balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (523124), страница 48
Текст из файла (страница 48)
-Оо ОО О О- 12 6 12 6 — О сз 12 13 1з б 2 — О 1з 2зо Раз 12 (1 — р,з) (9.51) О О О 12 б Симм. 1з 12 Сумма этих матриц дает матрицу жесткости элемента (К1. Для построения общей матрицы жесткости всей системы необходимо воспользоваться последовательностью, приведенной в 33,5. Нужно отметить,что при решении задач часто приходится стыковать элементы разных размеров. На участках оболочки, где ожидается быстрое изменение перемещений, например вблизи краевой зоны, длина элементов должна быть небольшой по сравнению с длиной элементов в остальных зонах оболочки.
Стыковка элементов разной длины в МКЭ мало усложняет расчет, что является большим достоинством метода. Для заданной нагрузки из соотношения (9,46) и матрицы (9.49) находят вектор узловых сил; который соответствует правой части линейной системы уравнений. Решение этой системы, при учете условий на границе оболочки, определяет все узловые перемещения. Соотношения (9.45) и (9.46) справедливы также для произвольной оболочки вращения как при осесимметричной, так и при несимметричной деформации.
Асимметрия вносит некоторые усложнения в расчет, Прежде всего появляется еще одна составляющая вектора перемещения о. И кроме того, каждый из компонентов вектора — функция двух переменных з и ~. Решение задачи отличается тем, что необходимо разделить переменные по координатам з и ч', представив составляющие по ч в виде периодических тригонометрических функций, 5 9.4. Численное решение задач устойчивости оболочек Анализ устойчивости оболочек может быть проведен различными методами и, в частности, рассмотренными в ~ 9.1 ... 9.3.
Ниже, применительно к задаче устойчивости цилиндрической оболочки, приводится алгоритм численного расчета, основанный на методе конечных разностей. Для получения уравнений устойчивости используется прием, изложенный в ~ 8.2. Усилия докритического состояния при потере устойчивости оболочки дают составляющие на нормаль к поверхности (8.10): Рпф = — Р7~къ+ 71ох1 ~ 28ох1х Приближенно считаем, что фиктивная нагрузка р„ф соответствует со- ставляющей правой. части третьего уравнения системы (9.16) момент- ной оболочки. При осесимметричном докритическом состоянии урав- нения равновесия имеют вид: дг,,, дЯ вЂ” т — = — 01 дз Рдф т, Ю дМ дМ~~ Ддя д-"М, ,~)2 дф2 (9.52) 1~дф дв 1~и дф + та 1 д М1 ~ 2 д М12 дР дИдф — рЯх~ — 71О х1. Остальные соотношения получаются из зависимостей (9.17), (9.18). Как и в 5 9.2, приведем общую систему к четырем уравнениям второ- го порядка.
Затем представим ее в безразмерной форме, имея в виду формулы (9,19) и полагая далее, что форма потери устойчивости пе- риодическая по окружной координате и возможны разложения (9.20), получим систему уравнений относительно амплитудных значений и пт1 ~т1 М1пь ~1.и, ! — Р 2 1-~ Р с10 <~®ы — та„' ,'т +р дх~ 2 2 дх дх 1+р, ~ д~~~ 1 1 — и д~~ т, 2 дх 2 дх~ +й~ — ' — то +т — т ж =0; Р ~1П 2 д ~ТП 3 2 4х~ дх' При рассмотрении оболочек вращения с криволинейной образующей хорошие результаты получаются для конических элементов и при аппроксимации поля перемещений вида (9.48).
Составление общей матрицы жесткости при этом имеет некоторые особенности, Необходимо для каждого элемента перейти от локальной к общей координатной системе, прежде чем проводить стыковку элементов. В остальном последовательность определения узловых перемещений и усилий остает. ся той же. (9.53) б2Я р 'и™+то„+ы„+(1 — Р,) ' -+~ — (1 р,)т-х дх ' бхай б2~ з б'в >< ~ - +.т~о (2 Р)~~Р ~ [ т4 ,1 ха дх~ тО 82у — (1 — рР) [ти +и'в 1+ — '(1 — р') ЕЬ ЕЬ бх~ — фти„,+А ' " — А[ига„М, =-О. хх Теперь приведем систему уравнений к векторна-матричному виду.
При том же векторе (у) = (и о в М,„)г уравнения можно представить так: [Ац — "' (д)+[Вц — "(д)+[Сц(д) =О. (9.54) Матрицы [А11, [Е1), [С11 имеют те же составляющие, что и матрицы [А1, [В1, [С! в формулах (9.28), но в отличие от них содержат слагаемые, определяемые равномерным давлением р и осевым усилием Т,ю докритичеекого состояния. Это касается только членов а,л, а„, а,4,.
остальные члены матриц в формулах (9.28) те же: а,.=1' а,= — " и ' ах= т' а~=р' 1 — р ' ~, 1+1х 2 2 а,= — "и', а, = "(1+А); а,= — и'(1 г-А); а,=Ат; а = — т(1+Ьп'); а„=р,; а„= — (1 — р,)Ат; а) Р (1 „Я) . (2 „„)1~ Я ~п> 1 „Я) ° ЕЬ ЕЬ а,,= 1+ат4 — — (1 — рР)т а = 1 — рР а =.— фт.
рЯ ЕИ а17 = ~; а18 =- — ранга", ад = — 1. (9.55) [Е).—,' (у).+[Е).(д)о=О; (9,56) [Е)„— (у)„+ [Р1„(у)„= О. 288 Уравнение (9.54) — однородное. Для решения задачи устойчивости необходимо найти собственные значения уравнения (9.54) при определенных граничных условиях. Общая форма. граничных условий может быть представлена так:- Перепишем систему (9.54), (9.56) в разностнам виде.
Воспользовав шись аппроксимацией ~ 9.2, получим [НЪЛу)0 + — [ЕЬ (у) — — [Е[0 (у), =' 0; 2 1 А 2Ь [1Ч11; (у),, + [М1); (у), + [~.1), (у),+,— — 0; (9.57) — ГЕ[„(у)„, — — [Е1 „(у) „, +"[Н1„(у)„=- О. Принимают 1 = 1, 2, ..., и — 1. Для исследования устойчивости упругой системы необходимо приравнять нулю.опведелитель, составленный из матриц при искомых значениях векторов. Отсюда находят критические параметры оболочки. Развернутая форма определителя имеет вид [Н)0 [Е)0 — — [Е)о О [У11, [М1>, [г11, ' О 0 О [ж Ц., [М11, [и[., О 0 Р'И вЂ” [М11 — [Е11 -а О ..[УЦ„, [М11„, [Ы1., .
— [Е[„— — [Е1„[Н1„ 1 2 2Л Л 0 0 0 0 0 0 (9.59) 2б9 (9.58) Первая и последняя строки здесь соответствуют граничным условиям. Каждая матрица имеет размер 4 х 4. Число строк и столбцов определителя равно (и + 1). Последовательность расчета удобно организовать следующим об'разом. При известных параметрах оболочки А = ЬЧ(12Я') и ц задаем значения: т — число' волн в окружном направлении; Т~0[(ЕЦ— безразмерное осевое усилие; рКЦЕЬ) — безразмерное внешнее давление. Положим, что требуется найти критическое значение внешнего давления, соответствующее задашюму числу волн и и осевого усилия Т,0((ЕЬ).
Из формул (9.55) находим все составляющие матриц [А11; [В11; [С11 [см. формулы (9.28)1„а следовательно, и матрицы 1Е1); [М1); ~Ф11(см, 29.2). Для цилиндрической оболочки при однородном докритическом состоянии компоненты этих матриц не зависят от координаты х и, следовательно, от номера 1. В определителе (9.58) [%1), = [Ф13, = ... = [Л'13„; [М1), =- [М1)и —— — ... —— — [М1)„; [П), = = Е14 = ... = Е1)„. Но при более сложном виде нагружения оболочки матрицы одной диагонали определителя не равны друг другу. Определитель при заданных параметрах усилий и геометрии оболочки подсчитывают методом прогонки.
Положим, что векторы (у) в соседних точках связаны соотношением (уЬ = [Ф). (у);+. Матрица прогонки [Ф],+, находится из второго уравнения системы (9.57), куда подставляется формула, аналогичная соотношению (9.59): (у),, = [Ф1; (у);. В результате получаем И1]я [Ф] + [М11;) (у); + Е1]; (у);+, = О. Сопоставив его с выражением (9.59), можно найти рекуррентное соотношение для матриц прогонки: [Ф];.н. = — ([У1]ю [Ф]; + [М1];)-' Е1];. (9.60) При прямом ходе прогонки отсюда могут быть определены все матрицы [Ф];, но для того чтобы начать расчет, нужно знать матрицу [Ф1,.
Для этого'из первого и второго уравнений (9.58) при 1 = 1 исключается вектор (у)о. ([Ж1] ~ [Е]о — [Н]о [М1]1) (у)д — ([Ы1]1д [Е]о + [Н]о Е1]1) (у)2. Отсюда, имея в виду соотношение (9.59) при 1 = 1, находят [Ф]2 = ([У1] у [Е]о [Н1о [М1]1) 1 (Ю1]1 [Е1о + [Мо Е1]1). (9.62) где М = [Н]. [У1].— — Е1],.— —, [Е1„; И] =- [Н1„[М11,„, + Е1]„, — [Е]„.
1 Уравнения (9.61) и (9.62) образуют определитель, который равен ~ — 1И И]+ К] [Ф],„,1. При произвольных значениях параметров оболочки В чь О. Необходимо повторить расчеты, варьируя давление, и добиться того, чтобы выполнялось условие .0 = О. Это значение нагрузки определяет собственное число системы для заданного и, но может не соответствовать критическому состоянию оболочки, так как, вообще говоря, не минимально, Перебирая числа и, нужно найти ряд значений давления р, наименьшее из которых будет критическим.
Формы потери устойчивости оболочки находятся с помощью обратного хода прогонки. Для этого используется соотношение (9.59). Это соотношение и рекуррептная зависимость (9.60) позволяют найти матрицы [Ф1; вплоть до [Ф]„,. Получается уравнение (у)„, — [Ф]„, (у),, = О, (9.61) которое необходимо дополнить системой из второго уравнения (9.57) при 2 = п — 1 и третьего уравнения (9.57). Исключив отсюда (у)„, получим [4 (у)„2 + И] (у)„1 = О, Часть В РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИИ Глава 10 ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ РАКЕТ НА ПРОЧНОСТЬ Работоспособность кочструкции и ее весовые характеристики определяются прежде всего принимаемыми при расчете требованиями к прочности. В течение десятилетий проектировщики самолетов и ракет основываются на нормативных методах расчета на прочность. На основе обширных теоретических и экспериментальных исследований, большого опыта эксплуатации конструкций для различных расчетных случаев устанавливаются нормированные значения коэффициентов ' безопасности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
