balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (523124), страница 30
Текст из файла (страница 30)
(6.89) Интервал интегрирования разбивается на и участков. Шаг разбивки Л = — 1/(2п), Обозначим через с некоторую текущую точку: ~ = 0— точка при х = 0; ~ =- п — точка при х = 112. Воспользуемся при интегрировании уравнений системы (6.88) методом начальных параметров. В начале интервала необходимо задаться двумя начальными параметрами.
Для услоьий (6.89) прп х =-= 0 примем начальные параметры а — - А; Т, = В. Если в начале интервала известна сила Т, и деформация е, =- О, так как ы=- О, то из второго уравнения системы (6.88) можно пай= ти величину е1, а из третьего — величину Т,. Таким образом, в начальной точке ~ =-- 0 известны все силы, деформации и перемещения. Приступ пим к определению их в следующей точке. Для этого нужно с помощью Ряс. 6.9 последних четырех уравнений систе- мы (6.88) найти вначале приращения, а затем и сами величины Т„с., ы, и при ~ = 1. Далее опять обращаемся к первым трем уравнениям, чтобы определить величины а„а„ Т, и т. д. Таким образом проходим всю область интегрирования вплоть до ~ = и. При этом сила Т, и угол и должны удовлетворять условиям (6.89) при х — 172.
Если эти условия не выполняются, необходимо провести повторные расчеты при новых значениях начальных параметров к и Т, при х = О. При расчете мягких оболочек приходится иметь дело с задачами, в которых необходимо определить силы и деформированную геометрию оболочки, часть поверхности которой занимают складки. Условие существования складчатых участков — равенство нулю одной из главных сил.
Предположим, что один из торцов цилиндричеекой оболочки (рис. 6.9) имеет диаметр 2 (Л вЂ” б) (меньше, чем диаметр 2Я оболочки в раскройном состоянии). В этом случае вблизи этого торца имеются складки. Необходимо определить длину 11 складчатой зоны и силы Т, на всем участке.
Системой уравнений (6.88) пользоваться уже нельзя. Необходимо иметь в виду условие равенства нулю окружной силы (Т2 = 0). Из уравнения (6.87) следует, что (~ + з) = (1 + е,) — '~-'. Тогда система уравнений мягкой оболочки в складчатом состоянии принимает вид: Т С~ ((1 )з;и (1 ~ ° — з~а). — ' —, Т~'(! +е1)'1" соэ и — = 0; <~х с1я ~7 дх — — (1+ е,) соя и = 0; Й~~ дх (6.90) <1а — +1 — (1+ е,) з1п а =-О. 6х В случае, если складки имеются на всей поверхности оболочки, уравнения (6.90) полностью определяют ес геометрию и силы. Но когда только часть оболочки имеет складки, как, например, на рис. 6.9, уравнения (6.90) нужно решать вместе с системой (6.88). Последовательность интегрирования уравнений здесь та же, что и рассмотренная ранее. Отличие состоит лишь в том, что при решении уравнений (6.88) необходимо выбрать начальные параметры так, чтобы в пределах участка интегрирования окружная сила 72 стала равной нулю.
С этой точки нужно вести интегрирование, используя систему (6.90). В конце интервала требуется удовлетворить граничные условия ю = — 6; Т1 = р (Я вЂ” 6)/(2 е1п к), где 6 — разница радиусов торцов оболочки. Получим решения рассмотренных задач, используя техническую теорию мягких оболочек. Выделим основное напряженноесостояние, соответствующее безмоментной теории. По этой теории для оболочки, имеющей жесткие днища, меридиопальная и окружная силы равны Т,.= ржи; Т„=-ра Полные усилия в оболочке представим в виде некоторой суммы:.
71 = 71ь + 71> 72 = — 720 + 72. (6.92) Геометрические соотношения также упрощаются: йи Йи ц~ — = — д; — =е дх ~х 11 1т 2' (6.93) 1?1 Деформации е, и е2 считаются малыми по сравнению с единицей. В соответствии с принятыми допущениями упростим систему (6.88), для чего проведем линеаризацию уравнений. Дополнительные силы Т, и Т, связаны с деформациями соотношениями Т1 = 4СЬ0 (е1 + е272) — Т1„, 'Т2 — — 4СЬ0 (еа + е,l2) — Т2,. (6.91) На рис.
6.8 угол сс = л!2 — б„где О, — угол поворота нормали к поверхности. Уравнения равновесия примут вид +(҄— 7„) 1 0,=0; Выразим полученную систему уравнений через перемещения. Вначале соотношения (6.91) подставим в уравнение (6.92), а затем деформации и угол поворота представим через перемещения и и ы с помощью соотношений (6.93). Получим два уравнения: 4С 6о —. +2С йо — + (Т1о — Тоо) — — =О' с1хо сс с1х 1с с1х (6.94) с1осо 1 1 с1и — Т~о — + — (4С ~о — Т1о) «~+ — (2С ~о+ Тоо) — = р.
с1хо с1х Заметим, что в каждом из этих уравнений имеются слагаемые, неравноценные по значению. Действительно, при малых деформациях Сйо » Т„; СЬо » Тоо. Учитывая это обстоятельство, упростим систему (6.94): Йои 1 ау, — + — — =О; с1хо 2Я с1х — ҄— + — Сйо ы+ — Сйо — =р. с1осо 4 2 й~ с1хо Ко 1с с1х (6.95) Каждое из этих уравнений имеет второй порядок. На каждой из границ должны быть удовлетворены граничные условия относительно и и ы или их производных. Полученная система (6.95) позволяет получить аналитическое решение. Проинтегрируем первое уравнение один раз: с1и 1 — + — и=С.
с1х 2й (6.96) Исключим отсюда и из второго соотношения (6.95) производную от осевого перемещения + с1 со вайо (6.97) 21с > котороеназываютуравнением безмоментного крае в о г о э ф ф е к т а. Обозначим 3СЛо/(Т„Я') = Л'. 'Решение уравнения (6.97) состоит из слагаемого, соответствующего линейной безмоментной теории: Рйо Тсй ЗС/ о 6СЬО (6.98) Левую часть этого уравнения в соответствии с соотношениями (6.93) можно представить как з, + з,/2. С другой стороны, из выражений (6.91) следует, что е, + а,l2 = ТЯ4СЕо).
Тогда уравнение (6.96) можно записать в виде с1и 1 Т, — + — и= — ' с1х Ю 4Са и части, отражающей влияние краев на деформацию оболочки: и = ю* + Сге — '." + Сге'" (6.99) Константы Сг и С, могут быть определены из граничных условий, заданных на каждом торце оболочки. Для длинных оболочек второе слагаемое в формуле (6.99) можно не учитывать. Тогда, например, для граничного условия; и (0) = О радиальное перемещение описы. вается соотношением ы пУ" (1 — е-х"), которое показывает, что вдали от края перемещение ~г определяется зависимостью (6.98). Перемещение вдоль оси оболочки может быть найдено из уравнения (6.96).
1а'1 Рассмотрим решение задачи, когда часть оболочки имеет складки. В системе (6.90) после линеаризации третье и четвертое уравнения при- нимают вид: а,(0) = — 6; ги,(11) = в; дв (1;) ~1ж дг дх 72(11) 0 в(11) =О. (6. 101) Так как величина 6 неизвестна, число граничных условий здесь на единицу больше суммарного порядка дифференциальных уравнений. Условия (6.101) полностью определяют радиальные перемещения оболочки при малых деформациях. На участке складок они равны: В соседней зоне при х~11 где длину зоны складок 11 можно определить по формуле "=1'Ж~' «' > (6.100) Йхг Т10 Нетрудно видеть, что оно соответствует уравнению плоской нити, растянутой силой Т1О и нагруженной поперечной нагрузкой р. Чтобы определить геометрию оболочки вблизи участка складок, уравнение (6.100) нужно решать совместно с уравнением (6.97).
Поместим начало отсчета на правом торце оболочки (рис. 6.9). Граничные условия задачи следующие". Приведенные решения иллюстрируют основные подходы к расчету ыягких оболочек. Рассматривались простые одномерные задачи в общей нелинейной и упрощенной линеаризованной постановке. При нелинейной постановке необходимо составлять численные алгоритмы расчета, в другом случае иногда можно построить аналитические решения.
Упрощенные результаты могут не только применяться для расчета конструкций, работающих при малых деформациях, но и быть основой для получения более точных нелинейных решений. 5 6.6. Расчеты оболочек по предельным нагрузкам При расчете по предельным нагрузкам реальный материал конструкции обычно заменяют схематизированным жесткопластическим телом, диаграмма деформирования которого показана на рис. 6.10, а. При однородном одноосном нагружении такое жесткопластическое тело остается недефорыируемым до тех пор, пока напряжение в нем меньше предела текучести о„при достижении напряжением значения о, тело деформируется неограниченно. Значение предела текучести жесткопластического тела будем в дальнейшем называть п р е д е л ь н ы м н а и р я ж е н и е м.
Несмотря на такую грубую схематизацию свойств реальных материалов, использование диаграммы жесткопластического тела часто позволяет достаточно точно и, главное, сравнительно просто оценить предельные нагрузки (несущую способность) многих элементов силовых конструкций, 6! Рис. 6.10 ' Значение предельного напряжения о, жесткопластического тела, «заменяющего» реальный материал, следует выбирать, исходя из конкретного вида диаграммы деформирования реального материала. Если диаграмма растяжения имеет выраженную площадку текучести, то знаЧение предельного напряжения о, естественно взять равным пределу текучести реального материала (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
