balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (523124), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Произведя дифференцирование и перегруппировав слагаемые, получим д2~а, д~~о д2ге рг = 7и -'-2оо + 7',,0 — + дх~ дхду ду~ + дТ;„„д5, ~ ды +( дЯ, дТ,0 '1 дис дх ду 1 дх 1, дх ду / ду Но из уравнений равновесия (7.14) при р„= О и ру —— О слсдует, что выражения в скобках обращаются в нуль, и тогда (7.17) дх~ дхду дух Для случая р„= О, р, =О запишем еще раз основное однородное линеаризованное уравнение устойчивости пластин в развернутом виде; д'ге д4ы д~ы ~ д2ы д'~а~ Д( +2 + ) — Т,0 — 2З, — --. дх4 дх~ дух ду4 ) ~ дх дхду (7.18) дуф Граничные условия основного уравнения тоже однородны, причем, поскольку это уравнение имеет четвертый порядок, в каждой точке контура пластины должны быть заданы по два граничных условия.
Геометрические граничные условия в задачах устойчивости пластин форму~п~руются точно так же, как и в задачах поперечного изгиба (см, Я 2.5). Так, на крипо пластины при х = О может быгь запрещен поперечный прогиб го и (или) угол поворота ды,'дк. Силовые граничные условия выражают условия равновесия примыкающих к контуру элементов пластины. Если контур пластины свободен от внешних нагрузок, то силовые граничные условия в задачах устойчивости тоже повторяют граничные условия линейной теории зах. ~яе 193 изгиба пластин.
Например, если край пластиных=Освободно оперт, силовое граничное условие на нем ( д'и дйи 1 М„=0( +и — ~ =О. 1, дх' ' ду' Учитывая еще геометрическое граничное условие свободно опертого края (ы = — 0), можно записать два следующих условия при х = 0: а =0; — =О. дх' (7.19) Ряс. 7.10 Получить точное аналитическое решение уравнения устойчивости пластин удается лишь в весьма ограниченном числе частных случаев. Простейший из них — длинная пластина, равномерно сжатая в поперечном направлении (рис. 7.10, а), Граничные условия на удлиненных сторонах произвольны, но неизменны вдоль пластины.
Предварительно определим начальное напряженное состояние пластины шириной а. Всли края пластины не закреплены относительно смещений в продольном направлении, то решение этой вспомогательной задачи очевидно: Т,р = д, Туо == 0 Ъо =" О. Тогда уравнение (7.18) принимает вид ~ дх' дх~ ду' ду~ / дх~ (7.20) 194 Когда поперечные прогибы на краю пластины полностью запрещены, внешние контурные нагрузки в граничные условия не входят. Например, 'если по свободно опертому краю х = О к пластине приложены нагрузки д„и д4, то это не внесет никаких изменений в граничные условия (7.19). Внешние контурные нагрузки входят в граничные условия в тех случаях, когда край пластины свободен или',:упруго оперт. В этих случаях граничные условия":формулируются подобно тому, как это было сделано в предыдущем параграфе для стержня.
Для удлиненной пластины можно предположить, что при потере устойчивости ее изгиб происходит по цилиндрической поверхности. В этом случае уравнение (7.20) в частных производных переходит в обыкновенное дифференциальное уравнение которое с точностью до обозначений тождественно уравнению (7.6). Такое совпадение достаточно очевидно: рассматриваемая задача устойчивости пластины эквивалентна задаче устойчивости полоски единичной ширины (рис. 7.10, б) с изгибной жесткостью ЕУ = 1 О, сжа- 'Д х 'а ~ г ~ аь Рис. 7.11 той продольной силой Р = 1 д.
Поэтому все решения уравнения (7.6), полученные для стержня, можно перенести на рассматриваемую зада- чу устойчивости пластины и сразу записать д„р — — Сл'В/а', (7.21) где коэффициент С имеет те же самые значения, что и в формуле (7.10). Например, для пластины, свободно опертой вдоль длинных сторон, коэффициент С = 1. В задачах устойчивости пластин обычно принято окончательные результаты представлять через к р и ти чески е н а и р я ж ен и я.
Так, в рассматриваемой задаче результат можно представить через критические сжимающие напряжения (7.22) где и — толщина пластины. В качестве второго примера точного решения уравнения (7.18) рассмотрим задачу устойчивости прямоугольной пластины шириной Ь и длиной а, равномерно сжатой в одном направлении и свободно опертой по всему контуру (рис. 7.11, а). Будем считать, что до потери устойчивости напряженное состояние в пластине однооспо: Т„= — д, У„= О, 5, = О, и основное уравнение сводится к уравнению (7.20) Граииггные условия (7.19) свободного опирапия в рассматриваемой задаче выглядят так: х= 01 д-ы И=--0 1),, д-'." 1 в=О; —:=0; 1 ' — -О; л. -~) дх' ' д=.5! ди При этих граничных условиях решение уравнения (7.20) можно построить в виде ряда (7.23) о=1 ос= 1 где С, „, -- произвольные постоянные; и, и — числа полуволн синусоид в соответствующих направлениях.
Подставив выражение (7.23) в решаемое уравнение, мы для каждого члена ряда получим свое независимое уравнение с„(в[( — "")'~.("" ))' — д("") 1=о. Тривиальный случай, когда все постоянные С„= О, интереса не представляет: он соответствует начальному состоянию равновесия. Для того чтобы было возможно С„ф: О, необходимо, чтобы обратилось в нуль выражение, стоящее в фигурных скобках. Последнее условие дает те значения нагрузки, прн которых возможны отличные от тождественного нуля решения уравнения (7.20), т. е.
те значения, при которых у рассматриваемой пластины возможны изгибные состояния равновесия, смежные с начальным: где а, т =-- 1, 2, ..., оо. Поскольку число полуволн т входит только в числитель, то наименьшее значение нагрузки а„„, будет при ю --- 1. Учитывая это, введем безразмерные величины Последовательно принимая и = 1, и =- 2, и = 3 и т. д., получаем На рис. 7.11, бприведсны соответствующие кривые. Приравнивая д„— д„,, находим, что две соседние кривые пересека|отся при отношении а,'О == ~ и (и + 1). Участки кривых, лежащие ниже точек пересечения, дают наименьшие и, следовательно, критические значения д, р.
Зная кри|ические значения д, р безразмсрнои нагрузки, можно записать выражение для критической распределенной нагрузки тР О Чнр Кр 396 1де К, — коэффициент, численно равный д,р и зависящий от отношения сторон пластины (сплошная линия на рис. 7.11, б). Окончательную расчетную зависимость обычно представляют через критические сжимающие напряжения (7.25) В последних формулах в качестве характерного размера пластины принята ее ширина Ь, а не длина а, как в формуле (7.22), поскольку при а ) Ь именно размер Ь существенно влияет на значение критических напряжений.
Как видно из графика на рис. 7.11, б, при а ~ЗЬ 1зис. 7.12 коэффициент К, практически не зависит от отношения сторон. Другими словами, крйтические напряжения в удлиненной пластине, сжатой вдоль длинных сторон, практически не зависят от ее длины и полностью определяются отношением Й/Ь; при этом К~ ж 4. На рис. 7.12 изображены типичные формы изогнутой поверхности пластины, по которым происходит потеря устойчивости свободно опертой по всему контуру и сжатой в одном направлении прямоугольной пластины.
Форма, описываемая функцией з1п (пх/а) з1п (пу/Ь) (рис. 7.12, а), реализуется при а/Ь ~. )' 2; форма, описываемая функцией з1п (2лх/а) з1п (лд/Ь) (рис. 7.12, б), реализуется при 1~ 2 ( а/Ь : ( )Гб и т. д. Уравнение (7,20) для прямоугольной пластины, сжатой равномерно в одном направлении, удается аналитически проинтегрировать и в тех случаях, когда граничные условия свободного опирания заданы на любых двух противоположных сторонах пластины, а две другие стороны закреплены произвольно, но неизменно вдоль всей пластины (1). Расчетные зависимости обычно представляют тоже в виде формулы (7,25), но здесь коэффициент К, для каждого варианта граничных условий по-своему зависит от отношения сторон пластины (рис.
17.13). (Кривая 1 построена по результатам приближенного решения, поскольку для защемленной по всему контуру пластины аналитическое решение построить не удается.) При расчете тонкостенных подкрепленных конструкций встречается задача расчета на устойчивость прямоугольной пластины, нагруженной по контуру касательными силами (рис. 7.14).
Начальное напряженное состояние в такой пластине (см. ~ 2,2)'. Т~а='О, Т~а=О, Яа=д и основное уравнение (7.18) принимает вид Э а У а н ~)( д' д~ы д~и ~ +2 — + )— дх~ дуз ду4 ) д~ж — 2д — =- О. (7.26) дхду Точное аналитическое решение этого уравнения удается получить только для длинных пластин при а/Ь-э. оо. Окончательный результат такого решения записывают в виде, аналогичном формуле (17.25): з 4 а~'Ь Рас.
7.13 р Чк кр— Ь 70 — (7.27) г — — = — ~ ~п =- Кс 5 ~ а/ь где Ь вЂ” ширина пластины. При свободно опертых длинРас. 7.14 ных сторонах пластны К, = = 5,34, а при защемленных К, = ЗЯ8. Для прямоугольных пластин с конечным отношением сторон решение уравнения (7.26) получают с помощью того илн иного приближенного метода, причем окончательный результат обычно тоже записывают в виде (7.27). На рис.
7.14 даны значения К, в зависимости от отношения сторон аИ для пластин с защемленным (1) и свободно спертым (11) контуром. 198 ф 7.3. Энергетический метод исследования устойчивости пластин. Комбинированное нагружение пластин х у А1 Вс....с1х О д~ — с1х дх дс!! — !!у ду л,с,....о ду Модули этих векторов соответственно равны Для решения задачи устойчивости пластины, нагруженной в своей плоскости, можно воспользоваться энергетическим подходом. Задачу устойчивости пластины рассмотрим в той же постановке, как и в ~ 7.2: пластина находится в начальном плоском напряженном состоянии и требуется найти критическое значение нагрузки, при превышении которого начальное состояние перестает быть единственным и ~ Й! устойчивым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
