balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (523124), страница 32
Текст из файла (страница 32)
6.13, б; в приближенных решениях нелинейную зависимость между а, и т~ часто заменяют отрезками прямых, показанных пунктиром. Построение сечения поверхности текучести плоскостью и, = 0 (рис. 6.14, а) начнем с первого квадранта, где п~ и т~ положительны, М1 а) 1. Рис. Б.14 Если т, = 1, то согласно условию текучести Треска в оболочке могут существовать растягивающие окружные напряжения, равные о„причем 0 (,$ ~ 112, как показано на рис. 6.14, б; тогда т,=1; и2 — — $. (6.111) Условию (6.111) соответствует отрезок А,В, на рпс.
6.14, г. Если принять ! ) $ ~~ 1(2, то это приведет к уменьшению осевого момента (рис. 6.24, в). В этом случае т~=4$(1 — ~); из= ~. (6.112) Исключая из соотношений (6.112) параметр $, можно найти зависи мость Ш1 — — 4П2 (1 — П2). (6.113) Рассуждая аналогично, можно получить для других квадрантов кривую, показанную сплошной линией на рис.
6.14, г. В приближенных решениях зависимость между и, и 11г, часто упрощенно заменяют квадратом или шестиугольником, как показано на рис. 6.14, г пунктиром и штрихпунктиром. На примере рассмотренного выше случая, когда п~ — — О (см. рис. 6.13), выясним, как деформируется сечение оболочки, находящееся в состоянии текучести. Будем считать, что гипотеза прямых нормалей (см. ~ 2.4) справедлива и для пластической области деформации оболочки, поскольку, эта гипотеза носит чисто геометрический характер.
Тогда очевидно, что отрезок АВ должен поворачиваться относительно точки С, как это показано пунктиром на рис. 6.13, а. При этом абсолютные значения относительного меридионального удлинения е и изменения кривизны в меридиональном направлении х, остаются неопределенными. Однако для каждого конкретного распределения напряжений между ними существует определенная зависимость.
Действительно, из простых. геометрических соотношений (см. рис. 6.13, а) можно найти, что при и,( 1а, = Ь Я вЂ” 1!2) к„а внутренние силы связаны с параметром $ выражениями (6.109). При и, =, 1 или согласно первому из соотношений (6.109) при 5 ~ 1 зависимость между з, и х, однозначна, при и = 1 эта зависимость перестает быть однозначной, т.
е. геометрически это означает, что при и, = 1 сечение может деформироваться (поворачиваться) таким образом, что центр вращения отрезка АВ лежит вне сечения на расстоянии Щ от точки В, причем значение $ в этом случае может быть любым в интервале 1 ( 3 ( оо (условию $ = оо соответствует растяжение сечения без изменения кри.- визны), Аналогичные рассуждения о деформировании сечений оболочки, находящихся в состоянии текучести, справедливы и для других случаев сочетаний внутренних силовых факторов, но в общем случае картина деформирования усложняется двухоспостью напряженного состояния.
,! Как можно видеть, условию текучести могут соответствовать различные комбинации значений внутренних силовых факторов. В соответствии с этим в предельном анализе конструкций говорят о различных пластических режимах работы оболочки. В общем случае, если оболочка находится в предельном состоянии, на разных ее участках могут реализовываться разные пластические режимы, и одной из основных трудностей решения задач по определению несущей способности оболочек является правильный выбор этих режимов. Общих правил 1по выбору'~пластических режимов не существует: в каждой конкретной'задаче приходится просто «перебираты разные варианты комбинаций пластических режимов, проверяя при этом выполнение геометрических условий деформирования оболочки. В качестве простейшего примера выберем пластический режим и найдем предельное значение внутреннего давления р для шарнирно опертой по краям цилиндрической оболочки радиусом Л и длиной 1 (рис.
6,15, а). Сначала решим задачу статическим методом. Поскольку меридиональная сила в, рассматриваемой задаче отсутствует, то для выбора пластического режима следует воспользоваться кривой текучести, построенной при и, = 0 (см. рис. 6.14, г).
При осесимметричной деформации уравнение равновесия цилиндрической оболочки имеет вид 4~А Т~ Р (6,114) Рас. Б.1Б ! пластический режим будем выбирать для этого квадрата. Поскольку в окружном направлении оболочка растянута, то естественно выбрать пластический режим, соответствующий стороне квадрата 0,0„т. е.
такой, при котором а, = 1, а значение величины т, может меняться от +1 до — 1. При выбранном пластическом режиме уравнение (6.114) примет вид гД2у 1 т, =Р— — ' (6.116) ~,а у~ Интегрируя это уравнение, находим М =(р — — '1 ~ +С к+С. Используя граничные условия (6.115), получаем М,=р — — ' х —, Максимальное значение М,„„момента будет при х = 1!2, и, следо- вательно, т, Б Р '+ М1 тат. ст Поскольку ~ М, „~ не может быть больше М„то окончательно для мак- симального значения р„получаем р = — + — М. тт ст с т (6.117) Граничные условия рассматриваемой задачи: м, (о) = м, (1) = о.
(6. 115) При значении давления, равном предельному р„, величины М, и Т, связаны между собой кривой текучести, изображенной на . рис. 6.14, г сплошной линией. Таким образом, чтобы найти предельное ' давление, нужно проинтегрировать уравнение (6.114) при граничных условиях (6.115) и при дополнительной связи между величинами М, " и 7, из условия текучести.
Можно упростить решение, заменив точную кривую текучести квадратом 0,0,0,0~, изображенным на рис. 6.14, г; Теперь определим предельное значение давления кинематическим методом. Для этого зададимся механизмом потери несущей способности (рис. 6,15, б). Работа внешних сил (давления) равна 2пЯ ри)йх =2пЯр и~о (/ — 211) + 2.— ~го 11 2 Работа внутренних растягивающих окружных сил (согласно выбранному пластическому режиму всюду Т, = Т,) на соответствующих удлинениях равна 2лй 1 Тт — сЬ = 2яКТ, "— ' (1 — 2/,) + 2 — — ' 1,", й ~Р 2 й 1 о а работа моментов М„образующихся в двух сечениях, равна 2 2лММ т<р = 4пй М тшо/1,.
Приравнивая работу внешних сил работе внутренних сил, получаем р„= — т+2 ' при О' 1,(1/2. (6.118) 1, (1 — 1,) Как легко проверить, минимальному значению р,,„, будет соответствовать 1, = //2; тогда значение р„„, получается то же, что и значение р,.„определяемое формулой (6.117): 7' Я от/т / Щ ~ р = — '+ — М =- — '~! +2 — ~, И1Н 12 т 12 где Ь вЂ” толщина стенки оболочки. Формулы (6.117) и (6.118) получены в предположении, что меридиональпые силы в оболочке при потере ее несущей способности остаются равными нулю.
Другими словами, закрепление краев оболочки пред- полагается таким, что оно не а) Ч Х1 препятствует их сближению. Именно в этом случае значение предельного давления. оболочки конечной длины практически очень мало отли1 я чается от значения предельН юг- ного давления бесконечно ь ' е~ длиннои оболочки, для Рас. 6Л6 которой, очевидно, р р —— = а,й/Р. Если бы при решении 'была использована точная кривая текучести, то совпадение результатов при решении двумя методами означало бы, что получено точное значение; в нашем же случае можно только утверждать, что полученное значение р,р = р„= р,, не меньше точного значения. В качестве второго примера найдем кинематическим методом предельную нагрузку для длинной цилиндрической оболочки (радиусом Я), нагруженной погонной нагрузкой д (рис, 6.16, а).
Механизм поте- 182 рй несущей способности выбираем, как показано на рис. 6,16, 6. Приравнивая работу внешних сил работе внутренних сил, как было сделано в предыдущем примере, получаем д,„„== 4М,Л, + Т,1,/Я. (б. 119) Так как кинематический метод дает завышенную оценку для предельной нагрузки, то величину 1, в выражении (6.119) нужно подобрать из условия минимума величины о„„„. Дифференцируя выражение (6.119) по 11 и приравнивая производную нулю, находим 1,=У4М,Кт,, =~~Ж где Ь вЂ” толщина оболочки.
Тогда из выражения (6.119) окончатель- но получаем д = 2 — ' ЗАЛЕ. (б. 120) Я Точное значение предельной погонной нагрузки ~~пр 1 82 1~ йй Я Полученный результат довольно любопытен: вовлекаемая в деформацию («выламываемая») зона жееткопластической об" .очки г меет 1ш рину того же порядка, что и зона упругого краевого эффекта. В рассмотренных примерах выбор пластических режимов деформирования оболочки не составлял никакого труда.
В более сложных задачах приходится рассматривать целые серии возможных вариантов пластических режимов, что существенно усложняет решение. В таких случаях прибегают к помощи современных методов линейного и нелинейного программирования с использованием ЭВМ. Однако нужно отметить, что при этом теряется одно из основных преимуществ расчета по предельным нагрузкам — простота и наглядность. Глава У УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕЙ И ПЛАСТИН ~вз В главе сформулированы и решены некоторые конкретные задачи устойчивости упругих прямых стержней и прямоугольных пластин.
Такие задачи встречаются при расчете тонкостснных элементов ракетных конструкций. Рассматриваются три круга вопросов: определение критических нагрузок для идеально правильных стержней и пластин, влияние начальных геометрических несовершенств и поведение упругих стержней и пластин после потери устойчивости. Особое внимание уделено выводу однородных линеаризованных уравнений и формулировке граничных условий в задачах устойчивости идеально правильных упругих стержней и пластин и аналитическому решению этих уравнений в сравнительно простых случаях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
