balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (523124), страница 42
Текст из файла (страница 42)
(8,39) -Последняя формула не дает конкретных критических значений п~рр и а„р, а только устанавливает некоторую связь между ними. Таким образом, одному и тому же критическому значению нагрузки изотропной оболочки, определяемому формулой (8.32), соответствует целая серия различных комбинаций значений т„р и п„р, включая и„р — — О. Это означает, что при достижении значения д„р у оболочки становится возможным не одно, а целая серия новых изгибных состояний рав.- новесия, смежных с начальным безмоментным.
При граничных условиях, отличных от условий (8.34), решение пеосесимметричной задачи устойчивости сжатой в осевом направлении цилиндрической ооолочки резко усложняется, 0днако оказывается, что если на торцах оболочки запрещены перемещения ы и и, то для тон- ' кой и достаточно длинной цилиндрической оболочки нагрузка д„р практически не зависит от остальных граничных условий и тоже определяется формулой (8.32). Рассмотрим далее задачу устойчивости, сжатой в осевом направлении цилиндрической оболочки, на одном краю которой заданы граничные условия (8.34), а другой край полностью свободен (рис. 8.4, б).
Качественное отличие этой задачи от только что рассмотренных заключается в том, что при заданных граничных условиях оболочка допускает чисто изгибные деформации без растяжений и сдвигов срединной поверхности. Для определения нагрузки д„р воспользуемся энергетическим методом, причем решение построим приближенное, взяв бифуркационные перемещения и„=- — — соя щ, о„= — — — з(п аср, г„= А„— соз а~р, (8.40) Ап А„ х . х где А„— произвольный параметр. Как легко проверить, выбранные функции удовлетворяют всем граничным условиям при х = 0 и двум граничным условиям (71 = О, Я = 0) на свободном краю оболочки; два остальных силовых граничных условия на свободном краю удовлетворяются только приближенно.
При выбранных функциях, используя зависимости из ~ 6.3, находим е~=О; а~=О;7=0; Ап А„х :О, =- — соз а~р; О, = —, ~а — — ) з1п а<р; Д2 й~ 2 ', Ап х1= О~ х2 = — (а — 1) соз щ; х12 = — — а — — з1П ад. ДЗ Используя энергетический подход, изменение полной потенциальной энергии подсчитываем с помощью выражения (8.24) при началь, ном напряженном состоянии, соответствующем зависимостям (8.25). Учитывая, что в рассматриваемой задаче У, = 0 и ЛП = О, получим ЛЗ=- А„'иЮ вЂ” (" ) — +2(1 — р) а--— Из условия ЛЭ = 0 при дополнительном требовании минимума критической нагрузки приходим к окончательной формуле = — 3 ~ +(1 — ) 49 (8А1) при а„р -— — 2.
1. Поскольку в рассмотренном случае оболочка теряет устойчивость без растяжений и сдвигов срединной поверхности, структура формулы (8,41), в которую входит только изгибная жесткость оболочки В, качественно отличается от структуры формул (8.32) и (8.38). Вид оболочки, потерявшей устойчивость, показан пунктиром на рис. 8.4, б. Очень длинная цилиндрическая оболочка (труба) при осевом сжатии может потерять устойчивость как стержень (рис.
8.4, в). В этом случае, поскольку сжимающая сила Р = 2лйд, получаем и„„= — С вЂ” =С вЂ” ~ — ~, 1 тРЕ1 д~ЕЬ / я ~~ (8.42) 2~~ 1г 2 где коэффициент С зависит от способа закрепления торцов трубы (см. ~7.1). (При свободном опиранни торцов С = 1.) Итак, сжатая в осевом направлении цилиндрическая оболочка может терять устойчивость по трем качественно различным формам: с искривлением образующих (рис. 8.4, а), без растяжения срединной поверхности (рис.
8.4, б) и как стержень (рис. 8.4, в). Сравним значения критических сжимающих напряжений, соответствующих этим трем случаям потери устойчивости. Для изотропной оболочки в первом случае из формулы (8.38) получим (8.43) 1~'з (1 — р ) во втором случае из формулы (8А1) находим а„,=- [3[ — ) +)) — р) — 1[ — ); )8А4) наконец, в третьем случае формула (8.42) дает (при С = 1) о„р = —" — Е. (8.45) Для тонких оболочек средней длины формула (8.44), содержащая малый множитель (ЬЯ)', приводит к значениям критических напряжений, существенно меньшим, чем две другие формулы. Но этот случай потери устойчивости почти не встречается в практике, так как в реальных конструкциях торцы оболочки обычно бывают закреплены. Потому для оболочек средней длины основное практическое значение имеет первый случай, для которого при р = 0,3 получаем простую, но чрезвычайно важную для всей теории устойчивости оболочек формулу о„р — — 0,6ЕЫК.
(8.46) Отметим при этом, что суммарная осевая критическая сила равна Р„р — — 0,6 2лй'Е (8.47) и не зависит от радиуса Я оболочки. $ ВА. Устойчивость цилиндрической оболочки при внешнем давлении Для цилиндрической оболочки длиной;1, радиусом И с толщиной стенки й, нагруженной внешним давлением р (рис.'8.5) и находящейся в начальном безмоментном состоянии: 7',. = О, т,. - — 7 й, В. = О, найдем критическое значение р„а внешнего давления. (8.48) Если оболочка не слишком короткая, то простое и надежное решение этой задачи дает полубезмоментная теория цилиндрических оболочек.
Однородное уравнение устойчивости (8.20), полученное на основе полубезмоментной теории, перепишем для начального состояния (8,48): 8,— + — '~ — + 2 + ~1 ~ + — ~=О. (8.49) д4цг 1)о / доцг доцг д'цг 'г, р ггдоцг дгцг ~ дхо До [, дфо . дфо дфо ) До ~ дфо дфо) В случае замкнутой в окружном направлении оболочки с произволь- ными, но неизменными по всему контуру торцов граничными условия- ми решение можно искать в виде пг= Хз1ппф, (8,50) х -( — ')'х=-о, (8.51) где (')' =- г1(')Ях; Яп4(п' — 1) Г 1г,(п' — 1) в, ~ у (8,52) Заданные на торцах оболочки однородные граничные условия выразим через функцию Х(х) (см.
ф 6.4). Например, граничные условия а=О; Т,=О приводят к условиям Х = 0; Х" = О. (8.53) Неподвижное закрепление торца оболочки (о — — О, и=О) ° дает Х = О, Х' = О. (8.54) На свободном торце оболочки, где Т, = О, Я = О, получим Рис. 8.5 Х" = О, Х"' = О. (8.55) Уравнение (8.51) и его граничные условия по форме полностью совпадают с уравнением и граничными условиями хорошо изученной задачи о свободных колебаниях однородной балки, и при одинаковых граничных условиях функция Х (х) повторяет форму изогнутой оси колеблющейся балки. Считая по ) О, запишем решение уравнения (8.51) так: Л =- Аг з!п — + А2 соз — + Ац эп — + Ад сп †.
г 8.56) где Х = Х(х); и = 2, 3, 4, ... Подставив эту функцию в однородное уравнение устойчивости и сократив общий множитель з1п пф, прихо- дим к обыкновенному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами р„р=4Х,~ — ') ( (8.59) Приведем примеры определения критического давления р„ для нескольких конкретных вариантов граничных условий, заданных на торцах оболочки.
1. На обоих торцах оболочки заданы граничные условия.(8.53) свободного опирания; аналог этой задачи — свободные колебания шарнирно опертой балки. В этом случае в общем решении (8.56), очевидно, А, = А = А = О; Х, = зтЯ/1, и поперечный бифуркационный прогиб оболочки описывается функцией ма=А,з1п ~" з1ппср. (8.60) Выражение (8.57) принимает вид (8.61) г яз (аз — 1) Лз Отсюда при Иг -+- оо получим формулу для бесконечно длинной оболочки (трубы), нагруженной внешним давлением: 1)Р, ЗР, где а„р = 2. Как и следовало ожидать, эта формула совпадает с формулой (8.6) для кольца с изгибной жесткостью ЕУ = 1 В„нагруженного гидростатической погонной силой д = 1 р.
(8.62) з Остальные корни Х; для определения значения рир интереса не предстанляют. Заданнь1е йа торцах оболочки четыре однородных граничных условия (по два на каждом торце) составляют систему четырех однородных линейных уравнений относительно произвольных постоянных А;. -Равенство нулю определителя этой системы уравнений приводит к . характеристическому уравнению, наименьший корень Х., которогое позволяет, используя выражение (8.52), записать (8.57) п4 (пз 1) оз При фиксированных геометрических и жесткостных параметрах оболочки, подобрав из условия минимума величины р„число волн п„р, получим критическое значение внешнего давления р„р. При достаточно большом числе волн п, образующихся в окружном направлении, в формуле для р„ можно пренебречь единицей по сравнению с величиной из и тогда определение критического давления р„р существенно упрощается.
В этом случае, рассматривая величину из = т1 как непрерывно изменяющийся параметр, из условия минимума значения р„находим гВ, Зяз~Ч~ пкр т1 = )~"1 ~ КД др (8.58) 3. На одном торце оболочки заданы граничные условия (8.54), а на другом — граничные условия (8.55), т. е. один торец закреплен неподвижно, а другой полностью свободен; аналог — консольно защемленная балка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
