точках (рис. 3.6).
Координаты точки О, так же как и точек 1 ... 6, считаются известными. Воспользуемся уравнением (3.66) и запишем его в матричной форме для каждой точки 1= 1 ... 6: дхз д/ ддз дз/ (3.70') или И1) = и! (ФЬ откуда обратное соотношение для вектора производных (Ф1= И! ' И1). Уравнение двумерной задачи (3.64) в разностной форме для треуголь- ной сетки следующее: (3.7Ц 1К! (гр1) = (~), где [К! = (А! Я! — '. Соотношения (3.70) и (3.71) имеют одинаковую структуру. Матрица 1К! здесь также соответствует матрице жесткости метода конечных разностей, если (~,) — вектор перемещений. При решении двумерных задач методом конечных разностей нужно представить в дискретной форме не только систему разрешающих уравнений, но и граничные условия. Не всегда зто просто сделать, особенно для сетки, не совпадающей с граничным контуром.
Некоторые области могут иметь границу, проходящую между узлами сетки. В этом случае граничные условия на заданной области А (рис. 3.7) необходимо перенести на сеточную область Б, т. е. функции в точках 2 и 4 заменить на функции в точках 1, 3 и б. 84 /1 / 1з ~4 15 Гв Лх! /2 Лх3/2 Лхз/2 Лх4/2 Лхз/2 Лх,'/2 ЛУ1/2 Лх1ЛУ1 Лх, ЛУ3/2 Лх,ЛУ, Лх, Луз/2 ЛхзЛуз Лхз ЛУ4/2 Лх~ Лд~ Лх~ Луз/2 Лх,ЛУ, Лх, Луз/2 Лх,ЛУ, Лх, Лд, Лу, 1 Луа Лу, 1 Лу, 1 Лув дхдд ) д/ дх д/ дд > Применяя простейший вариант замены, использующий линейную интерполяцию, получаем (3.72) Здесь ), и 7, — известные функции, определяемые граничными условиями, а соотношения (3.72) связывают функции в точках, близких к граничному контуру. Чтобы получить уточненные соотношения, соответствующие нелинейной интерполяции, необходимо использовать большее количество точек.
Так, функцию в точке 4 заменяют функциями в точках 8 н а; то же касается точки 7 и др. При решении задач граничные условия на контуре задаются не только относительно самой функции, но и относительно ее производных. Переход к граничным условиям на сеточной области в этом слу- Рис. З.б Рис. 3.7 чае несколько сложнее. Предварительно необходимо получить в граничной точке производные по каждому из направлений х и д. Эти производные заменяют разностями значений функции в близлежащих узлах сетки.
Так, производная в точке 2 по направлению у может быть заменена приближенным соотношением д~ ! ~з — ~с дд ~д 6У Уточненные зависимости получают, используя ряд (3.66). Уравнения и граничные условия, записанные в разностной форме, должны быть распространены на всю область интегрирования. Для этого в качестве центральной точки О последовательно рассматривают ® 1-1,/ и' +м %1,1+~ И11 %1,1 — д 1% — ~,1 1 О Лхз 1 — О Ьуз — О [1 Ц 1 О = (Р).
(3.73) А з Ауз Помещая центральную точку 1, у последовательно на линии 1 = 1, 2, 8, 4 и оставляя индексы у, у — 1, /+ 1, получаем систему уравнений с = 1) (ы,; — 2ы,, + ~со 1/Лхз+ (и~з ...— 2в, 1+ и,,; Д/ЛУ' = р,;; Е= 2) (Юз — 2Ы/з,у+ И~, )/ЬХ + (ыз,з+~ — 2ыъз д+ из у ~)/Лу~=рз,1~ 1= 3) (1изз — 2п~з,з+ н~з,1)йх'+ (пЪ,1+т — 2~зз,;+ пЬ.з-дlЛУ' =Рз,~' Е =4) (и,,; — 2в, 1+ из,;)/Лхз+ (сиз,, +, — 2тю~;+ аг,,;,)/Луз =р,, (3.74) все внутренние точки области и точки граничного контура.
В результате получается алгебраическая система уравнений высокого порядка. Подобные уравнения решают известными методами линейной алгебры. На примере расчета прямоугольной мембраны, нагруженной поперечной нагрузкой р (х, у), рассмотрим решение двумерной задачи. Деформированное состояние у мембраны описывается уравнением (3.65).
Мембрана размера а х Ь (рис. 3.8) закреплена на контуре так, что во всех точках границы перемещение и = О. Нанесем на поверхность мембф раны сетку с шагом Лхвдоль оси х и шагом Лу вдоль оси у. Положим Ах= а/Б. Вектор (Ф) в об- ~2 л з2 щей системе уравнений упро- 11 21 Л Ж /=1 щается и принимает вид а Матрица [А1= [111.
®1,/+~ Узловым точкам присвоим два индекса. Центральная точка О о . . ~р будет иметь индекс 1, /, осталь- 1+1,/ ~~ ные представлены на рис. 3,8, Вектор узловых перемещений 04 1,/'-1 принимает вид Рис. 3.8 (И= .~т = (%1+и зз1,1+~ и'1т 1в., 1 — Р'-и) ° Уравнение (3.70) в разностной форме может быть записано следующим образом: В первых слагаемых каждого из уравнений индекс 1 общий, а во вто- рых — общий индекс / в каждом столбце. Если ввести векторы ( ) = ( 1 4)' (И = Ь1Р р р4)', то система (3.74) может быть представлена в виде — [В[( ) + —,(( Ь вЂ” 2М;+( Ь- =(Р); (3.76) Учитывая, что аь| =- щ~ = О, получаем матрицу — 2 1 О О [В1— О 1 — 2 ! О О 1 — 2 ~' Решение разностного уравнения (3.75), или его несколько иначе за- писанного варианта ( ) + + [л ( Ь + (~Ь- = М' (И~, Где (3.76) [Е1 = ~ [В[ — 2 [11, Лх~ ,: может быть получено методом прогонки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
