balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (523124), страница 20
Текст из файла (страница 20)
вав формулы (4,7) и (4.12), уравнению (4.3) можно придать такой вид — — "+2 — "+и '= — ~ й ~'+д„+ — ~+т . (4.!4) Составим выражение полной потенциальной энергии кольца с не- растяжимой осью. Энергию изгиба кольца подсчитывают так же, как энергию изгиба прямого стержня (см. с. 27): 2й У = — ~ ЕЛк'Мф. - . (4.'15) 2 Потенциал внешних сил кольца, нагруженного, как показано на рис. 4.1, а, очевидно, равен 2л П = — ~ (дно+ д,и — тд) И(Р. о Заметим, что входящую сюда величину х можно подсчитывать по любой из формул (4.7).
Перейдем к определению соотношений, связывающих внутренние силы в кольце с его перемещениями. По гипотезе о ненадавливании слоев напряженное состояние в кольце можно считать одноосным. Тогда нормальные напряжения будут связаны с удлинениями простейшей формулой закона Гука а<'~ = Ез~'>, где Š— модуль упругости материала кольца, а е~'> подсчитано по формуле (4.10).
Нормальная сила в поперечном сечении кольца Заметим, что знак величины тд отличается от остальных, поскольку положительные направления угла б и распределенногомомента и не совпадают. Используя выражение (4.13), справедливое для кольца с нерастяжимой осью, можно все слагаемые полной потенциальной энергии выразить через касательное перемещение о: (4.17) Условие стационарности полной потенциальной энергии ЬЭ = О приводит к дифференциальному уравнению изгиба кольца: как легко проверить, уравнение (4.14) является уравнением Эйлера (см. Приложение 1) функционала полной потенциальной энергии (4.17).
Кроме того, условие 69 = О можно использовать для построения приближенных решений задач изгиба кольца. ф 4.2. Определение внутренних сил и моментов в замкнутом кольце Предположим, что все действующие на замкнутое кольцо (рис. 4.3, а) внешние силы и реакции опор заданы или могут быть найдены из уравнений статики. Нагруженное в своей плоскости замкнутое кольцо в общем случаетри раза статически неопределимо. Для раскрытия статической неопределимости воспользуемся м е т о д о м с и л.
Рис. 4.3 Чтобы составить канонические уравнения метода сил; разрежем кольцо в сечении др = О и приложим неизвестные силы Х„Х„Х, (рис. 4.3, б). Изгибающие моменты от единичных сил и единичного момента, соответствующих неизвестным Х„Х„Х„равны (4.18) 109 М, = 1; М, = 1 Д з1п р; М,, = 1 й (1 — соя ~). Обозначим через Ме изгибаю|ций момент в основной системе от заданных внешних нагрузок и, пренебрегая деформациями кольца от растяжения и сдвига (по сравнению с деформациями от изгиба), получим систему канонических уравнений б„Х, + б1зХз + б1зХз + 61е = 0; бз,Х1 + ЬззХз + бззХз + бзик = 0; (4.19) бз1Х1 + бззХз + бззХз+ бзр = О, где М~М; б„=б;, =~ — ''Яду; о (4.20) 6;р= ~ ' "Яд~р, РМ,М Е7. Е1 = ЕУ (~р) — жесткость кольца на изгиб в его плоскости.
Определив из системы (4.19) неизвестные Х,; Х,; Х„находим изгибающий момент М = М (~р), действующий в сечениях замкнутого кольца: М = Х, + Хзй з1п ф + ХД (1 — соз ~) + Ме. (4.21) Сопоставляя систему канонических уравнений (4.19) и выражение (4.21), можно получить три важных интегральных условия, каким должен удовлетворять закон изменения изгйбающего момента М = = М (~р) в замкнутом круговом кольце: 2з зл 2я — Й<р=О; ( ' д~у =0; ( мсозч дар=О. (4.22) а Е1 ' ~ ЕГ о о Геометрический смысл этих условий тот же самый, что и геометрический смысл трех канонических уравнений: отсутствие в разрезанном замкнутом кольце взаимных смещений по направлениям силовых факторов Х„Х,, Х . Другими словами, выполнение интегральных условий (4.22) обеспечивает в замкнутом кольце выполнение равенств ф (0) =ч~ (2л); гю(0) = ы(2л); о(0) = о(2л).
(4.22') Нормальные и поперечные силы можно найти по формулам У = Хз соя ф + Хз 51п ~ + УР1 ~ = Х, соз <р + Х, з1п <р + Яр, (4.23) где Уе = Уе (~р) и Яр = Яе (~р) — нормальные и поперечные силы от внешних снл в основной системе. Определим, например, с помощью метода сил внутренние силовые факторы в замкнутом круговом шпангоуте постояннойизгибной жесткоатн Е3, нагруженном сосредоточенным моментом Мз.
Шпангоут связан с тонкой обшивкой и внешний момент М уравновешивает- ся касательными распределенными силами д„передаваемыми обшив- кой на шпангоут. Будем считать, что изгибная жесткость шпангоута Ф' .,настолько велика, что влиянием его деформаций на распределение касательных сил д„можно пренебречь; тогда д, = сопз1 и из условия равновесия всего шпангоута, пренебрегая высо- ц) 1) .Я а;У той шпангоута по сравне- —" ~ 4' нию с его радиусом, находим аг о (4 24) 2оайа в о ,1 Выберем основную си- ~г стему, как показано на 05 рис, 4.4, а. У симметрич- оо ных систем при кососимметричной внешней нагрузке симметричные силовые Рас, 4.4 факторы в плоскости симметрии обращаются в нуль, Поэтому в рассматриваемой задаче Х,=О; Х, = О и для нахождения Х, остается одно уравнение бааХ, + б,„= О.
Для подсчета изгибающего момента Мр введем вспомогательный угол а (рис, 4 4, а). Тогда ~Мо Мг — — — ' — у„К (1 — соз я) Я Йа = — ' ~1 — — (<р — з1п ср) 2 о По формулам (4.20) находим Яо з1па ~р оооо баа"-) ~17 = 1 Е1 Е3 о б2Р = ) <1ф= ЯаМронл~р 3 М,Да Е1 2 Е1 следовател,ьно, ~аР З Мо Х,=— ааа 2л Я и по формулам (4.21) и (4.23) окончательно получаем: М = — ~1 — — (ср+ 2 з1 и <р); Мог 1 2 Л а =- — Мо (1+ 2со$ р); 2лй М Ю= — — з1п ~р. оаэи (4,25) На рис. 4.4, б изображен характер зависимости безразмерных личин М = М/М,; ф = ЯК/М,; /«/ = /«/Я/М, от угла «р (благода симметрии задачи -кривые приведены только от «р = О до д = п,1 В некоторых задачах (например, когда внешние нагрузки изменяются непрерывно по всему кольцу) сравнительно простое решение удается получить и н т е г р и р о в а н и е м д и ф ф е р е н ц и- альных уравнений равновесия (42).
Из первого уравнения находим Я=С,соз«р+С,$1п«р+Я > где Я' = Я* («р) — частное решение этого уравнения, Из второг о уравнения получаем М =,ДС1 Б1п «р — ЯС~ соз «р+ Си+ Я) (Я + «и) Й7 (427) Три произвольные постоянные С; можно определить из интегральных условий (4.22). Закон изменения нормальной силы Л« = М («р) нахо- дим из второго уравнения системы (4.1): Д ЯФ /«/ =. С, яп «р — С, соз «р — + Р «/,. Йч« (4.28) В качестве примера определения внутренних сил и моментов с помощью интегрирования уравнений равновесия рассмотрим следующую задачу: замкнутое кольцо постоянной изгибной жесткости Е3 нагружено касательной сосредо' а) 4 мау точенной силой Т (рис. т ' п,г 4.5, а).
Силу Т уравновешивают распределенные м — — касательные силы 'юп т ~га' и'и' и «/„= — соз «р + —. т К ««Я 2««й -О,« (4.29) Равнодействующая перво«/ = — И5~+— го слагаемого в проекции на горизонтальную ось Рис. 4.5 равна Т, она уравновешивает силу, а второе слагаемое уравновешивает момент, создаваемый силой Т относительно центра-кольца. (Такие распределенные касательные силы возникают в шпангоуте,~связанном с тонкой обшивкой, если жесткость шпангоута настолько велика, что влиянием его 'деформаций на распределение «/„можно, пренебречь,) Частное решение Я', входящее в выражение (4.26), можно найти подбором. В данной задаче можно взять Я~ « — (1 «и «р з1 и «р). г 2«« Тогда в соответствии с выражением (4.27) М = ЯС~ ып (р — Ясо СОВ $ + С, + — ((р + ып (р — $ соз (р). тк 2л Из интегральных условий (4.22) находим С~ = Т!(4п); С = — Т!2; С = — ТЯ2, Окончательна, использовав зависимости (4.2Б) ...
(4.28), пелучим: М = — ~(п — ср) (соз ~р — 1) + — ып ср; ТЯ Г 3 2а 2 Я вЂ” ~1 + — 'сов ~р — (л — ~р) ып ~р т г 1 м= — 1(п — ср)соз~р — — ып~р . 2л ~ 2 График изменения безразмерных величин М = М/(ТЯ), 4 = фТ и И = М!Т дан на рис. 4.5, б. Следует отметить, что изложенные выше два способа определения внутренних сил и моментов в замкнутом кольце применимы для колец переменной жесткости.
В этих случаях нужно просто учесть заданный закон изменения жесткости Е,! (ср) в формулах (4.20) или в интегральных условиях (4.22), причем при сложном законе изменения Е3 (~р) соответствующие интегралы можно подсчитать численно. При расчете колец постоянной из'ибной жесписости, изменив обозначения неизвестных Х;, можно выражение (4.21) записать в таком виде: М = Мг + Х1 + Хо з1п Ч) + Хз соз 9, где Х~ = Х~ + ЯХо; Хо = Хой; Хо — — —. Хой. Учитывая равенства 2и ож 2п о з1п(рй(р=О;, ~ з1п~,фйф=й,"' ~ созфдс$-"пО;, о о (4.30) (4.31) (4.32) 1 Хо —— — — ~ Мрсозф<р.
о ои ок ол 1 со~куй~ и; 1 совув!пуйд=О; ~ йр=2п, о о при постоянной жесткости кольца из трех интегральных условий (4.22) сразу находим ож 2й Х(= — — 1 МясЬр; Х~ = — — ( Мр ып <р йщ! 2л Из выражения (4.30) получаем окончательную зависимость для изгибающего момента М = М (~) в замкнутом кольце постоянной жесткости: 2ч 2Л М= Мр — — ~ М й~ — — "" ч' ~ М„яп рйр 2л ) П О О вЂ” ~ Мисозс~йр. (4.33) О Учитывая, что Х2 = ЯХ2 и Хз = — РХ,, из выражений (4.23) получаем окончательные зависимости для поперечных и нормальных сил: 2л 2я а Ь ~ОБ(Р ~ М Б1ПЧДЧ+ 31П(Р ~ М сояФДК лЯ лК О О 2Д 2и 21и <О СО2 <Р У=А'и — ( МрЯ'псай~ — ~ Мисозц>ду. лЯ лЯ При выводе зависимостей (4.33) и (4.34) в качестве основной статически определимой системы использовалось кольцо, полностью разрезанное в одном сечении; входящие в эти зависимости функции Мр = = Мр (~р), Ян = Яг (<р), Фя = У~ (~р) — соответствующие вну/ тренние силовые факторы, создаваемые внешней на- Т грузкой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
