balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (523124), страница 45
Текст из файла (страница 45)
8.14, б) принято строить в координатах д, Х, где д — сжимающая погонная нагрузка; Х вЂ” сближение торцов оболочки. Эта диаграмма качественно отличается от диаграмм, построенных в ~7.4 для сжатых стержней и пластин. Прямая ОВ, соответствует равномерному сжатию идеально правильной оболочки. Когда нагрузка достигнет значения д„р, соответствующего точке бифуркации В„начальная форма равновесия перестанет быть устойчивой. Но в окрестности точки В, у оболочки нет новых устойчивых состояний равновесия и поэтому, как и при пагружении внешним давлением, оболочка теряет устойчивость хлопкбм. Заметим, что для гладкой изотропной оболочки Х„р— В реальных условиях хлопок сопровождается колебаниями оболочки; новое устойчивое состояние статического равновесия оболочка займет после угасания этих колебаний.
Полное описание такого процесса требует динамического подхода и здесь не рассматривается. =-~„р1/(Е6), где 1 — длина оболочки. Если значение дар подсчитывать по формулам 5 8.3 без учета моментности начального йапряженно-деформированного состояния, то получим (независимо от значения модуля упругости материала оболочки Е) а( й( ж0,6 —, кв.б.м 1~ ~/З (1 з) где й — толщина оболочки; Я вЂ” ее радиус.
Деформирование реальной оболочки, имеющей начальные геометрические несовершенства формы, будет происходить по некоторой кривой ОС,. После достижения нагрузкой значения д,л, соответствующего Рис. 8.14 точке С„начальное деформированное состояние равновесия реальной 'оболочки перестает быть устойчивым и оболочка хлопком переходит в новое состояние, существенно удаленное от начального. В теории устойчивости тонких оболочек выделяют два основных характерных значения нагрузки: гкв — критическая нагрузка", после достижения которой перестает быть устойчивой начальное напряженно-деформированное состояние идеально правильной оболочки; г', — нагрузка, при достижении которой происходит хлопок реальйой оболочки с геометрическими несовершенствами.
Значение Р„р критической нагрузки идеальных оболочек определяют с помощью линеаризованных уравнений; при осесимметричном нагружснии оболочек вращения численное решение таких уравнений как без учета моментности начального состояния, так и с его учетом в настоящее время не представляет принципиальных трудностей, * Эту нагрузку, соответствующую точке бифуркации Вы иногда называют в е р х н е й к р и т и ч е с к о й н обозначают Ркрт в отличие от соответствующей точке В, нижней критической нагрузкнГе„р, при превышении которой становятся возможными новые, отличные от начального, состояния равновесия идеально правильной оболочки (см.
рис. 8.!3, б и 8.14, б). Для расчета силовых конструкций величина гакр не представляет практического интереса и нами не рассматривается. Величину Р„реальной оболочки можно представить в виде Е„„= й,„Р„р. Для тонких гладких оболочек значение коэффициента Й„чрезвычайно чувствительно к изменениям размеров и форм начальных неправильностей, что приводит к принципиальным трудностям при его определении. Так, для теоретического определения л, данной реальной оболочки необходимо с большой точностью и достоверностью знать ее начальные неправильности, что практически крайне трудно.
Экспериментально для каждой конкретной оболочки, конечно, можно найти значение й„„, но от оболочки к оболочке даже в пределах одной серии экспериментов значение й, может заметно меняться. К счастью, значения коэффициента Й,„не всегда столь чувствительны к таким случайным и трудиоконтролируемым факторам, как начальные геометрические неправильности, Например, в рациональных оболочечных конструкциях, создаваемых с использованием каркасироваиных оболочек, трехслойных, подкрепленных гофром или вафельных оболочек, значение й, оказывается достаточно стабильным.
Глава 9 ОСНОВЫ РАСЧЕТА ОВОЛОЧЕК ЧИСЛЕННЫМИ МЕТОДАМИ Уравнения, описывающие деформированное состояние оболочек вращения, интегрируются аналитически только в некоторых частных случаях. Получить решение для оболочек более общего вида до недавнего времени было очень сложно. Приходилось прибегать к упрощениям, которые значительно сужали область применимости полученных результатов. Современные вычислительные машины и разработанные численные процедуры позволили иначе подойти к этой проблеме. Сейчас многие задачи расчета оболочек могут быть решены численно. Существует несколько методов решения таких задач.
Некоторые из них, такие, как метод начальных параметров, метод конечных разностей и методконечных элементов, были рассмотрены выше в гл. 3. Здесь эти методы применяются расчету оболочек. ;„-, щ 5 9Л. Расчет оболочек матричным методом начальных параметров Применение этого метода при расчете оболочек вращения требует формулировки краевой задачи на основе дифференциальных уравнений первого порядка. Ниже рассмотрен одномерный случай, когда оболочка нагружена осесимметричными поверхностными р„, рз и контурными Т„, 9~„М„и Т„, Я,», М„силами (рис. 9.1), Система уравнений моментной теории оболочек вращения приведена в гл. 5. Для осесимметричного случая она содержит шесть дифференциальных и шесть алгебраических уравнений.
Перепишем их так, чтобы вна- чале были представлены дифференциальные уравнения ди э — -1- — — е = — О; сЬ 1= 'Ъ ' д, О. д~ Я, дд, — ' — х,=О; сЬ йТ1 соя О сов 8 1~1 — '+т,— — т, — ' — — = — р,; дк г г К, дЦ, сов О 1 е1п9 — '+о, — +т, — +т,— =р„; Й~ г — 1+М, — — М,— — а,=О. ~М, ° Е О Й (9 1) Они должны быть дополнены алгебраическими уравнениями, которые имеют вид: со~ О е1п О е --и — --и> — ' =-О' с 3 г сое О х.,— 11,— =О; г М,— Р(х1+ пх,,) — — О; М,— Р(х,+ вх1) =О; ЕЬ Т,— — (е,+ве,) =О; Р2 т,— — (е,+ ре,) =О.
Ей и2 (9.2) Система уравнений (9.1), (9.2) — полная, в ней двенадцать искомых функций и, м, д„т1, Я„М„е„е,, х„х„Т„М,. Будем считать первые шесть функций: те, которые под знаком дифференциала в системе (9.1) основными неизвестными системы уравнений; остальные — дополнительными, поскольку они связаны только алгебраическими уравнениями.
Запишем системы (9,1), (9.2) в матрично-векторной форме. Введем векторы основных и дополнительных неизвестных (г,) и (гД и вектор внешних нагрузок (р) (г1) = (и, и, О„Т„Я„Мт)г; (9.3) (г ) = (е, х. х1 Ме е1 т )г;. (9.4) (р) = (ΠΠΠ— ре р„О)т. (9.5) Рис. 9.1 Система дифференциальных уравнений (9.1) тогда может быть пред- ставлена в форме — Ы+ [а 1( )+ И Ы = Ф 4 (9.6) Здесь матрицы [а,1 и Ь,[ имеют вид 1 Я~ О 0 О 0 — 1 О 0 0 0 0 0 О 0 соаО/г 1 0 0 1/Я, сов 8/г 0 0 Π— 1 0 1/Я, О 0 0 0 0 соя 8/г 0 0 0 О 0 0 0 0 0 0 — 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 — созО/г 0 0 0 О 0 Π— Е/г ' 0 а!п В/г О 0 [/22[ = Матричная форма алгебраических уравнений (9.2) такая: [а,) (гД + [о,1 (г2) = 0 Соответствующие матрицы [а,1 и Ь2! таковы: 0 000 — соаЬ/г 0 0 0 0 001 0000 0 1 00 0 000 [а 1= 0 О 0 0 —  Π— р.~ 1 0 0 Ф21 Е/2 !2 р2 Е/2 0 0 — сов О/г 0 О 0 0 0 — яп В/г 0 0 0 О 0 Е/2 рй Е/2 — р — 1 ! — и Исключая вектор (г,) из соотношений (9.6) и (9.7), приводим систему к одному матричному уравнению (9.81 где [А,] = [а,] — [Ь,] .
Ь,]-' [а,]. (у) = (иа~д,У~ЯМ~ . (9.10) Безразмерные составляющие (обозначенные черточками) этого вектора для оболочки постоянной толщины. выражаются через перемещение и силы: и = и/й„ыг = ю/И,; Т = Т,/(ЕЬ) 1~ = ЯДЕй), М = = МДЕЬК,). Разрешающее уравнение, соответствующее уравнению (9.8), теперь будет иметь вид (9.1 11 Матрица [А1 имеет безразмерные составляющие: 0 О ац О а~4 0 ая~' 0 О а„О а4, 0 аы а2 0 аи О а„О 0 0 а„ а36 а4э 0 (9.12) [А] = а4 а55 0 0 ац, О 251 Таким образом, деформация оболочки вращения описывается матричным уравнением (9.8).
Остановимся на приведении уравнения к безразмерному виду. При численном решении безразмерная форма уравнений позволяет выделить основные параметры системы, провести более общий анализ решения и получить результаты, которые могут быть использованы для широкой области изменения значений нагрузок, жесткости, геометрии системы и др.
Введем характерный геометрический параметр оболочки Я,. Это может быть радиус какого-либо сечения оболочки, ее длина или какой-нибудь другой характерный размер. Отнесем к нему радиус поперечного сечения, меридиональный радиус кривизны и длину дуги оболочки: р = г//~,; Л = Л,/Я,; х=аЖ0 Искомый вектор состояния, соответствующий вектору (9.3), обозначим (у) (р)= ООΠ— — " О . Рв>с0 р Р0 Ей Е/с Параметр /с, определяющий отношение толщины оболочки к радиусу Р0> равен (9.13) ЕЛРъ 12 (> ~д2) />г От его значения существенно зависит точность решения задачи. Так как рассматриваются тонкие оболочки, величина й — мала: В матрицу 1А), как видно из выражения (9.12), входят величины /с (малая величина) и 1//с (большая величина).
Такие системы уравнений при большой длине интервала интегрирования требуют применения особых приемов при проведении расчетов. Уравнение (9.11) при решении задачи должно быть дополнено граничными условиями. На каждом граничном контуре для осесимметричного случая моментной оболочки необходимо, чтобы были удовлетворены.три граничных условия. Иначе говоря, по три компонента вектора известны в конце и в начале интервала интегрирования или заданы их линейные комбинации. Общее решение уравнения (9.11), как и в ~ 3.2, представим в виде (у) = Сд (дд) + С2 (у2) + Сз (уз) ~ (4)- (9.14) Константы С, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
