balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (523124), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Гранич- (6.70) 1ба ( ~Р 1 ~'Р~ ~~ д'Р ) (6.66) Для изотропной оболочки дх» 12й' ДЧ~» д~» д<р' (6.67) ЕЩ» ~, д~у» ' дч:» дхд(~2/ Рассмотрим граничные условия на торцах оболочки (х =- О и х = — »). Поскольку в полубезмоментной теории условиями М, = О, Я, = О, е, = О исключен краевой эффект, то на краях оболочки можно ставить граничные условия только для тангенциальных сил Т„Б или перемещений и, о. Но усилие 5 и перемещения и, о прямо не входят в уравнения (6.66) и (6.67). Поэтому необходимо гранияные условия выразить через перемещение ы и его производные по х па краях оболочки.
Если на торце оболочки тапгепциальное перемещение о — О, то согласно равенству (6.64) перемещение и. = О. Из формул (6.62) и (6.64) следует, что если на торце оболочки перемещение и - О, то дЫдх = О, а следовательно, и дух = О. Из уравнения (6.65) следует, что если на торце оболочки Т, — О, то д'ы'дх" -- О. Наконец, если сила 5 = О, то согласно формуле (6.52) дТ,/дх =- О и в соответствии с уравнением (6.65) д'г'дх' — О. Таким образом, на каждом торце оболочки в зависимости от способа закрепления могут быть следующие варианты однородных граничных условий при х — О или х =- 1.
1. Свободное опирание края оболочки. Запрещены радиальные перемещения и и нет продольных сил Т,. Край оболочки как бы оперт на катки, свободно перемещающиеся в направлении оси оболочки. Граничные условия таковы: Условия сопряжения двух. оболочек с разлнчнь1мн жесткостями В, и В., следующие: ды, да, д2а'~ д2в, дз и, два~ ы,= г„; — = —; В,— =В,—; В,— =В,—. дх дх ' дх~ дхз ' дх~ дхз Уравнения (6.66) и (6.67) относительно легко решаются в тригонометрических рядах по угловой координате ф, Рассмотрим случай нагружения оболочки силами, симметричными относительно вертикальной плоскости симметрии оболочки.
Будем считать, что р„= О. Радиальную нагрузку рл и тангенциальную нагрузку р в этом случае можно представить в форме рядов Фурье с коэффициентами, зависящими от осевой координаты к: р„=рл, +рл,созф + ~ р„сони ф; л=2 (6.71) р„= р„, яп ф+ '~~ р~„яп иф, ' Осесимметричная часть нагрузки р„,, как и следовало ожидать, не создает перемещения з, поскольку е, = О. Нагрузке р, соответст- вует кольцевое усилие Т~ = р„,Я. Отдельно рассмотрим нагрузки р„=- р„, созф, р~:= р,,з1п ф. (6.72) Такие нагрузки возникают от веса и гидростатического давления. Для этих нагрузок д4р д р, " + '~ =(и„— р,р,) соз ф. др4 дф Соответствующее радиальное перемещение будем искать в виде в = су1 соз ф.
При подстановке двух последних соотношений в уравнение (6.66) получим — — (Рл, — Р~,). д4М1 1 (6.73) дх' ВЯ2 Следовательно, действие нагрузок, определяемых формулами (6.72), не вызывает изгиба поперечного сечения оболочки; оболочка работает на поперечный изгиб как балка. Действительно, эти нагрузки, приложенные к поверхности оболочки, эквивалентны поперечной погонной силе р =- Й ) (р„сов' ф — ' р,р, яп'ф) <Ьр = и (р„, — р,) К, о действующей на балку. Если теперь через у обозначить прогиб оси оболочки как балки, то радиальное перемещение оболочки м = = у соз ф. Нетрудно видеть, что ю, = у и уравнение (6.73) можно представить в форме сРуЯх1 = р/(Вгтрк').
Но В = ЕБ и гг К'Ь =,7, где Х вЂ” момент инерции поперечного сечения оболочки, Следовательно, уравнение (6.73) эквивалентно уравнению 64у л — у=р с1х4 для поперечного изгиба оболочки как балки. Таким образом, оболочку, находящуюся под действием нагрузок, выраженных соотношениями (6.72), надо рассчитать на изгиб как балку. Согласно уравнению (6.58) кольцевое усилие от этих нагрузок 7'2 = рл, Й соз ~~. Из этой формулы следует важный вывод, что от действия чисто гидростатической нагрузки р„= р, + р„, сов ~ кольцевое усилие в цилиндрической оболочке 7'2 = р„Р.
Рассмотрим теперь только нормальные составляющие нагрузки, изменяющиеся в поперечном сечении по гармоникам с номерами и ) 1: р„= — р, соз п~р. Правая часть уравнения (6.66) будет равна Я вЂ” 2 — а'р„сов п ср. В Й Перемещение в будем искать в форме в = в„соз пср. Из урчвнения (6.66) в частных производных получим обыкновенное дифференциальное уравнение для функции ,14~„п4 (,га 1)2 д4 — +1~ ип=, рп . дх~ ВД' ВД~ (6.74) Это уравнение аналогично уравнению изгиба балки на упругом основании: дау й р — + — У= дх4 Е3 ЕГ з( а 1)г, ц и'(~ — 1)" 12йз дз ' "и Обозначив г.га4 (и' — 1)'/(ВЯ") = 4р4, представим уравнение (6.74) в виде (6.75) 1х "" В1~ Если под величиной Е,7 для цилиндрической оболочки понимать ее изгибную жесткость как балки, т. е. считать Е3 = ггК'ЕЬ = ггйзВ, то можно считать, что жесткость Й упругого основания и поперечная нагрузка для условной балки на упругом основании зависят от номера гармоники п.
Оощес решение этого уравнения можно представить в двух эквивалентных формах: е а (Аэ1п~пх+Всоэ~пх)+ ~. сап'(Сяп рп х+Рсоэ рп х); (6.76) ~4п = К„ + С, ЗЬ Рпх ЯП РпХ -~- С2 З)1 РпХ СОЗ РпХ + С, СЬ Рпх Х ( З1П Рпх + С4 СЙ Ипх СОЗ ~3пХ. (6:77) В этих формулах через ю„" обозначено частное решение уравнения (6.75). Если нагрузка р„изменяется по закону р„= а„+ Ь х + с„х' + + г(„х', то частное решение уравнения (6.75) будет выражаться простой формулой ВЯ2 4~й В (и' — 1)4 Справедливость этой формулы легко проверить подстановкой в дифференциалыюе уравнение. Константы А, В, С, Р или С1, ффС, следует определять из граничных условий на краях оболочки. Когда все функции а~„найдены, перемещение ю оболочки (за вычетом перемещения от общего изгиба оболочки как балки) можно определить из формулы СО ы = '~~ ы,совам.
п=2 Зная перемещение ~а, легко найти и все другие расчетные величины. Изгибающий момент М2 определяют по формуле (6.56), усилие Т,— из уравнения (6.58), усилие Т, — из уравнения (6.65). 5 б.5. Основы теории мягких оболочек Теория мягких оболочек применяется при расчете тонкостенных конструкций, изгибная жесткость которых весьма мала. Одна из важных особенностей таких конструкций состоит в том, что при определенных условиях на поверхности оболочки могут появляться мелкие складки. Они возникают в результате действия сжимающих сил. Оболочка или отдельные ее участки как бы теряют устойчивость. Силы, действующие в направлении, перпендикулярном складкам, малы и при расчете принимаются равными нулю.
На поверхности оболочки есть также зоны, где оба главных усилия — растягивающие. Они во многих случаях занимают значительную ее часть. При определении геометрии и силовых факторов в оболочке при нахождении границ участков складок не может быть применено правило неизменности начальных размеров Уравнения равновесия должны быть составлены для деформированного состояния. Наиболее общей оказывается теория больших деформаций оболочки, использующая нелинейные геометрические и физические соотношения.
166 При исследовании и расчете конструкций, имеющих ограниченные деформации, применяется приближенная теория — т е х н и ч е с к а я теория мягких оболочек.Онаосновапанаобщемнелинейиом подходе, но предполагает выделение некоторого основного напряженного состояния и линеаризацию системы уравнений оболочки. Ниже рассмотрены некоторые вопросы теории мягких оболочек. Особенности построения исходных зависимостей, их обоснование и применение для расчета выявлены в задаче о деформировании мягкой цилиндрической оболочки, нагруженной бг~ равномерным давлением. Рвс. б.б Рис.
б.7 При осесимметричном нагружении цилиндрическая оболочка становится оболочкой вращения (рис. 6.7). Уравнения равновесия мягкой оболочки, как уже указывалось, составляются для деформированного состояния и ио виду совпадают с уравнениями оболочки вращения (6.78) (6.79) Нужно отметить, что неизвестными величинами здесь оказываются не только силы 7, и 7'„но и геометрия деформированной оболочки, т. е. размеры Й1', Й,,'; г'. На рис. 6.8 изображен элемент оболочки в на ~альпом АВ и деформированном Л,В, состояниях.
Точка Л при деформации переходит в точку А1, получая перемещения и, -сь Координаты точки Л, следующие: Очевидно, что приращения координаты х' и радиуса г' равны дх' ==- бх + с1и; Ь.' =- с(г, (6.80) Б точке А, нормаль к деформированной поверхности и ось вращения образуют угол и.
Из рис. 6.8 видно, что дх' . сЬ' — =яп и; — — сока, дБ ' ЙБ Имея в виду соотношения (6,80), получаем дх да .. ды — + — =япа; — =сози. (6,81) ЙЕ ЙЕ до Так как длины дуг А,В, и АВ связаны зависимостью пз = г(х Х х (1 + е,), то уравнения (6.81) можно представить в виде. — + 1 = (1 -.'; е,) я и а; — =-- ('1+, е,) сов а. Йи, . ду (6.82) дх ~1х Эти геометрические соотноше!шя получены без каких-либо ограничений на величины перемещений. Они должны быть дополнены следующими зависимостями: — е, = —. (6.83) Р$ ЙЯ (1+8~) дх Яо г Я (1 ~ ео) Выразив значения кривизн в уравнениях равновесия (6.78) и (6.79) через соотношения (6.83), получим дх 1+ЕЕ _#_ о К полученным уравнениям необходимо добавить уравнения, связывающие деформации и силы Т„Т,, Они могут иметь самую разную форму в зависимости от материала оболочки.
Для нелинейно-упругого высокоэластичного материала одна из простых физических зависимостей может быть определена выражением удельной упругой энергии деформации в такой форме: (Уо = ~ С1(1 -!- е,)'+ (1 т ео)' + (1+ ез) — 31, 01— о) (1+ Ео) (1+ Е») д»1 ! дУ» 1'- Р де» дУ» Р» бо (!+Е») (! -! Е1) ! о— (1+Е~) (! — ~-Ео) дЕ» где р» — напряжение, опредсляемое гидростатпческпм давлением. Его значение может быть определено из такого, например, дополнительного условия, как равенство нулю напряжения и,.
Будем считать также, что упругое тело при деформпровании не изменяет объема, т. е. (1 + е,) (1 !- е,) (1 -'; а;,) -- 1, где коэффициент С имеет размерность напряжения и соответствует модулю упругости второго рода; е„ е„ е, — деформации вдоль глав- ных осей. Для нелинейно-упругого тела соответствующие напряжения определяются соотношениями [2И: Таким образом, деформация е, в направлении нормали к поверхности оболочки, соответствусощая изменению толщины, связана с деформациями ез и ез Напряжения а, и а, тогда выражаются так: а, == С (1+ е1)'— (1+е,)з (1 — ,',е,)' ~ а,= С (1+а,)2 — ' (1+е,) 2 (1+е,)' При решении задач обычно используются не напряжения, а силы Т, и Т,.
Соотношения между ними можно представить следующим образом: 7'1 =- о1Ф = аФ0 (1 + ез) =- аА%1 + е1) (1 + ез)1' 7 2 М аз~10 (1 + ез) а2~0' ((1 ~ е1) (1 + е2))' Здесь Ь и йз —. толщины оболочки соответственно в деформированном и начальном состояниях. Окончательные зависимости между силами и деформациями вдоль главных осей следующие: Т , =СЬ„1+ ' 1+ез (!тес)з (1+ез)з (6.86) (6.87) Уравнения (6.82), (6.84) ... (6.87) и последнее из соотношений (6.83) представляют собой полную систему зависимостей, необходимых для решения задачи. Перепишем ее в той последовательности, в которой проводится численное интегрирование: Е2 ~ 1+е, 1 (! ) е )з (1 ~ е )з 1 (1+ е1)з (1+е,)' ат, 1+е, 1 + (Т1 — Тз) — ' — сов ос -= О; с!к 1+ ез с(и Тз 1-,' е, 1 .
р — + — ' — '' — а|па. =- — (1+е,); с!к т' 1+е, Я С! Се — — (1+ е,) соз а = О; с1 к — -1г 1 — (1,'- е,) з( п я =- О. с)и с!к (6.88) Для интегрирования уравнений системы необходимо на каждом граничном контуре иметь по дьа граничных условия. Цилиндрическая оболочка длиной 1, закреплеш1ая на каждом из торцов, имеет следующие граничные условия: ы (0) = 0; и (0) = 0; а (Г2) =- л!2 Т, (Е!2) — р (Я + ы)!2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
