balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (523124), страница 38
Текст из файла (страница 38)
(7.47) Отсюда следует, что действительные значения Л возможны только при Е-: Р„р, поскольку В'.> О. Таким образом, пока Е Е„р, возможно только состояние равновесия стержня с неискривленной осью, а при Р) Р„р кроме этого состояния может быть состояние равновесия стержня с искривленной осыа. Обозначив Р— Г„.„=- ЛЕ и считая ЛР .( Р„р, окончательно за= пишем (7.48 ) Из этого уравнения следует, что при любых значениях нагрузки возможно решение Л = О, т. е. возможно состояние равновесия стержня с неискривленной осью.
Чтобы найти решения, отличные от Л = О, следует приравнять нулю выражение, стоящее в квадратных скобках; тогда получим Л= -+ У'(Г-- Г„,) (ВГ). Зная, как изменяется угол ф (з) наклона касательной, легко найти поперечные прогибы стержня на ранней закритической стадии деформирования. При неподвижной левой опоре (рис. 7.19, а) И = ~ З1 П ~МЬ. о Ограничившись первым членом разложения з|п тр и учитывая зависимость (7.42), получим гл1 = А ~ ф„р й = Ате„, (з). о Другими словами, в полученном приближенном решении при конечных, но малых прогибах амплитуда поперечных перемещений тоже растет пропорционально параметру А, определяемому формулой (7А8). На рис.7.20, а схематично показано, как с ростом , нагрузки изменяются попе' речные прогибы стержня. Устайчсй Кроме зависимости амплитуды.
поперечных перемеще- Ь ' ний от нагрузки можно построить зависимость сближения торцов стержня от пав — — грузки. При неподвижном ле' вом торце (см. рис. 7.19, а) Рпс. 7.20 сближение Х торцов стержня равно продольному перемеЩению пРавого тоРца; оно с1олаДываетсЯ из УкоРочениЯ Хо стеРжнЯ под действием сжимающей нагрузки и дополнительного перемещения Х,, вызванного.' изгибом стержня: Х = Хо + Ц. Первое из этих слагаемых при известном распределении начальных усилий определяется элементарно, а перемещение, вызванное изгибом, в соответствии с зависимостями (7.43) и (7.48) равно (7.49) 2В гни ~ 2$Вя ~ Ггп ),) о о Этот результат схематично изображен на рис. 7.20, б, где по оси абсцисс отложено суммарное перемещение правого торца.
Заметим, что при ЛЕ с" Рнр второе слагаемое г выражении (7,50) оказывается прснебрежимо малым. Другими словами, на ранней закритической стадии деформирования перемещение Х, линейно зависит от величины ЛР. Как видно из рис. 7.20, малейшее превышение нагрузкой критического значения вызывает чрезвычайно быстрый рост поперечных и продольных перемещении первоначально прямого стержня. Возьмем, например, свободно опертый стержень (в этом случае ~Р„п = соз пь!1) тонкостенного трубчатого сечения с моментом инерции,1 — п1хаб, площадью поперечного сечения о=2п1сб и длиной ! = 1007~, где Я вЂ” радиус трубы; б — толщина степки. цля такого стержня 210 ,":.превышение критической силы всего на ! М вызовет (при упругой деформации "~стержня) поперечное перемещение вшах ж 9Л и продольное перемещение Х~, ,::примерно в сто раз превышающее критическое укорочение стержня.
При этом '. в стержне возникнут нзгибные напряжения, максимальные абсолютные значе. ния которых почти в двадцать раз больше критических напряжений равномерно '. сжатого стержня. Любопытно отметить, что для линейно упругого материала значение крити' ческого относительного укорочения не зависит от модуля упругости, а является чисто геометрической характеристикой стержня. Для пластины, как и для стержня, возможны два качественно раз. личных случая поведения в закритическом состоянии. Если закрепле- ' ние контура пластины не препятствует ее чисто изгибной деформации, -' т.
е. деформации без удлинений и сдвигов срединной плоскости (рис. :.:7.21, а), то после потери устойчивости поведение пластины будет ;-,:таким же, как и у стержня с незакрепленным относительно попереч- 'ного смещения торцом: малейшее превышение критической нагрузки ' приводит к чрезвычайно большим поперечным прогибам и изгибным напряжениям. В этом случае потеря устойчивости практически означает и потерю несущей способности пластины. Но если для стержней такой случай закритического поведения основной, то для тонкой пластины, являющейся элементом силовой конструкции, такой случай скорее исключительный. Когда контур пластины закреплен, то после потери устойчивости . срединная плоскость превращается в поверхность дгоякой кривизны. :-; Такое деформирование неиз: бежно связано с появлением ' дополнительных удлинений и а) Е углов сдвига в срединной плоскости, и закритическое поведение пластины в этом случае будет похоже на поведение стержня, изображен- / ного на рис.
7.19, б: и после потери устойчивости такая пластина может продолжать работать под возрастающей внешней нагрузкой. На рис. 7.21, б изображена тонкая пластина, прикрепленная по контуру к жесткой шарнирной рамке и нагруженная силой Р. До потери уатойчивости пластина находится в состоянии чистого сдвига.
Когда внешняя нагрузка превысит критическое значение, определяемое формулой. (7.27), пластина теряет устойчивость, и ее поверхность становится волнистой, но при этом несущая способность пластины не исчерпывается. Довольно очевидно, что после потери устойчивости возрастающая внешняя нагрузка будет восприниматься главным обра' зом за счет растягивающих сил в пластине, направленных вдоль Л1 наклонных волн. Лпалогичпо ведет себя после потери устойчивосгн закрепленная по контуру пластина и при сжатии; силы, возникающие в деформированной срединной плоскости, помогают пластине продолжать воспринимать возрастающую внешнюю нагрузку.
Строгое теоретическое описание поведения пластины после потери устойчивости — весьма и весьма сложная задача, решение которой обычно удается получить только в приближенном виде, Дополнительная сложность заключается в том, что после потери устойчивости по мере роста внешней нагрузки происходит скачкообразная перестройка формы изогнутой поверхности пластины. Однако для сжатой в одном Рис. 7.22 направлении прямоугольной пластины Т.
Карманом предложен полу эмпирический прием, позволяющий крайне просто и, главное, доста точно точно оценить работу пластины в закритической области.. Рассмотрим закрепленную по контуру пластину толщиной 6, нагруженную в направлении х, как показано на рис. 7.22, а. Будем считать, что края пластины после потери устойчивости остаются прямыми. (Примерно так ведет себя клетка обшивки между продольным и поперечным силовым набором в реальной конструкции.) До потери устойчивости начальные силы в срединной плоскости пластины равны Г1О == — Г~Ь; Т„= О; Я, = О.
(7.51) После потери устойчивости в пластине помимо изгиба возникает сложное напряженное состояние в деформированной срединной плоскости Т, = Т, (х, д); Т, =-= Т, (х, д); Я = 5(х, д), характер которого изменяется по мере роста внешней нагрузки, На рис. 7.22, б схематично показано распределение сил Т, по ширине пластины до и после потери устойчивости. (После потери устойчивости величина Т, изменяется и по длине пластины.) Прием Кармана основывается на двух упрощающих допущениях: 1. Неизвестный закон распределения Т, — Т, (х, д) на всей длине пластины заменяется ступенчатым (рис.
7.22, в). Такая схематизация напряженного состояния отражает тот факт, что после потери устойчивости искривляющаяся пентральная часть пластины «уходит» из под нагрузки и продольные сжи- и) Мающие силы воспринимают в основном участки пластины, прилегающие к прямым кромкам. 2. Считается, что силы Т, равны критическому значению Т, для равномерно сжатой пластины шириной Ь, т. е. Тс = — КФВ~Ьйр, (7.52) где коэффициент К, такой же, как и у исходной пластины.
Учитывая, что для исходной пластины шириной Ь Рис. 7.23 К ~~5!Ьь можно записать Ь„'= — ~сЬ, где .= ~Г"„, Величину Ь„„называют приведенной шириной пластины, а коэффициент р(й — редукцнонным коэффиц и е н т о м. Если ввести среднее по ширине пластины сжимающее напряжение с~1 =- Г/(Ьл), то полученный результат можно представить в таком виде о, 1 во„„ (7.54) где о, = Т,~Ь; о,,.р -— Т„,Ь. Сжимающее напряжение а, на кромке пластины следует определять из каких-нибудь дополнительных условий (см,, например, расчет лонжеронного отсека на с.
326). Суммарная продольная сила, воспринимаемая пластиной после потери устойчивости, может быть подсчитана по формуле ~=оЬЬ=ос ФЬ= ЬЬ1 осокр. (7.5о) Прием Кармана позволяет построить приближенную зависимость сближения торцов 7р от нагрузки Р после потери устойчивости пластины, аналогичную зависимости для стержня, изображенной на рис. 7.20, б. До потери устойчивости, очевидно, г" = ХЕК/а. После потери устойчивости, учитывая зависимость ту.йй), можно записать а Рч К 12 (1 — 1йй) 3l а Полученный результат схематично изображен на рис. 7.23, а, причем ййй ( Ь '1и 12(1 — 1йй) ~, (у / л Е 12(1 — 1йй) ~, Ь! На рис. 7.23, б показан характер зависимости максимального поперечного прогиба пластины от внешней нагрузки, До сих пор мы рассматривали задачи устойчивости стержней и пластин идеально правильной формы. В силу этого допущения при любом уровне внешних нагрузок возможна исходная прямолинейная форма равновесия стержня и плоская форма равновесия пластин.
Именно это допущение приводит к понятию критической нагрузки, т. е. такой нагрузки, при превышении которой исходная форма равновесия стерж- Рис. 7.24 ЕУв" + Ры, = О. (7.57) В первое слагаемое входит только дополнительный прогиб ю, ибо возникновение внутреннего момента связано с дополнительным изгибом стержня; во второе слагаемое входит полный прогиб: плечо внешней силы определяется полным прогибом ж . Начальную форму оси стержня и, (х) будем считать известной и уравнение (7.57) запишем в виде Е7Ц~" + ™ = — Р'мо (7.58) при граничных условиях: в (О) = О; ы (1) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
