balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (523124), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Приближенное решение такой задачи можно получить методом1 изло?кеп- ным в Я 7.4 для стержня. Из этоа) 6~ го решения следует, что свободное кольцо на ранней закритической стадии деформирования ведет себя так же, как стержень со свободно смещающимся в осевом направлении торцом (см.
рис. 7.20, а), т. е. малейшее превышение критического значения нагрузки вызывает резкий рост перемещений. Необходимо сделать несколько замечаний по практическому применению формулы (8.6). Хотя формула эта широко известна и вошла во многие справочники и руководства, к сожалению, для подавляющего числа практических задач, когда круговое кольцо приходится рассчитывать на устойчивость, эта формула, строго говоря, не верна.
Чтобы пояснить это, рассмотрим несколько типичных случаев нагружения круговых колец равномерно распределенными радиальйыми силами (рис. 8.3). Изображенный на рис. 8.3, а шпангоут бака, нагруженного внутренним давлением, сжат радиальной нагрузкой интенсивностью д, = (рЯ,/2) сов О и начальная осевая сила в пем Л', = — дЯ. Рис. 8.3 В тонком упругом кольце, стянутом гибкой нитью (рис.
8.3, б), начальная осевая сжимающая сила У, = — Р. Равномерно сжатыч в начальном напряженном состоянии оказывается и тонкое колыю, вставленное с натягом в жесткую обойму (рнс. 8.3, в). Во всех этих случаях начальное напряженное состояние качественно ничем пе отличается от начального напряженного состояния, возникающего в кольце прп гидростатическом нагружении. При расчете на п р о ч н о с т ь все эти случаи можно считать эквивалентными.
Однако как уже неоднократно отмечалось, для исследования у с т о йч и в о с т и системы необходимо рассмотреть условия ее равновесия ;:й отклоненном от начального состоянии. Поскольку при отклонениях :колец ат начальной круговой формы действующие на них вне~~не нагрузки в задачах, изображенных на рис. 8.3, ведут себя качественно 'различно, то и задачи эти являются принципиально различными с точки зрения устойчивости. Так, в первой задаче передаваемая на шпангоут нагрузка при из'ггибе шпангоута существенно изменяется по значению и направлению, .поэтому формула (8.6), полученная для гидростатпческай нагрузки, :;;к этой задаче неприменима.
1храме тога, эта формула не учитывает :-. поддерживающего влияния ооолочки бака, поэтому значение критиче!"'ской нагрузки, подсчитанное па формуле (8.6), оказывается во много ,'; раз ниже действительного [1?). В двух других задачах передаваемая па кольцо нагрузка при от- ~ кланениях колец от круговой формы также не является гидростатиче,": ской: на тех участках, где сохраняется контакт с нитью или обоймой, ,:нагрузка, оставаясь нормальной к оси кольца, меняет свое значение, ';,'::а на остальной части кольца она просто обращается в нуль. В резуль"тате поведение колец при потере устойчивости даже качественно от:;; личается от поведения кольца, теряющего устаичивость под действием Г гидрастатическай нагрузки 11). Можно привести и другие примеры, когда определение критичен: ской радиальной нагрузки по формуле (8.6) приводит к неверному ре- ~: зультату.
Один из немногих, по практически чрезвычайно важных слу„';:. чаев, когда применение этой формулы строго обосновано, — это расчет ",. на устойчивость длинной цилиндрической трубы, нагруженной внеш,' ним давлением, : $8.2. Основкые уравнения устойчивости ',: цилиндрической оболочки " Линеаризаванные уравнения устойчивости упругой цилпндрпческой оболочки получим с помощью приема фиктивной нагрузки, как это было сделано при ьываде линеаризаванных уравнений устойчивости пластины и кругового кольца (см. ~ ?.2 и 8.1). При этом задачу устойчивости цилиндрической оболочки рассмотрим в следующей постановке: 1.
Замкнутая круговая цилиндрическая оболочка нагружена толь-' ко приложенными к торцам распределенными силами и гидростатическим внешним давлением интенсивностью р = р (х, ~р). 2. Срединная поверхность оболочки имеет идеально правильную цилиндрическую форму, и изменением этой формы в начальном докритическом состоянии полностью пренебрегаем. 3. Начальное докрятическае состояние оболочки безмоментное, а при патере устой швасти связь между бнфуркационпыми перемещениями первого псюядка малости у., с, ы и дополнитсльпьюли внутренними силами выражается зависимостями (6.41), (6.42) линейной теории цилиндрической оболочки при неасесимметричнай деформации.
Составим уравнения для определения критического значения внешней нагрузки, при превышении которого начальное состояние равно- 221 вески оболочки перестает быть устойчивым. В соответствии с перечисленными допущениями в оболочке существуют только начальные внутренние силы Т1о =-- Тз.о (х, ср), Таа = Тао (х, ср) .Ко = оо (х, ср), удовлетворяющие уравнениям равновесия (6.43) ... (6.45) безмоментной теории: дТсо, д5о — -'; — — =О; дх 1сдф д оо дТао + а О.
дх 1сд~р 7 аз — =м Р з1 (8,8) д д д д Ргф= — (да Тсо)+ — (да Тао)+ — (даоо)+ — (д1~о)э (8.9) дх 1сдср дх 1сдср где д„д, — углы поворота нормали к срединной поверхности оболочки в соответствующих плоскостях. Выполнив в этом выражении дифференцирование произведений, с учетом уравнений равновесия (8.8) получаем формулу Р аф = — РРаса + Тсомд + 2Яозсса (8.10) где х„ ха и хса — изменения кривизн и скручивание срединной поверхности оболочки, определяемые зависимостями (6.35). Теперь для получения однородных линеаризованных уравнений устойчивости достаточно в общих линейных уравнениях, описывающих изгиб цилиндрической оболочки, положить: р, = р,ф, р„=-= О, ро =- О.
Так, например„для изотропной оболочки, используя систему уравнений (6.46) ... (6.48), получим систсму однородных уравнений относительно бифуркационных перемещений: д ! — 1а д 1+ д д —,+ +1 — =О; дха 2 йа дсра 2 Кдсрдх 1~дх 1+ 1а д' и 1 — 1с д' и даи дис 2 1сдсрдх 2 дха йадсра 1са дср ьа ( 1 — р, да„1 да, 'дз дз 12У 1, 2 дха 1Р ссра дха дср УР дсрз / ди с ди, ис Ьа !' да о 1 да а Я дх Щ дср йз 12йа 1, дка дср Яа дсрз а доссс ' до си ! дс ю -1- Р 1-2 + — — =-р„. дх' дха дсра ~а дср4 'Ф где р, = — р (х, ср).
Для определения фиктивной поперечной нагрузки р,ф = р,ф (х, ср) подсчитаем сумму проекций всех начальных внутренних сил на направление нормали к деформированному элементу оболочки, как это было проделано для пластины и кольца (см. с. 191 и 219). В результате получим Для замкнутой в окружном направлении цилиндрической оболочки в соответствии с порядком полученной системы уравнений на каждом из торцов должно быть задано по четыре граничных условия: два граничных условия относительно нормального прогиба ы~ и его производных н два граничных условия относительно тангенциальных перемещений и и и и их производных. Следует подчеркнуть, что входящие в систему уравнений (8.11) бифуркационные перемещения и, п, г описывают отклонения срединной поверхности оболочки от начальной докритической формы равновесия.
Поэтому однородные граничные условия для этих перемещений непосредственно не связаны с граничными условиями начального докрнтического состояния и должны формули: роваться независимо от них (примеры формулировки граничных условий будут рассмотрены в следующих параграфах при решении конкретных задач устойчивости оболочек). Потери устойчивости цилиндрических оболочек обычно происходят по таким формам, при которых |йЫдср~ >> 1и~, 1д'и/д(р') >> ~ы1. Поэтому в задачах устойчивости часто используют упрощенные зависимости для углов поворота нормали и изменений кривизн пологой оболочки (см.
~ 6.2): д- О, дх д д~~ Дар (8.12) (8.14) 1: д'ы д~ц~ д~и к,= —; х,,= Х12 дх' ~~ дср' ~д~рдх :. В этом случае уравнения равновесия должны также быть упрощены ':: [17): в уравнении (6.39) следует отбросить слагаемое Я,/Р и урав- : нения равновесия в проекции на три координатные оси будут: дТ~ д5 — + — =О; дх Дд<р (8. 13) дх Лд~р Т,, д~М, д'М„, д~М, дх- "Дд~рдх Л2 д(ря Как было сделано в плоской задаче теории упругости (см.
11 2.1), введем функцию г' с помощью соотношений дх' Л~ дср~ йд рдх . Тогда два первых уравнения системы (8.13) будут удовлетворены тож- дественно, Если учесть, что при использовании упрощенных зависи- мостей (8.12) для изменения кривизн выражения для изгибающих моментов имеют вид ~и12=(1-р) ~1 (8.15) Ларах ' то третье уравнение равновесия можно записать так: — — +ВР 1' Ю =Р„-, 1 д'Е Я дх~ (8.16) д'(*) д'(*) ~'(*) = — + —- дх~ Д~ дф~ Исключая из формул (6.34) для относительных удлинений и углов сдвига перемещения и и и, приходим к у р а в н е п и ю с о в м е с тности деформаций (8.
17) И~ дф" дх' Идфдх И дх~ Использовав соотношения упругости (6.41) и соотношения (8.14), из уравнения совместности деформаций получим — 77Р= —— 2 2 Ей Я дхх (8.18) Окончательно, заменив в уравнении равновесия (8.16) поперечную нагрузку р, фиктивной нагрузкой по формуле (8.10), запишем упрощенную систему линейных однородных уравнений устойчивости цилиндрической оболочки: 1 д~~' д~у, д~и дну — — + ПР 7' ы+ рЯ вЂ”, — У,о — — 230 — =0; Я дх~ Я~ дф- 'дх' Ядфдх й дх'" Ей д'ы . 0 д4 / д'ы д~ы 8,— + — ' — ~ — +2 — -1-ьэ + дх~ Я6 дф4 ~ дф~ дф~ д4 + —, (рик — Тхо хх--230 х13) =-0 Я2 дф~ (8,20) При решении этой системы уравнений однородные граничные условия, конечно, следует выразить через функции ы и Р и их производные, Упрощенную систему уравнений (8.19) следует использовать в тех случаях, когда потеря устойчивости оболочки происходит с образованием большого числа волн как в окружном, так и в осевом направлениях: тогда в пределах каждой волны оболочку можно считать пологой, Многие задачи устойчивости изотропных и ортотропных цилиндрических оболочек удается просто и, главное, достаточно точно решить с помощью полубезмоментной теории, изложенной в ~ 6.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
