balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (523124), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Решения более сложных задач устойчивости стержней и пластин с помо- 1цью современных численных методов, описанных в гл. 3, приведены в литературе 19, 19). Все задачи рассмотрены в линейно-упругой постановке без учета таких свойств материала, как пластичность и ползучесть. Для расчета многих тонкостенных силовых элементов конструкций такая постановка вполне достаточна.
Случаи, когда потеря устойчивости происходит за пределом упругости, изложены в П1 части книги, где приведены расчеты с использованием полуэмпирических корректирующих коэффициентов, учитывающих реальные своиства материала. 5 7Л. Критические нагрузки прямых упругих стержней Тонкий стержень, нагружаемый сосредоточенной силой Р и рас= пределенной силой д = д (х), отнесем к прямоугольной системе координат, направив ось х по ови стержня (рис.
7.1, а) и поместив одну из главных центральных осей поперечного сечения в плоскости хг. Если все внешние силы и реакции опор действуют строго по оси стержня вплоть до потери устойчивости, очевидно существует состояние равновесия стержня с неискривленпой осью. При достаточно малых нагрузках это начальное состояние равновесия будет единственным и устойчивым. Найдем наименьшее значение внешней нагрузки, при котором появляются смежные с начальным новые состояния равновесия стержня с искривленной в плоскости хг осью.
Как было показано в ~ 1.6, Рис. 7,1 это значение нагрузки будет к р и т и ч е с к и м, т. е. при его превышении начальное состояние равновесия стержня перестанет быть устойчивым. Условие равновесия элемента с(х неиснривлвнного стержня (рис. 7.1, б) выражается уравнением (см. ~ 1.5) Л'»» +»7 = О. (7.1) Здесь и далее штрихом обозначено дифференцирование по х. В дальнейшем задачу определения начальной осевой силы Жо = Л~о (х) будем считать решенной и закон изменения силы по длине стержня— известным. Рассмотрим равновесие элемента стержня в искривленном, отклопенном от исходного, состоянии (рис, 7.1, в), причем бифуркационные поперечные прогибы ы и углы ф наклона касательной будем считать бесконечно малыми.
Поэтому при составлении уравнений равновесия искривленного элемента стержня можно положить яп ф -= ф, ф == -с', з1п (ф -~» 6ф) = ф 1- <1»1", сов!ф -'- уф) =- 1. Приравняв нулю сумму проекций на ось х всех сил, действующих на искривленный элемент, получим — У 1 — ® + фх + (У + дМ) ° 1 + Я + й~) (Ф + йф) = О где 1~ — поперечная сила, связанная с изгибом стержня.
Отбрасывая произведение дрейф как величину высшего порядка малости, приходим к уравнению М-+(ф~) +д.— О, (7.2) Приравнивая нулю сумму проекций всех сил на ось г и сумму всех моментов и отбрасывая величины высших порядков малости, получаем еще два уравнения: 9' — (%~)' = — О.
Я=М'. (7.3) Входящий в последнее уравнение изгибающий момент М связан с по. перечным прогибом зависимостью М = ЕУл", (7.4) где Е,7 == ЕУ (х) —, изгибная жесткость стержня в плоскости хг. Тогда Я = (ЕУы")', и в уравнении (7.2) второе слагаемое, как содержащее произведение двух величин первого порядка малости, следует : отбросить, после чего это уравнение не будет отличаться от уравнения " равновесия(7.1) неискривленного элемента.
Следовательно, при беско:: нечно малых прогибах прямого стержня изменения начальной осевой силы Л~0 имеют высший порядок малости и в первом из двух уравнений (7.3) следует положить И (х) = У0 (х). Окончательно, выразив в этом "уравнении поперечную силу 4 и угол ф через прогиб ы получим (Е1ы")" — (М0-о')' = О. (7 .5) Это линейное однородное уравнение четвертого порядка является основным уравнением теории устойчивости прямых упруеих стериней.
(Напомним, что в ~ 1.6 это уравнение было получено вариационным путем.) Оно справедливо для стержня переменной изгибной жесткости : при любых нагрузках и условиях закрепления торцов. (Отметим, что аналогичное уравнение описывает и потерю устойчивости стержня в плоскости уг.) При составлении уравнений равновесия искривленного элемента стержня внешняя нагрузка д = о (х) предполагалась «мертвой», т. е. не изменяющейся пи по значению, ни по направлению при деформации стержня (рис.
7.1, в). Если внешняя нагрузка при деформации стержня ведет себя иначе, то при составлении уравнений равновесия искривленного элемента это неооходимо учитывать. Для однопролетного стержня в соответствии с порядком полученного уравнения должны быть сформулированы четыре однородных граничных условия (по два на каждом из торцов). Геометрические граничные'условия 'в задачах устойчивости формулируются точно так же, как и в'задачах поперечного изгиба: на торце стержня могут быть запрещены поперечное перемещение ш и (или) поворот касательной ы'.
Силовые грани шые условия для ненагруженного торца тоже совпадают с граничными условиями задач изгиба. Если поперечные перемещения торца не стеснены, то поперечная сила Я = О, т. е. (ЕЛ~")' =- О. Когда не стеснены углы поворота, изгибающий момент М = О, т. е. ЕЛэ" =-- О. На свободном торце Я = 0 и М вЂ” О, т.
е. (ЕУв")' = 0 и ЕЛв" =-- О. Принципиальноеотличие силовых граничных условий задач устойчивости и линейных задач поперечного изгиба выявляется тогда, когда на торец стержня передаются сосредоточенные внешние силовые факторы. Это отличие обусловлено тем, что в первом случае рассматривают условия равновесия не в исходном, а в отклоненном от исходного Рис. 7.3 состоянии, в то время как во втором случае условия равновесия формулируют для исходного, недеформированного состояния системы.
Поэтому, если, например, к незакрепленному торцу стержня приложена «мертвая» сила Р, то в отклоненном положении условие равновесия примыкающего к торцу элемента (рис. 7.2), составленное для проекции на ось г, приводит в задачах устойчивости к граничному условию Я— — Л~~ы' ==- О. В данном случае, когда Фо —— — Р, это граничное условие при х — 1 принимает вид (ЕЛс")' + Ры' = О. Особого внимания при формулировке граничных условий заслуживают случаи, когда внешние нагрузки передаются на стержень с помощью промежуточных деталей, изменяющих при изгибе стержня воспринимаемое им силовое воздействие. Так, например, на правый торец стержня длиной 1, изображенного на рис. 7.3, а, передается изгибающий момент, пропорциональный длине а жесткого рычага и углу поворота а = — Ы (1) касательной к оси стержня над правой опорой.
Отсюда при х = 1 следует граничное условие: ЕЛг" — Раж' =- О. Остальные три граничных условия очевидны: сы (0) = 0; го" 10) = О; ю (1) == О. А при изгибе консольного стержня, нагружаемого через жесткий шатун (рис. 7.3, б), на правый торец кроме продольной силы Г передается поперечная сила, пропорциональная углу наклона жесткого рычага ~р =- в,'а. При х = 1это приводит к граничному условию (Е/ы")' —, Ею' + Еы'а = О.
Три других граничных условия таковы: ы (0) -== 0; ы' (0) =- 0; ы" (1) = О. Если торцы стержня закреплены упруго — в действительности всякая реальная опора обладает той или иной степенью податливое- Ти, — то жесткость упругих опор входит в граничные условия. Например, на рис. 7.4 показан стержень длиной 1, левый торец которого упруго закреплен относительно поперечных перемещений, а правый — относительно угловых.
Условияравновесия примыкающихкторцам элементов стержня и запрещение поперечных перемещений правого торца :при х = О приводят к граничным условиям: 1) Е3ю" = О; 2) Л'о.-и'— в (ЕЛи")' — Сов = О и при х =-- 1: 3) ЕУы" + См гс' =- О; 4) с = О. Здесь С~ и См — соответствующие жесткости упругих опор. Уравнение (7.5) удается аналитически проинтегрировать только в некоторых случаях.
Например, если стержень постоянной жесткости Е1 = сонэк сжат продольной :силой Р, то У, = — Р и это уравнение принимает вид и~~ + й'ы" = О, (7.6) .,где й' = РЦЕ3). Решение этого уравнения в = А, з1п Ах + А, соз йх + + А зх + А4, (7.7) Рп п~1п Ркр (7.8) Намеченную общую схему решения проиллюстрируем примером, Рассмотрим стержень, один торец которого упруго оперт, а другой заделан (рис.
7.5, а). Запишем четыре однородных граничных условия этой задачи: 1) ы (О) = О; 2) ы' (О) = О; 3) и" (1) = О; 4) ЕЛти"' (1) + + Рв' (1) — ~со (1) = О. Подчиняя общее решение (7.7) этим граничным условиям, получаем систему четырех линейных однородных уравнений. Приравняв нулю определитель полученной системы, можно найти х а р а к т е р и с т и ч е с к о е у р а в н е н и е, дающее значения Р„, Практически значительно удобнее не раскрывать для этого определитель высокого порядка, а последовательно исключая неизвестные из исходной системы, выразить постоянные А; через какую-нибудь одну из них, заведомо не равную нулю.
иг 4 6д 'где А; — произвольные по- Рис. 7.4 стоянные. Как отмечалось, для однопролетного стержня должны быть заданы четыре однородных граничных условия. Подставив в них общее решение (7.7), получим систему четырех однородных линейных уравнений относительно неизвестных А;.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
