balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (523124), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Возьмем для определенности выражения е, и х,: (5.71) (5.74) е~= — — + — созО + —; 1 дв и И~ (5.72) г д~р г' х~ + 1 дд, е~ (5.73) дО Эти выражения ие зависят явно от толщины Ь оболочки. Пусть Я, — какой-либо характерный размер срединной поверхности, например радиус кривизны Я, торцового сечения оболочки. Введем вместо величин х„х„х„безразмерные величины х, = К,х~, х, = Я,х„ х„= ~,х„. Тогда согласно формулам (5.70), (5,71) суммарные напряжения в оболочке при г = +- й/2 Е Г й ав= [к,+рк,~ — 1х -';рк,1]; р2 Мо Е Г й оф = — Яв+ ре1 -~ — (хв + рх1) Так как величина Ы(2Р,) мала, то на первый взгляд из формул (5.74) следует парадоксальный вывод, что все слагаемые с изменениями кривизны можно отбросить.
Но в этом случае напряжения будут определяться только деформациями е„е„у безмоментного состояния. (5.77) Более глубокий анализ показывает, что величины х„х„х„, а следовательно, и х,, х,, х„отличаются от величин е~, е~, у порядками частных производных от перемещения ы. Так, из рассмотрения формул (5.72) и (5.73) видно, что в выражение для деформации е, входит только само перемещение в, а в выражение для параметра х, — вторая производная от этого перемещения. ..а "у» Но дифференцирование функции может увеличить порядок ее величины, т. е.
максимальное значение производной может быть больше максимального значения самой функции. Порядок абсолютного значения какой-либо функции можно обозначить введением фигурных скобок. Например, порядок величины и обозначается (и). Предположим, что решение уравнений моментной теории оболочек в каком- либо частном случае можно представить в форме ц) = Ае — "6соз п<р, (5.75) где Л~ 1. Тогда — = — ЛААе -"з соз пср; — = — пАе -"а соз аср.
(5.76) др~ ~з дв д9 ' дгр Из этих формул следует ( — 1 =чи); ( — ) =п (в). Если Л и п — большие числа, то можно сказать, что дифференцирование функции и по 8 увеличивает ее порядок величины в Л раз, а дифференцирование по ~р — в и раз. В теории оболочек коэффициенты Л и и называются коэффициентами изменяемости напряженного или деформированного состояния, Положим теперь, что Л = )~ Я,/й.
Тогда (хД = Л (и) и соответствующими слагаемыми ',в формулах (5.74) уже нельзя пренебрегать. В этом случае ( Й ) ( ) Из этого простого анализа следуют три важных вывода. 1. Напряженное состояние моментной оболочки, описываемое функциями с малой изменяемостью, т. е. функциями, порядок которых не возрастает при дифференцировании, можно приближенно найти по безмоментной теории оболочек, полагая М~ = М, = М„ = О. 2. Если средние напряжения от сил Т„ Т„ 3 и изгибные напряжения от моментов М„М„М„имеют один и тот же порядок, то соответствующее напряженное состояние имеет большой коэффициентиз: меняемости (в одном нли двух направлениях). Его можно определить из общих уравнений теории оболочек, а также приближенных уравнений, учитывающих различные порядки величин производных от перемещений, усилий и моментов.
3. Если изгибные напряжения значительно больше средних напряжений от сил Т„Т„З, то перемещения и, и, и для такого напряженного состояния можно определить из уравнений а~ = е, = — 7 = О. (5.78) 5Мо напряженное состояние соответствует деформированию оболочКи без растяжения и сдвига средней поверхности.
В общей теории тонких оболочек первое напряженное состояние называется б е з м о м е н т н ы и, второе — с м е ш а н н ы м, третье — моментным. Действительное напряженное состояние конкретной оболочки при заданных внешних нагрузках и граничных условиях в общем случае не определяется каким-либо одним видом напряженного состояния, а может складываться из этих характерных состояний. Каждое из них является частным интегралом уравнений теории моментных оболочек.
Другими словами, малость параметра Ы(2й,) позволяет определять различные частные интегралы дифференциальных уравнений теории тонких оболочек из решений соответствующих упрощенных уравнений. Так как дифференциальные уравнения теории оболочек являются линейными, то общее решение их можно искать в виде суммы частных интегралов, содержащих достаточное число произвольных функций или констант интегрирования для удовлетворения граничных условий.
Суммарное напряженное состояние в различных частях оболочки может быть близким к тому или другому характерному напряженному состоянию. Глава о ПРИКЛАДНЫЕ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК В практических расчетах элементов конструкций на прочность и устойчивость широко применяются так называемые п р и к л а д н ы е те о р и и об о л оч е к..При их создании обычно принимают дополнительные упрощения, которые позволяют получить простые аналитические решения задач. Однако эти теории могут быть использованы для расчета только определенного класса конструкций. Например, рассмотренная в этой главе теория краевого эффекта применяется для определения напряжений лишь на узких участках оболочек, близких к цилиндрическим, Т е о р и я п о л о г и х о б ол о ч е к используется при расчете элементов, геометрия которых мало отличается от плоских пластин, С помощью п о л у б е з м о м е н тн о й т е о р и и удается получить простые формулы для расчета тонкостенного цилиндра, когда изменяемость деформированного состояния по окружности существенно выше, чем вдоль образующей.
Теория мягких оболочек применяется при расчете конструкций весьма малой толщины, в тех случаях когда можно не учитывать изгибающие моменты. ф 6.1. Краевой эффект В общих уравнениях моментной теории в случае осесимметричной деформации положим о = О, р = О и все величины — не зависящими от угловой координаты ~р.
В этом случаеу = О; х„= О, М„= О, ~, =- О. Полная система уравнений будет иметь вид 1 /ди 1. 1 1 /Ы е, = — ~ — + и~; е,= — (ис(д0+ы); б,= — ~ — — и; г,~10 )' г,1, 10 (6.1) (6.2) М, =-.0 (ха + (ах,); ЕЬ тг = (еа+ Ре1) 1 — 1аа (М1 М2) 1 с1а 0 Яа М,=В(х,+)аха); ЕЬ т, = — (е,+ре,); 1аа 1 дМ, Ю = — — '+ л, ав (6.3) (6.4) (6.5) — — +(т,— т,) — — +р =О; ! 6 та с1е 0 10 а'а д'а Т Т 1 йД~ с1я 0 — + — + — +Я, — ри — О 60 (6.6) (6.7) ~в() а где Є— окружной радиус кривизны у края оболочки. Будем также считать, что величина с(д 0 для любого края оболочки не слишком велика и радиусы кривизны К1, Йа изменяются вдоль меридиана достаточно плавно. Естественно предположить, что порядок величины перемещения в выше порядка величины перемещения и. Ыи1 Положим что (з) =- 11 — 1.
Тогда главные значения величин, опре- Ф = Ь101- делепных формулами (6.1) и (6.2), равны: и . 1 ~Ъ, 1 Фв . с1д0 йи е, = — ', да= — —; х,= — —; х,= — —. (6.8) Ю ~ ~ц 10а а,р 1~ а0 Из этих уравнений следует, что (ха) ) (х,). Поэтому можно считать, что ,1а Ма=~)х1 = — — ~Мя=ф)ха=ф~'~1. Каа с16а ' (6.9) Если нагрузки ре и р меняются вдоль меридиана достаточно плавно, частное решение уравнений можно, как уже указывалось, найти по формулам безмоментной теории оболочек.
Рассмотрим однородные уравнения, когда ре = р„ = О. Моментное напряженное состояние при осесимметричной деформации теряет смысл, так как из решения уравнений е, = е, = О получаются перемещения и и ы, соответствующие лишь движению оболочки как твердого тела вдоль оси симметрии.
Для приближенного определения .смешанного напряженного состояния, которое соответствует краевому эффекту, рассмотрим упрощения исходных уравнений, следующие из условия быстрой изменяемости напряженного состояния вдоль меридиана. Будем считать,-что для всех искомых спл и перемещений выполняется условие Из соотношения (6.5) с той же точностью следует Я - — —. р ~вщ (6.10) Р~з <~6з Уравнения равновесия (6.6) и (6.7) сразу упростить нельзя, так как неизвестен относительный порядок величин Т, и Т~. Исключим из этих двух уравнений величину Т,. Умножим уравнение (6.7) на с1д 0 и сложим его с уравнением (6.6).
Так как по условию ра = р„= = О, получим — — '+Т,— +Т1 . + ат, стаЕ с~да с~а0 ц, 0, с1ааВ ' +а, — =О. дО Рр г ав Р~ Умножив последнее уравнение на гз1п О, получим — (гТ, з1п 6+ гЯ, соз В) = О. д дя Константа, полученная при интегрировании, соответствует продоль- ной силе, Отнесем ее к безмоментному напряженному состоянию и при исследовании краевого эффекта примем равной нулю: (6.11) Тт = — О~ с1я 6 64 в — -~4~'и~=О, ~О' (6.13) Уравнение (6.7) для краевого эффекта примет вид —,— ~+ — '=О. (6.12) й; 004 Сравним порядки величин меридионального и окружного усилий в краевой зоне.
Из соотношения (6.12) следует Тя — —  — ' Я4 д64 Из уравнения (6.10) и (6.11) получим Т, — — 0 — — с1дО. 1 д~и Д, 'айвз При принятых предположениях порядок силы Т, выше порядка силы Т~, т. е. (Т~) ) (Т~). Следовательно, из соотношений (6.4) и (6.8) получим Т,=Ей —, Подставив эту зависимость в выражение (6.12), получим ,14 щ ЯДЯ4 — + — 'и=О. Щ4 ВЯ~~ Обозначим ЕЬК~~!(Е)К~~) = 12 (1 — р,') В~~ЦРК~) = 4й'. Тогда можно написать Для сферической оболочки Я, = К, =- Я и коэффициент й— = ~/'3 (1 — р') ф'Я/й является постоянным большим числом (при К/Ь ) 100; й ) 10). При постоянном коэффициенте й общий интеграл уравнения (6.13) можно представить в виде ю = е-~а(А соя ЙО+ В яп ЙО) +е~а (С соз ЙО+О з1п АО), (6.14) где А, В, С и П вЂ” произвольные константы. Выражение (6,14) обладает тем свойством, что при каждом дифференцировании оно возрастает в Й раз: ( — ) = Й (ю); ~ —,) = Й'(ю~ и т.
д. Следовательно, это решение удовлетворяет условию малости функции по сравнению с производной. Рассмотрим теперь затухающую часть выражения (6.14): со =- е-"а (А соз И + В Мп АО). (6. 15) Величины соз ЙО и Ып ЙО являются периодическими функциями угловой координаты Π— по значению онн не больше единицы. При увеличении угла О на период перемещения ы уменьшается в е~" раз, т. е. становится пренебрежимо малой величиной. Длина отрезка меридиана, соответствующая этому периоду, равна Ла = — Я =, )/Кй '/ з (~ — в ) (при Я/Й = 400, например, ЛзЯ = 0,122).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
