balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (523124), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Потому можно ожидать, что и при т1 =,й 0 точность приближенного решения будет удовлетворительной. Заметим, что точность приближенного решения полностью определяется выбором аппроксимирующих функций; в данном случае взятый Ряс. 7.17 "=+,~„„~,('И вЂ” ".")''( — ""))'-Г'У)'' ' ( )'Б — '" Система уравнений (7.32) распадается на независимые уравнения (и Ц вЂ” "")'~-~ —;" )')'-.К вЂ” "")'+ д ~ — "„)')) с„„= . (7.35) нами первый член ряда очень близок к точному решению: изменение по координате х соответствует точному решению, а при у = 0 выполнено не только геометрическое, но и силовое граничное условие. Рассмотрим далее случай комбинированного нагружения, когда на пластину в ее плоскости одновременно действуют несколько независимо изменяющихся внешних нагрузок.
Например, на рис. 7.17, а показана свободно опертая по всему контуру пластина длиной а и шириной 6, равномерно сжатая в двух направлениях распределенными силами д, и д.,; начальные внутренние силы при этом: Т„ = — д„ Т„ = — д„ 8, = О. Для решения снова воспользуемся энергетическим методом, взяв функцию прогиба в виде ряда (7.23). Подсчитаем с помощью выражения (7.29) изменение полной потенциальной энергии: Если С„,.„~ О, то должно обращаться и нуль выражение в фигурных скобках; из этого условия находим те сочетания значений нагрузок д, и О,„при которых возможны соответствующие формы равновесия "Пластины с искривленной срединной плоскостью: д~ — +д,, — = л'.0 — + —, (7.36) Полученное решение естественно обобщается на тот случай, когда пластина в одном направлении сжата, а в другом растянута.
Так, если Т,0 ( О, а Т,0~ О, то в зависимости (7,36) достаточно перед величиной д, изменить знак на обратный. Выражение (7Л6) при заданном отношении сторон аЪ позволяет в координатах д„д, построить гр ан и цу области у стойч и в о ст и, т. е. границу„отделяющую область таких значений д, и д„ при которых начальное состояние пластины устойчиво, от значений Ц„и д„при которых оно неустойчиво.
Для квадратной пластины со стороной Ь такое построение приведено на рис. 7.17, б. Участки прямых, показанные сплошной линией, дают критическое сочетание безразмерных сил д, = Ч,/д,„р и д, = д,lд„„, а ломаная, состоящая из этих участков, является границей области устойчивости. Величины ц„р и д „„, к которым отнесены силы д, и д,, равны критическим нагрузкам при сжатии пластины соответственно только в направлении х и только в направлении р; они подсчитываютея по формуле (7,25) при .К~ = 4. Если при нагружении пластины силы д, и 72 возрастают пропорционально одному параметру, то в координатах д, и д, такое нагружение описывается лучом, исходящим из начала координат. Точки этого луча до пересечения границы области устойчивости характеризуют устойчивое начальное состояние равновесия, а после пересечения— неустойчивое. Общий случай комбинированного нагружения пластины описывается в координатах д, и д, кривой, исходящей из начала координат и называемой путем погружения.
Важно подчеркнуть, что для упругих пластин критическое сочетание величин д, и д, не зависит от пути нагружения. При граничных условиях на контуре прямоугольной пластины, 'отличных от граничных условий свободного опирания, решение существенно усложняется, но результаты такого решения, которые можно представить графиком, похожим на изображенный на рис. 7.17, б, качественно повторяют полученные выше: сжатие пластины в одном направлении уменьшает, а растяжение увеличивает значение критической нагрузки в другом пап1завлепип. Исключение составляет случай потери устойчивости пластины по форме, близкой к развертывающейся поверхности (сильно удлиненная пластина и пластина с двумя свободными противоположными сторонами).
В этом случае растяжение или сжатие пластины в продольном направлении практически не влияет на критическое значение сжимающей нагрузки в поперечном направлении (см. рис. 7.10), При комбинированном нагружении прямоугольной пластины касательными контурными силами д~ и растягивающими или сжимающими силами д, (рис. 7.18, а) решение удается получить только приближенными методами.
Критические сочетания касательных и нормальных сил в этой задаче при различных граничных условиях и различном отношении сторон пластины можно аппроксимировать одной зависимостью (7.37) где д, = д,/д,,р; о, = дед,„р, причем д,ир и д~„р — критические значения касательных и нормальных сжимающих сйл, действующих на ту же пластину. порознь ~и определяемых соответственно форму- Рис.
7.18 лами (7.27) и (7.25) при К~ и К„зависящих от граничных условий и отношения сторон пластины; в случае растягивающих нормальных сил знак перед вторым слагаемым меняется на обратный. На рис. 7.18, б зависимость (7.37) изображена графически. Как видим, растяжение пластины приводит к увеличению значений критических касательных нагрузок, а сжатие — к уменьшению. Аналогичные результаты получены и табулированы для ряда других практически важных случаев расчета прямоугольных пластин на устойчивость при комбинированном нагружении 19!. Говоря о границе области устойчивости пластины при комбинированном нагружепии, следует сделать два замечания.
Во-первых, обратим внимание на форму этой границы (см. рис. 7.17, б и 7.18, б). Общие свойства границ областей устойчивости упругих систем были детально исследованы П. Ф. Папковичем. В частности, им была доказана важная теорема о выпуклости границы области устойчивости. Согласно теореме Папковича эта граница не может быть обращена выпуклостью к области устойчивости. Так, при действии на пластину двух независимых внешних нагрузок граница устойчивости может состоять только из отрезков прямых и криволинейных участков, направленных выпуклостью к области неустойчивости. Этой теоремой поль- 3011 вуются для приближенного построения границы области устойчивости , по отдельным известным ее точкам: соединяя эти точки прямыми, можйо получить аппроксимацию истинной границы, причем ошибка толь.ко увеличивает запас устойчивости.
Во-вторых, необходимо подчеркнуть, что отмеченное выше стабпЛизирующее влияние растягивающих нагрузок на устой швость. пластины имеет место, лишь пока пластина работает в упругой области. Растягивающие нагрузки, вызывающие пластические деформации, могут снижать значения критических нагрузок. $7А. Поведение стержней и пластин после потери устойчивости. Влияние начальных неправильностей и = — ~ (1 —. соз 'ф) й, о (7.38) где з — координата, отсчитываемая вдоль изогнутой оси стержня.
С помощью линеаризованных уравнений и энергетического крпгерия определяют критические значения нагрузок и те формы, по которым происходит потеря устойчивости. Но ни линеаризовапное уравнение, ни энергетический крнтерий не дают никакой информации о том, как будет вести себя система после потери устойчивости. Для описания з а к р и т и ч е с к о г о п о в ед е н и я системы задачу необходимо рассматривать в н е л и н е й н о й п о с т а н о в к е. Рассмотрим сначала закритическое деформирование прямого упругого стержня. Возможны два качественно различных случая, В первом случае, когда после потери устойчивости один из торцов стержня свободно смещается в продольном направлении, закритическое деформирование сводится к изгибу н жесткость стержня на Ф' растяжение — сжатие практи- к~ чески не влияет на поведение ы стержня после потери устойчивости (рис.
7.19, а). Во втором случае, когда оба торца стержня закреплены относительно продольных смещений, закритическое деформирование связано не х только с изгибом, но и с растя- Рис. 7.19 жением стержня (рис. 7.19, б). Основное практическое значение имеет первый. случай, и на нем мы остановимся подробнее. После потери'устойчивости ось стержня можно считать нерастяжимой; тогда связанные с изгибом стержня продольные перемещения и~ =- и, (з) точек оси стержня легко выразить через угол наклона касательной к изогнутой оси ф ==- ф (з). Прп неподвижном левом торце Изгибающий момент в тонком стержне определяется зависимостью М == — '= Е/ —; (7.39) 1$ где о — - радиус кривизны изогнутой оси стержня.
Б изогнутом состоянии стержня полная потенциалы!ая энергия (7ЛО) 3 — 30 -л3, где 3, -- полная потенциальная энергия напального прямолинейного состояния равновесия; Л3 — изменение полной потенциальной энергии, вызванное изгибом стержнч. Б результате изгиба потенциал внешних сил (рис. 7.19, а) умечьшнтся на величину Льо где Х! =. =-- — и, (1). Поскольку ась стержня при изгибе принята и1!раст51!к1пм зй1, то, учитывая зависимость (?.38), получим 3=-9 .!. !! — Е/ ! — '~1 — Р11 — сок !1~6~. 17,4!! ° !'!2 ~дю о Аналогично можно подсчитать величину 3 и для любого другого случая продольного нагружения стержня, например для стержня, нагруженного распределенной . нагрузкой, Из условия стационарности полной потенциальной энергии (63 = О) можно найти равновесные состояния изогнутого стержня и, исследуя знак второй вариации О23, установить, какие из равновесных состояний устойчивы.
Пока на значения перемещений и углов поворота пе наложено никаких ограничений, приведенные зависимости, описывающие изгиб стержней с перастяжимой осью, являются точными (в рамках теории гибких упругих стержней). Для ряда частных случаев нелинейное дифференциальное уравнение, к которому сводит. ся задача изгиба стержня при конечных перемещениях, допускает аналитическое решение, В общем случае это нег!иней!5!Ое уравнение можно с любой степенью точности решить численно.
Сейчас мы с помощью метода Рэлея — Ритца найдем приближенное аналитическое решение, позволяющее наглядно описать закритическое поведение любого произвольно нагруженного стержня при коне !ных, но не слишком больших прогибах, Предположим, что задача устойчивости решены (точно или приближенно) и критическое значение нагрузки, з также форма, по которой происходит потеря устойчивости стержня, известны. С ростом про. гибов форма изогнутой оси стержня, естест! Онно, изменяется, но при построении прпб!л!!женного реп1ен1!5! мож1!О пр11пять, '!тО пр51 малых конечных прогибах это пзмепс1шс яснел!'.1:О, и пс!!ать р1шен;1е нелинейной задачи в первом прнближшгип в впдс Ф (з) = !Ф .
(з), 208 где Л вЂ” коэффицпе~т, зависящий 01' ве!!и'и!ны внешней нагрузки; !(1„.„(з) — функция пз ре1пеппя задачи устойчивости в липеиной п11- становке. При малых прогибах, когда углы ф малы, в выражении (7.88) величину соз ф целесообразно разложить в ряд: н~(я)-= — — 'ф — — — 'ф + ... оз. 1 2! 4! (7.43) Тогда, используя зависимости (7.41),и (7,42) и ограничиваясь в разложении четвертой степенью ф, полу гаем 3=3о+ — Е-~ " — -~ — ~~,',— — фщ сЬ. (7.44) о Поскольку величина 30 не зависит от параметра Л, условие стационар ности (63 = О) сводится к уравнению о 0 о все слагаемые на интеграл ) ф„',Аз и обозначив 0 1" ( — '".')'" б ~~>2 Д~ ~ ф2 Поделив (7.46) получим уравнение Л (Г~ — Г (1 - Л'В)) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
