balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (523124), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Вместо этих напряжений, ко- торые в безмоментной теории считаются равномерно распределенными по толщине Ь оболочки, удобно рассматривать погон- д, 5ф~ ные силы Т1 = пей; Т~ = п~й„ 5 = Й, действующие в средин- т,,' ~ Р„а ной поверхности оболочки. Со-;;~ Р„р ~'дэ ставим дифференциальные урав- 5 Л,~,' ~;+ — 'Ф~р кения равновесия элемента АВВ,А, срединной поверхности, к которой отнесены силы Т„ Т, и 5 (рис.
5.6). Т, ~. ~я= Внешние нагрузки, действующие на оболочку, отнесенные к '. ье площади элемента срединной по- д, верхности, обозначим так". рэ— тангенциальная нагрузка в на- Рис. 5.6 правлении касательной к меридиану; р,р — тангенциальная нагрузка в направлении касательной к параллели; р„— нормальная нагрузка, действующая в направ- лении внешней нормали, Площадь элемента АВВ,А, равна пЦй, Внешние силы ра»дай, р~»д~рй и р„»а~рй производят работу па перемещениях и, о и ы со- ответственно.
Чтобы составить уравнения равновесия в тангенциаль- ной плоскости, надо рассмотреть равновесие плоской трапеции АВВ~А1 с углом йх между направлениями АА, и ВВ1. Длины сторон АВ, А,В1 и АА1, ВВ1 трапеции соответственно равны»б~р; (» + й») й~р и й. В случае цилиндрической оболочки с радиусом Я срединной поверхности имеем 0 = .тФ Р, = оо, » = Р, = Р, Р,00 = й = дх и, сле. довательно, ..,1 Но дХ дг аΠ— = — = — =соя О; — = —, (5.19) Йр а <Ь ' »1я д> ' следовательно, разделив уравнение (5.18) на величину г, получим —.
— '+(Т1 — ТЙ + +рв =О, (5.20) 1 дТ1 с»»я О дЯ И1 дО г гдф Второе уравнение равновесия в тангенциальной плоскости удобнее всего получить, взяв сумму 'моментов всех сил относительно точки О, пересечения сторон АА, и ВВ, трапеции (см. рис. 5.5): Т, + — ' Йр а + — с1я йя — Т, а+ — !1я дя+ + 5+ — »10 а+й х х (г+ йг) йф — 5агдф + р Мфй а+ — г1я =О. 1 2 Сократив на величину уф и полагая йя — »- О; йр-»-0, найдем — ' а+ — аг — + «Я+ а5 — + гар„=О. (5.21) - дт, дз дО <1г д»р дО дв й~ Разделив уравнение (5.21) на величину аг и учитывая тождества (5.19), получим ! дТ, 1 дЯ Б — — '+ — — +2 — соя О+р, =О. г дф Д, дО (5.22) Третье уравнение равновесия получим, составив сумму проекций всех сил на направление внутренней нормали к поверхности.
Силы дт, Т,л1ф и (Т, + — ' ЙО) (г + й) Йр лежат в плоскости меридиана и угол между ними составляет ЙО. С точностью до величин второго порядка малости силы Т,й и (Т, + — йр) й лежат в нормальной плодт~ дф скости АО,В и угол между ними равен д$ (см.
рис. 5.1, б), Сумма Так как соя йу — 1, я1п — д",1 = —,ду,; д1г = — йф, то, проектируя 1 1 все силы на ось, перпендикулярную сторонам АВ и А,В, трапеции, получим Т1 + ДО) (г+Д«)»1ф Т1мф Т2!1я ДХ дТ1 1 — Т, + — ' йр~ дя — д т+ ~Я+ — Ьр дя — Здя+ рв «Мдя = 0 дТ » 1 г д5 дф ~ 2 ~ дф Сокращая на величину уф и полагая в соответствии с правилами дифференциального исчисления дг — »- О, дф — »- 0 получаем Т, — '+г — ' — — Т2 Х + — +грв =О. '(5.18) дя дО дв й~ дф у= —. Я.
(5.27) 66 Здесь Е и 6 — соответственно модуль Юнга и модуль сдвига материа-' ла оболочки; а — коэффициент линейного расширения и (1 — 1,) приращение температуры в срединной поверхности оболочки. Система уравнений будет полной, если добавить ранее полученные выражения деформаций через перемещения и, и, и: в,= — — + — соз В+ —; (5.29) г д~р г (5.30) г д~р Р1 дО Через перемещение и, вдоль радиуса г удлинение з, выражается форм лой (5.28) У (5.31). г д~р г Отличительной чертой полученных уравнений является то, что они допускают раздельное интегрирование.
Интегрируя уравнения (5.20), (5.22), (5.24), можно найти общие выражения для сил-Т„Т„ Я, затем определить деформации з„з„т из выражений1(5.25) ... ... (5.27) закона Гука и, наконец, найти общие выражения для перемещений и,®'и, а, интегрируя уравнения (5.28) ... (5.30). При расчете оболочки .по безмоментной теории принципиально важна правильная формулировка граничных условий. Безмоментная оболочка является расчетной схемой реальной оболочки и правильно отражает ее главные свойства только при определенных условиях загружения или закрепления.
-+.»»Ф '»Ь Если на одном из краев оболочки заданы только силовые граничНЫе условия, т. е. нет ограничений для перемещений, то можно по- проекций всех сил на нормаль с требуемой точностью будет Т1гйрпО + Т2ййФ вЂ” р„пЬрй = О. (5.23) Разделив это уравнение на гсЬрй, с учетом выражений (5.1), (5.6) получим та,+ та,= р„. (5.24) Три уравнения (5.20), (5.22) и (5.24) являются искомыми уравнения- ' ми равновесия элемента безмоментной оболочки вращения. Силы Т„т~ и 5 связаны законом Гука с деформациями е~, з„у срединной поверхности, вычисленными в ~ 5.1.
Для изотропной упругой оболочки с учетом температурного расширения е1 = — (Т, — р,Т,) + а (1 — ~о); (5.25) 82 = — (Т2 — 1~Т1) + с» (»»О)» (5.26) Ей $5.3. Осесимметричная задача для безмоментной оболочки Принимая р„= О, о = О, Я = О, а перемещения а, ы и силы Т2, Т, зависящими только от координаты О (или з), получаем уравнения рав- новесия: — +(Т, Т) +Р,=О; 1 с!т~ 'соа В йО т,- т, + =Р' 6', Р2 (5.32) (5.33) выражения деформаций через перемещения: 1 ди и 81= — + —; й, 1О Р,* (5.34) и и аг з2 = — соз О+ г Я2 Г (5,35) где и, =- и соз 0 + ы з1п 6; закон Гука с учетом температурного расширения: ! — (Т1 РТ2) + г2 О 12) (5.36) 1 а2 (Т2 РТ1) +. ~ (~ ~0)' еа Из уравнения (5.33) окружная сила равна 7 2 = Р2 (Рп — Т1%1). (5.37) Подставляя выражение (5.37) в уравнение (5.32) и учитывая, что Р1бО =- й; Я.
(соз 6)!г = сф 6, ставить задачу о нахождении сил Т„Т, и 5, используя только уравнения равновесия (5.20), (5.22), (5.24) и силовые граничные условия. Используя терминологию строительной механики стержневых систем, можно сказать, что безмомецтиая оболочка обладает внутренней статической определимостью.
Статическая определимость, неопределимость или геометрическая изменяемость безмоментнои оболочки как механической системы зависят в значительной степени отграничных условий на торцах. Анализ полной системы уравнений показывает, что в безмоментной теории оболочек на каждом торце можно задавать только два тангенциальных граничных условия, в которые могут входить либо тангенциальные силы Т„ Я, либо тангенциальные перемещения и, и, Может существовать комбинация величин Т, и и или Я и и, и невозможно рассматривать условия Т, одновременно с и, так же как 5 с о.
Далее будет показано, что граничные условия по ы можно удовлетворить, рассматривая моментную теорию оболочек. получаеМ ~~~ +("'~ (. '~~0 Т,+рд — р„с(06=0. (5.36) дв ~ г Р1 Примем Т, = Р~(2яг з1п 6), где Р = Р (5) — новая искомая функция. Ее смысл будет рассмотрен ниже. Подставляя это выражение для Т, в уравнение (5.38) и учитывая тождества йг 66 1 — 6,— = —, йз дя 1~ получаем после умножения на 2м яп 6: ' — =2лг (р„соз 8 — ра з1п6). йР 48 Отсюда Р.=Р,+2тс ~(р„соя 6 — ра з1п8) яЬ, (5.39) Т, = р„Я,— Т, Р,а,),.
(5.41) а5 Рассмотрим подробнее практически важный случай нагружения оболочки гид-. ростатическим давлением. Принимая ра = 0 и соз 6оз = дг, из уравнения (5.39) получаем г Р Р,+2л ~ р„г й', (5.42) Рис. 5.? И? где з, определяет граничное сечение оболочки. Величина р„ соз 6— — ра з1п 6 = р есть проекция нагрузки на ось х. Формулу (5.39) можно представить в виде =Ро 1, 2я~рхг1~5 (5.40) Б1 Все величины, входящие в формулу (5.40), имеют следующий смысл (рис. 5.7): Р— продольная сила в рассматриваемом сечении оболочки; Р, — продольная сила, приложенная в торцовом сечении; 2ар„пЬ вЂ” осевая нагрузка, действующая на элементарное кольцо оболочки длиной й. Следовательно, формула (5.40) определяет эпюру продольных сил, растягивающих оболочку как г стержень переменного сечения, Окружное усилие определяется из фор- мулы (5.37): Если замкнутая в вершине оболочка (г, = О) нагружена внутренним постоянным давлением р„= р = сонями, то т Р =-2лр ~ г йт = тг'р.
о Формулу (5.43) легко получить непосредственно из теоремы Паскаля, так как пг' — проекции поверхности оболочки на плоскость, перпендикулярную направлению силы Р. В атом случае меридиональное усилие Т, = рг/(2 з1п 0). Но г = Р~ з1п О. Следовательно, Т, = рЬ',./2. Кольцевое усилие Т, = / Р, И Р,/(2Р,)). Для цилиндрической оболочки радиусом г, имеющей на торцах днища и нагруженной внутренним давлением р, имеем Т,=рг/2; Т,=рг, Для сферической оболочки радиусом г Т,= Т,=рг/2.
(5.45) По безмоментной теории оболочек перемещения точек срединной поверхности легко найти из уравнений (5.34), (5.35), (5.36), если известны силы Т, и Т,: ди — +и = — '(Т вЂ” Ф')+ай И вЂ” М дв еа и с1д О + ы = — '(Т, — рТД+ аК, (1 — АД. .ЕЬ (5.44) Вычитая из первого уравнения второе, получаем — — и с1д О = /'(О), 6и дв где / (0) = Д, (Т1 — рТ,)/(ЕЬ) — Я, (Т, — пТ1) /(Ей) + 1 ~ (Я1 'Ч2) (" /О)' Интегрируя выражение (5.45),' находим и = С ип 6 -~- в~и 8 ~ ~ (8) (5.46) 5!п О ' Произвольная константа С соответствует перемещению оболочки как твердого тела вдоль оси х. Из уравнения (5.44) получим . = — '(Т,— рт,>+ил,(/ — /„) — С О вЂ” с О ~ у(0) —.
(5.47) бв ЕИ .1 з1п 0 Согласно соотношению (5.35) перемещение в плоскости параллели и, = — (Т~ — р.Т,)+ и г (1 — /~) еа (5.48) Перемещение в направлении оси вращения оболочки определяется »формулой и„= и з!и Π— и» соз О. Тогда получаем и„= С+ "! (6) — ' (Т,— рТ,) — кЯ.,созО (1 — 1,). (5.49) з!и 8 Е»» Для цилиндрических и конических оболочек, где неудобно поль,зоваться независимой переменной О, можно оперировать формулами (5.34) ... (5.36), принимая Л,-~ со и Й,ЙО = = й. Получим т,"' с!и ! (Т1 !!Т~) + с~ (! — 1р) ° 2 сь еа в, ги» Отсюда интегрированием определяют пере-мещение и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
