balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (523124), страница 39
Текст из файла (страница 39)
ня или пластины перестает быть устойчивой. Но ось любого реального стержня не является идеально прямой, точно так же как и любая реальная пластина не является идеально плоской. Влияние таких начальных неправильностей формы покажем на простом примере. Рассмотрим шарнирно опертый етержень, сжатый силой Г (рис. 7.24, а). До пагружения начальный прогиб стержня ы~„= = ю, (х).
После приложения продольной силы прогиб стержня будет г„=-с, + ы, где ы= ы (х) — дополнительный прогиб от нагружения. Приравнивая моментот внешней силы г внутреннему изгибающему моменту и оставляя только первую степень величины а~„можем записать 1гри г~, (х) = О решением од~ор~д~~го уравнения, У~довлетво1)яющим граничным условиям, очевидно, будут функции ы„(х) = С Б!и —, (7.59) гдеп=1, 2, ... при Р =- )г'л'Е.И". (7.60) Критическая сила, соответствующая и = 1, равна Р р = пгЕЫ~ Решение неоднородного уравнения (7.58) удобно искать в виде разло.жения по функциям (7.59); и(х1 = ~„а„з1п — ' 'Р п=г иО (х) Х 00 з!п и=1 Тогда, подставив эти ряды в уравнение (7.58) и приравняв коэффи- . циенты при каждой из синусоид в левой и правой частях равенства, ' получим цепочку независимых алгебраических уравнений ( — Р, + Р) а„= — Ра,„, .
отсюда находим Соп (Рю! Р 1) где и =- 1, 2, ... Следовательно, г~(х)= ~ и=1 ао„. пих з1п (Гп(Р 1) (7.61) Таким образом, при Р—: Р„амплитуда соответствующей гармоники стремится к бесконечности. Но при изменении нагрузки от нуля до Р„р —— Р, неограниченно возрастать может только амплитуда первой гармоники и независимо от соотношений между начальными амплитудами а,„ при приближении нагрузки к критическому значению Р„р доминирующей окажется первая гармоника. Поэтому в приближенном решении можно принять аког пх ы(х) ~ агз1п — = яп — ' (7.62) На рис. 7,24, б показана завпспмость г~~„,ах --- и, от нагрузки 215 ::,представив правую часть тоже в виде разложения по той же сиетеме функций: Определив поперечные прогибы, можно найти максимальный изгибающий момент Л4„„и подсчитать изгибные напряжения в стержне: где йу — момент сопротивления сечения стер кпя.
В рассматриваемом примере гам Л4п.ах = д ге~я шах '~ Р/Рнп ~7.63/ Глава 8 устОЙчиВОсть цилиндРических ОБОлОчек Для расчета конструкций ракет задачи устойчивости цилиндрических оболочек имеют наибольшее значение, С другой стороны, на примере исследования устойчивости цилиндрических оболочек можно проследить все основные особенности задач устойчивости тонких упругих оболочек. Поэтому мы ограничимся изложением основ теории устойчивости упругих оболочек применительно к задачам устойчивости круговых цилиндрических оболочек.
Из методических соображений, прежде чем перейти к исследованию устойчивости цилиндрических оболочек, рассмотрена родственная задача устойчивости равномерно сжатого упругого кругового коль- 2/б Полное напряжение 8 Иг Л ~ В' 1 — Р/Ряп/ где э' — площадь поперечного сечения стержня. Например, для тонкостенного трубчатого сечения, как в предыдущем прпмере, о=2яИ, Р / 2а0, ! Иг=пЯ' 6 и а= — — ~1 ~— 3 ~, Д 1 Р/Рнп Как видно из этой формулы, изгибные напряжения зависят от отношения амплитуды начального прогиба к размеру поперечного сечения и резко возрастают по мере приближения сжимающей нагрузки к ее критическому значению.
Так, например, если ам/(2Р) = 0,05, то при Р = 0,8Р„п максимальные изгибные напряжении оказываются по абсолютному значению равными напряжениям осевого сжатия. Так же начальные неправильности формы влияют на поведение сжатых стержней и при других граничных условиях, если один из торцов стержня может беспрепятственно перемещаться в осевом направлении. Начальные неправильности срединной плоскости тоже существенным образом отражаются на поведении пластины, однако полное исследование этого влияния является чрезвычайно сложной задачей, требующей решения нелинейных уравнений в частных производных. На рис.
7.24, в схематично показано, как начальные неправильности влияют на сближение торцов прямоугольной пластины, сжатой в одном направлении, в зависимости от приложенной нагрузки. ца. Затем приведены основные варианты уравнений устойчивости упругой круговой цилиндрической оболочки, находящейся в неоднородном безмоментном докритическом состоянии; дано выражение для подсчета изменения полной потенциальной энергии такой оболочки при - переходе ее в смежное состояние. Рассмотрены аналитические решения толькотрех основных задач устойчивости оболочки: при равномерном внешнем давлении, равномерном осевом сжатии и кручении.
Многочисленные приближенные решения других задач устойчивости'упругих оболочек, в том числе ешепия, полученные с помощью ЭВМ, можно найти в литературе 8, 9, 121. . ф ЗЛ. Устойчивость круговых колец , Рассмотрим кольцо радиусом Я, сжатое равномерно распределенной ,' радиальной нагрузкой (рис. 8.1, а).
Если до нагружения кольцо име. ло идеально правильную круговую форму, а интенсивность д распре:,:- деленной нагрузки строго постоянна по всему кольцу, то всегда воз- можна начальная круговая форма равновесия кольца, подобно тому :: как у централыю сжатого прямого стержня всегда возможна на:: чальная прямолинейная форма равновесия (см. ~ 7.1). Найдем критиче: ское значение д„.р нагрузки, при превышении которого начальная кру: говая форма равйовесия перестает быть устойчивой и кольцо принимает новую некруговую форму, например изображенную пунктиром а) М а%~ Рис. 8.1 на рис. 8.1, а. При этом мы ограничимся изучением потери устойчивости кольца в своей плоскости, а внешнюю нагрузку будем считать г и д р о с т а т и ч е с к о й, т.
е. такой, что прп изгибе кольца она остается нормальной к деформированной оси кольца и ее интенсивность д не меняется. Линейная задача изгиба круговых колец рассмотрена в ~ 4.1. Напомним, что в линейных задачах условия равновесия формулируются для недеформпрованного элемента, а в задачах устойчивости необходимо рассматривать равновесие искривленного и. отклоненного от 217 своего начального положения элемента. Такой элемент Рс(ср кругового кольца, до изгиба имевший форму дуги АВ окружности, изображен на рис. 8.1, б. При начальной круговой форме равновесия осевая сила Л', ==- — дЯ постоянна по всему кольцу.
Осевую силу при не- круговой форме равновесия запишем в виде двух слагаемых: Л', = =- Л1, + Лс, где Лс =-- Л' (ср) — дополнительная составляющая, возникающая в результате изгиба кольца. Значения изгибающего момента и поперечной силы, возникающих в кольце в результате изгиба, обозначим соответственно М = М (ср) и-1~ = Я (~). Введем оси координат у, и г„направленные соответственно по касательной и нормали к деформированной оси кольца в точке А,.
Приравнивая нулю суммы проекций на эти оси всех сил, действующих на элемент А,В, изогнутого кольца, и отбрасывая всличины заведомо высших порядков малости, получим — ' — Я--,' Π— = — 0; дУс, ~Ь~ Йср ' спр с|Я с,, ٠— -с- Л,— У, ' .—. дЯ. Йср Йср Третье уравнение равновесия без величин высших порядков малости имеет вид йИ Д4 ср Чтобы получить линеаризованное уравнение, описывающее потерю, устойчивости кольца, воспользуемся геометрическими зависимостями, полученными в ~ 4.1: (8.1) с~ ~ с1'р' 1 6$1 ( сРо с~о ссср,1 >2 1 с1срз ссср и соотношением упругости М == ЕУн, (8.2) где ЕУ вЂ” жесткость кольца на изгиб в своей плоскости. Как нетрудно установить, величины ф х, М, Я и Л~ имеют тот же первый порядок малости, что и перемещение о. Поэтому, учитывая, что Л', == Лсо + Л' и Л', == — дЯ, и отбрасывая в двух первых урав' нениях равновесия произведения величин первого порядка малости, получим слипеаризованные уравнения равновесия деформированного элемента кольца: и~ ссср — +Лс = — дй'н', сц~ ась — =М.
ам йр (8.3) Сравнивая полученную систему линеаризованных уравнений с системой уравнений (4.1) линейной задачи изгиба квльца, видим, что эти системы будут формально эквивалентны, если, как это было сделано в ~ 7.2, ввести фиктивную поперечную нагрузку Чгф = Чйтс (8,4) и положить сс, = сг,ф, сг„= О, пг = О. Поэтому, минуя промежуточные выкладки, по аналогии с уравнением (4.3) можно сразу записать урав- нение Наименьшее из найденных значений сг„, соответствующее и = 2, да- ет" критическое значение интенсивности внешней нагрузки: сг, = сг„р — --- ЗЕ5(К'. (8.6) Определим с точностью до масштаба форму, по которой кольцо теряет устойчивость. Деформация кольца при потере устойчивости связана с его изгибом и удлинение оси кольца практически равно нулю. В этом случае (см. ~ 4.1) го = — — с!оЫср.
В частности, если о„= з1п пр, то го = — и соз иср. На рис. 8.2 схематично показаны формы изогнутой оси кольца при п = 2 (а) н п = 4 (б). Поскольку критической нагрузке соответствует и = 2, форма изогнутой оси кольца описывается функциями он„= ов =- з1п 2ср; го, р — — ыл, =- -- 2 соз 2ср. (8.7) * Значение сг„ при а = ! соответствует смегценисо кольца как жесткого целого (см. Э 4.3) н для рассматриваемой задачи устойчивости интереса не представляет.
гв с!'М с)М с)х — + — = — йа с! —, с)срз с!ср сгср ' Окончательно, подставив значения М и тс, получим однородное ''линеаризованное уравнение, описывающее потерю устойчивости кру, гового кольца под действием гидростатической нагрузки: Для замкнутого свободного кольца, исключив его перемещения как ',,жесткого целого, решение уравнения (8.5) можно найти в виде триго:-'нометрического ряда (см. ~ 4.4): ОФ о= ~~ С„з1п игр. а=2 ;, Подставив этот ряд в уравнение (8.5), для каждой гармоники получим ф— — и'(п' — 1)'+ д„п'(пв — 1) = О. Из условия существования С„~ь О находим д = (п' — 1) Е1Яз К ак уже говорилось, линеаризованные уравнения дают возможносзь определить только форму потери устойчивости, а для определения зависимости нагрузка — перемещение при нагрузках, больше чем критические, необходимо решать задачу в нелинейной постановке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
